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第七章 单方程计量经济学应用模型一、内容题要本章主要介绍了若干种单方程计量经济学模型的应用模型。包括生产函数模型、需求函数模型、消费函数模型以及投资函数模型、货币需求函数模型等经济学领域常见的函数模型。本章所列举的内容更多得关注了相关函数模型自身的发展状况，而不是计量模型估计本身。其目的，是使学习者了解各函数模型是如何发展而来的，即掌握建立与发展计量经济学应用模型的方法论。生产函数模型，首先介绍生产函数的几个基本问题，包括它的定义、特征、发展历程等，并对要素的替代弹性、技术进步的相概念进行了归纳。然后分别以要素之间替代性质的描述为线索与以技术要素的描述这线索介绍了生产函数模型的发展，前者包括从线性生产函数、C-D生产函数、不变替代弹性（CES）生产函数、变替代弹性（VES）生产函数、多要素生产函数到超越对数生产函数的介绍；后者包括对技术要素作为一个不变参数的生产函数模型、改进的C-D、CES生产函数模型、含体现型技术进步的生产函数模型、边界生产函数模型的介绍。最后对各种类型的生产函数的估计以及在技术进步分析中的应用进行了了讨论。与生产函数模型相仿，需求函数模型仍是从基本概念、基本特性、各种需求函数的类型及其估计方法等方面进行讨论，尤其是对线性支出系统需求函数模型的发展及其估计问题进行了较详细的讨论。消费函数模型部分，主要介绍了几个重要的消费函数模型及其参数估计问题，包括绝对收入假设消费函数模型、相对收入假设消费函数模型、生命周期假设消费函数模型、持久收入假设消费函数模型、合理预期的消费函数模型适应预期的消费函数模型。并对消费函数的一般形式进行了讨论。在其他常用的单方程应用模型中主要介绍了投资函数模型与货币需求函数模型，前者主要讨论了加速模型、利润决定的投资函数模型、新古典投资函数模型；后者主要讨论了古典货币学说需求函数模型、Keynes货币学说需求函数模型、现代货币主义的货币需求函数模型、后Keynes货币学说需求函数模型等。二、典型例题分析例1：某工业企业资料如下表。试估计该企业的生产函数表某工业企业资料单位：亿元，千人年份总产值（）职工人数（）固定资产原值定额流动资金余额（）1978457.71175.77203.931979493.62177.73207.021980514.72184.32207.931981518.84189.86214.371982524.72195.27222.551983536.63199.00242.961984584.04206.57268.531985661.58211.61321.181986722.38213.15442.271987777.11212.57208.061988895.98213.61576.1119891027.78213.05660.11解答： 先估计C-D生产函数。方法：对数线性形式的OLS估计Eviews的估计结果如下：VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C-4.0326742.877252-1.4015710.1946LOG(K)0.3236680.1076273.0073110.0148LOG(L)1.6315430.6173562.6427910.0268R-squared0.853757 Mean dependent var6.433934Adjusted R-squared0.821259 S.D. dependent var0.257981S.E. of regression0.109069 Akaike info criterion-1.381358Sum squared resid0.107064 Schwarz criterion-1.260132Log likelihood11.28815 F-statistic26.27080Durbin-Watson stat1.511124 Prob(F-statistic)0.000175即：方法：强度形式的OLS估计Eviews 的估计结果如下：VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.9826780.04911320.008400.0000LOG(K/L)0.4339440.0955424.5419330.0011R-squared0.673514 Mean dependent var1.141232Adjusted R-squared0.640865 S.D. dependent var0.199696S.E. of regression0.119674 Akaike info criterion-1.257086Sum squared resid0.143218 Schwarz criterion-1.176268Log likelihood9.542515 F-statistic20.62916Durbin-Watson stat1.883136 Prob(F-statistic)0.001072即：由参数的显著性看，方法二得到的生产函数更好一些。再估计CES形式的生产函数：Eviews的估计结果如下：VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C-4.1871041.420270-2.9481040.0185LOG(K)-0.6905550.195834-3.5262190.0078LOG(L)2.7002120.3636967.4243570.0001(LOG(K/L)20.8962690.1665725.3806760.0007R-squared0.968339 Mean dependent var6.433934Adjusted R-squared0.956466 S.D. dependent var0.257981S.E. of regression0.053828 Akaike info criterion-2.744861Sum squared resid0.023179 Schwarz criterion-2.583226Log likelihood20.46917 F-statistic81.55796Durbin-Watson stat1.018731 Prob(F-statistic)0.000002由此可计算各参数：m=2.0097，d1= -0.3436，d2=1.3436，r=0.4118由于分配系数d10， ）2)CES生产函数：不变替代弹性生产函数，其中A为效率系数，和为分配系数，满足+1，为替代参数，m为规模报酬参数。（0，并且满足+=1，当时，表明研究对象是规模报酬不变（递减、递增）的，）3)VES生产函数：变替代弹性生产函数Revankar 在1971年提出的：假定，得出Sato与Hoffman（1968）提出的：假定，得出4)要素替代弹性要素替代弹性，是描述投入要素之间替代性质的一个量，主要用于描述要素之间替代能力的大小。要素替代弹性是两种要素的比例的变化率与边际替代率的变化率之比，一般用表示， 5)要素的产出弹性某投入要素的产出弹性被定义为：当其它投入要素不变时，该要素增加1%所引起的产出量的变化率。是从动态变化的角度衡量生产要素对产出量的影响的指标。如果用表示资本的产出弹性，用表示劳动的产出弹性，则有： 一般情况下，要素的产出弹性大于0小于1。6)技术进步从本质上讲，生产函数所描述的是投入要素与产出量之间的技术关系。即是说，同样的投入要素组合，在不同的技术条件下，产出量是不同的。技术进步描述的是在投入要素相同的情况下，产出的变化。7)需求函数需求函数是描述商品的需求量与影响因素，例如收入、价格、其它商品的价格等，之间关系的数学表达式。即 其中，为对第种商品的需求量；为收入；为各种商品的价格；为商品数目。一般来讲，影响需求量的主要是收入与价格；对于一些特定的商品和特定的情况，也会在需求函数中引入其它的解释变量，例如耐用品的存量、一般消费品的消费习惯等。总之，需求函数反映了商品的需求行为和需求规律，反映了解释变量与被解释变量之间的因果关系，所以可以用于需求的结构分析和需求预测。8)需求的价格弹性需求的价格弹性包括自价格弹性和互价格弹性两种。需求的自价格弹性是当收入和其它商品的价格不变时，第种商品价格变化1%所引起的第种商品需求量的变化百分比。即 需求的互价格弹性是当收入和其它商品的价格不变时，第种商品价格变化1%所引起的第种商品需求量的变化百分比。即 9)需求的收入弹性需求的收入弹性是当所有商品的价格不变时，收入变化1%所引起的第种商品需求量的变化百分比。即 10)需求的交叉弹性11)效用函数效用函数分直接效用函数和间接效用函数两大类。直接效用函数将效用表示为商品需求量的函数。即 间接效用函数将效用表示为收入和商品价格的函数。即 12)消费函数消费函数模型是关于研究对象的总消费与影响因素，主要是可支配的总收入之间关系的数学表达式，是计量经济学模型中一个重要组成部分。13)投资函数 投资函数模型是投资与决定投资的诸因素之间关系的数学描述，也是一定的投资行为理论的数学描述。14)货币需求函数 货币需求函数模型是货币需求与决定货币需求的诸因素之间关系的数学描述，在不同的假说下有不同的数学形式。7-2通过对计量经济模型的分析及应用可以加深对理论的理解，并掌握建立与发展计量经济学应用模型的方法论。7-3 线性需求函数模型线性需求函数模型将商品的需求量与收入、价格、其它商品的价格等影响因素之间的关系描述为直接线性关系。即 对数线性需求函数模型由于它具有合理的经济解释，参数具有明确的经济意义，所以是一种常用的需求函数模型。它的数学表达式为： 根据弹性的定义，为需求的收入弹性，为需求的自价格弹性，为需求的互价格弹性。根据需求函数的0阶齐次性条件，应该有： 可以采用单方程线性模型的估计方法估计该需求函数模型。 耐用品的存量调整模型对于耐用品，它的需求量不仅受到收入与价格的影响，而且与该种商品的存量有关。一般直接将存量调整模型设定为 状态调整模型 Houthakker和Taylor于1970年建议用(5.2.13) 描述耐用品和非耐用品的需求。其中为状态变量，对于耐用品即为存量，对于非耐用品，它表示消费习惯等“心理存量”，可以用上一期的实际实现了的需求（即消费）量作为样本观测值。于是。对于非耐用品的需求函数模型，可以表示为： 7-4以投入要素之间替代性质的描述为线索对已有的生产函数模型进行综述： 线性生产函数模型如果假设资本与劳动之间是无限可以替代的，则产出量与投入要素组合之间的关系可以用如下形式的模型描述： 对于该模型，要素的边际产量，边际产量之比。于是有 代入(5.1.2)得到，即要素替代弹性为。从(5.1.4)也可以直观地看出，一种要素可以被另一种要素替代直至减少为0，产出量仍然不变。 投入产出生产函数模型假设资本与劳动之间是完全不可以替代的，则产出量与投入要素组合之间的关系可以用如下形式的模型描述： 称为投入产出型生产函数。其中为生产1单位的产出量所必须投入的资本、劳动的数量。由于为常数，所以产出量所必须的资本投入量=，劳动投入量=，二者之比为常数，。代入(5.1.2)得到，即要素替代弹性为0，资本与劳动之间完全不可以替代。 C-D生产函数模型C-D生产函数模型假设要素替代弹性为1。与上述要素之间可以无限替代的线性生产函数模型和要素之间完全不可以替代的投入产出生产函数模型相比较，C-D生产函数模型假设要素替代弹性为1，是更加逼近于生产活动的实际，是一个很大的进步。但是，C-D生产函数模型关于要素替代弹性为1的假设仍然具有缺陷。根据这一假设，不管研究对象是什么，不管样本区间是什么，不管样本观测值是什么，要素替代弹性都为1，这是与实际不符的。 不变替代弹性(CES)生产函数模型要素替代弹性 一旦研究对象确定、样本观测值给定，可以得到参数的估计值，并计算得到要素替代弹性的估计值。对于不同的研究对象，或者同一研究对象的不同的样本区间，由于样本观测值不同，要素替代弹性是不同的。这使得CES生产函数比C-D生产函数更接近现实。但是，在CES生产函数中，仍然假定要素替代弹性与样本点无关，这就是不变替代弹性生产函数模型的“不变”的含义。而这一点，仍然是与实际不符的。对于不同的样本点，由于要素的比例不同，相互之间的替代性质也应该是不同的。所以，不变替代弹性生产函数模型还需要发展。 变替代弹性(VES)生产函数模型变替代弹性(Variable Elasticity of Substitution)生产函数模型中较著名的是Revankar于1971年提出的模型和Sato与Hoffman于1968年提出的模型。前者假定要素替代弹性为要素比例的线性函数，即 ，要素比例不同，要素之间的替代性能是不同的。当较大时，资本替代劳动就比较困难；当较小时，资本替代劳动就比较容易。后者假定要素替代弹性为时间的线性函数，即 随着时间的推移，技术的进步将使得要素之间的替代变得容易。以对技术要素的描述为线索对已有的生产函数模型进行综述： 将技术要素作为一个不变参数的生产函数模型在CD生产函数和不变替代弹性模型中，已经引入了技术要素，但是仅仅将它作为独立于其它投入要素之外的一个不变的参数。其基本假设是：技术进步是广义的；技术进步是中性的；技术进步改变了由其它投入要素的数量决定的生产活动的效率；技术进步的作用在所有样本点上都是相同的。 改进的C-D、CES生产函数模型在改进的C-D、CES生产函数模型中，作为资本和劳动产出弹性的参数不随样本点变化，这就是说技术进步不是节约资本型和节约劳动型，而是中性的。 含体现型技术进步的生产函数模型技术进步要素中有一部分是体现为资本、劳动等要素质量的提高，而资本、劳动等要素质量的提高使得相同数量的要素投入量具有不同的产出效果。所以，如果能将体现为资本、劳动等要素质量提高的技术进步因素从广义技术进步中分离出来，无论是对技术进步的作用机制描述，还是对技术进步作用的数量描述都是十分重要的。由Solow于1964年首先提出并由Nelson于1964年补充应用的含体现型技术进步的生产函数模型（也称为Solow-Nelton同期模型），就是在这个思路下发展起来的，是生产函数模型的一个重大进展。 总量增长方程 分离资本质量的含体现型技术进步的生产函数模型 分离劳动质量的含体现型技术进步的生产函数模型 边界生产函数模型边界生产函数按照边界的性质分为确定性边界生产函数和随机边界生产函数两大类。确定性边界生产函数把影响产出量的不可控因素（例如观测误差、方程设定误差等）和可控因素（例如生产非效率因素）不加区别，统统归入一个单侧的误差项中，作为对非效率的反映。其模型可以写成： 随机边界生产函数把影响产出量的不可控因素和可控因素加以区别。其模型可以写成： 7-5在选择模型类型、变量和函数形式时，各应考虑哪些因素？在建立与应用模型过程中有许多实际问题需要认真处理，其中较为突出的是数据质量问题。 样本数据的一致性问题可以作为生产函数模型样本数据的有两类：时间序列数据和截面数据。在选择哪类数据作样本时，需要特别注意一致性问题。 样本数据的准确性问题在生产函数模型估计中，经常遇到样本数据口径不一致的问题。处理的方法，一是按照最小口径建立模型，然后在应用中对全口径进行估算；二是利用其它信息对样本数据首先进行调整，然后再估计模型。 样本数据的可比性问题在生产函数模型估计中，更严重的问题是样本数据的可比性问题，主要表现是在不同的样本点上，实际相同的产出量或要素投入量出现不同的观测值数据。7-6扩展的线性支出系统需求函数模型(ELES)为克服LES（线性支出系统需求函数模型）在估计上的困难，1973年Liuch对LES作了两点修改，提出了扩展的线性支出系统需求函数模型。这两点修改是：以收入代替预算；将的概念由边际预算份额改为边际消费倾向。于是模型表达式为： 其中待估参数为基本需求量和边际消费倾向。按照它们的经济意义，应该有： 由收入和价格的样本观测值可以对模型进行估计。扩展的线性支出系统需求函数模型具有0阶齐次性。7-7简述CD生产函数和CES生产函数的特点以及各自的估计方法，熟练应用CD、CES生产函数模型及其改进型。CD生产函数：对于C-D生产函数模型及其改进型，两边取对数，即可化成线性模型，然后采用单方程线性计量经济学模型的估计方法估计其参数。但是其假设条件是随机误差项可以作为方程的一个因子与理论模型相乘，即模型的计量经济学型态为： 如果随机误差项作为方程的一个因子与理论模型相加，即 则要采用非线性模型的估计方法估计其参数。在实际应用中，都假设为前一种情况。CES生产函数：对CES生产函数模型 为一个关于参数的非线性模型，采用简单的方法难以化为线性模型。自1961年以来，关于它的估计问题有许多研究，主要有两类方法，即利用边际生产力条件的估计方法和直接估计方法。边际生产力条件，即当生产活动处于均衡的情况下，存在： 其中分别表示资本的利率、劳动的工资率和产出品的价格。将该条件应用于，经过适当的变换，可以得到线性计量经济学方程。由于边际生产力条件与实际生产活动有较大距离，在实际上我们基本不采用这类估计方法。顺便指出，对其它形式的生产函数模型，从理论上讲，也可以利用边际生产力条件进行估计，所以我们称其为“一类”估计方法。直接估计方法。将C-D生产函数模型的计量型态假设为： 两边取对数，得到： 将其中的 在处展开台劳级数，取0阶、1阶和2阶项，得到： (5. 1.35)为一个简单线性模型，通过变量置换，可以表示成： 采用单方程模型的估计方法，得到的估计值，利用对应关系和，可以计算得到关于参数的估计值。选择在处展开台劳级数，是因为当时，要素替代弹性等于1，即模型退化为C-D生产函数，由于C-D生产函数的普遍适用性，所以可以假定为接近于0的数。当参数估计完成后，可以根据的估计值是否接近于0来检验这种估计方法的可用性。从上式可以看出，当时，方程为： 即为C-D生产函数模型。所以可以认为CES生产函数模型是对C-D生产函数模型的修正。7-8根据包含内容的多少，技术进步可以分为广义技术进步与狭义技术进步。狭义技术进步仅指要素质量的提高。例如，由于性能的改进，同样数量的资本在生产过程中的贡献是不一样的；由于文化水平的提高，同样数量的劳动在生产过程中的贡献是不一样的。狭义的技术进步是体现在要素上的，它可以通过要素的“等价数量”来表示。例如，如果一个具有大学文化水平的劳动者对产出量的贡献是一个具有中学文化水平劳动者的3倍，那么就可以将一个具有大学文化水平的劳动者等价于3个具有中学文化水平劳动者，求得“等价劳动数量”，作为生产函数模型的样本观测值，以这样的方法来引入技术进步因素。广义技术进步除了要素质量的提高外还包括管理水平的提高等对产出量具有重要影响的因素，这些因素是独立于要素之外的。另一种对于技术进步的考虑是基于产出弹性比的，称为中性技术进步。假设在生产活动中除了技术以外，只有资本与劳动两种要素，定义两要素的产出弹性之比为相对资本密集度，用表示。即 如果技术进步使得越来越大，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得快，则称之为节约劳动型技术进步；如果技术进步使得越来越小，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得慢，则称之为节约资本型技术进步；如果技术进步前后不变，即劳动的产出弹性与资本的产出弹性同步增长，则称之为中性技术进步。在中性技术进步中，如果要素之比不随时间变化，则称为希克斯中性技术进步；如果劳动产出率不随时间变化，则称为索洛中性技术进步；如果资本产出率不随时间变化，则称为哈罗德中性技术进步。不同的技术进步类型是建立生产函数模型时必须要考虑的重要因素，对生产函数模型将产生重要影响。7-9消费函数与需求函数的研究内容有何不同？熟悉消费者行为理论的几种基本假说及由其导出的消费函数模型，能够解释各种消费函数的理论模型并推导出模型的一般形式。消费理论旨在研究消费行为。这里的消费指消费总量，而不是对具体商品或服务的消费需求，这是它有别于需求理论的主要之点。它的研究对象可以是一个国家、一个群体，甚至一个个体，但一定是对象的总消费。消费函数模型是关于研究对象的总消费与影响因素，主要是可支配的总收入之间关系的数学表达式。 绝对收入假设消费函数模型 绝对收入假设消费函数模型Keynesian认为，消费是由收入唯一决定的，消费与收入之间存在着稳定的函数关系。随着收入的增加，消费将增加，但消费的增长低于收入的增长，即边际消费倾向递减。根据这一理论假设，可以建立如下消费函数模型： 其中表示消费额，表示收入，为待估参数。从经济意义上讲，为自发性消费，为边际消费倾向，于是有： ， 关于绝对收入假设消费函数模型的讨论上述模型表达了Keynesian的消费是由收入唯一决定的假设，但是由于边际消费倾向为常数，并没有真正反映边际消费倾向递减规律。但是 可以较好地反映边际消费倾向递减规律，并且仍然有很方便地采用单方程模型的估计方法估计其参数。 相对收入假设消费函数模型 “示范性”假设消费函数模型Duesenberry认为，消费者的消费行为不仅受自身收入的影响，也受周围人的消费水平的影响。由消费的“示范性”，个人的平均消费倾向不仅与收入有关，而且与个人所处的群体的收入分布有关，在收入分布中处于低收入的个人，往往有较高的消费倾向。即 其中为该消费者所处的群体的平均收入水平。当一定时，对于较低的，其较高。这就是“示范性”的作用。上式的计量形态可表示为： 其中待估参数，反映个人的边际消费倾向；，反映群体平均收入水平对个体消费的影响。 “不可逆性”假设消费函数模型Duesenberry认为，消费者的消费支出水平不仅受当前收入的影响，也受自己历史上曾经实现的的消费水平的影响。由消费的“不可逆性”，当前的平均消费倾向不仅与收入有关，而且与所曾经达到的消费水平，即曾经达到的最高收入水平有关，当前收入低于曾经达到的最高收入时，往往有较高的消费倾向。即 其中为该消费者曾经达到的最高收入水平。从上式可以看出，当一定时，对于较低的，其较高。这就是“不可逆性”的作用。上式的计量形态可表示为： 其中待估参数，反映当前的边际消费倾向；，反映曾经达到的最高收入水平对当前消费的影响。 生命周期假设消费函数模型Modigliani，Brumberg和Ando于1954年提出，消费者现期消费不仅与现期收入有关，而且与消费者以后各期收入的期望值、开始时的资产数量和年龄有关。消费者一生中消费支出流量的现值要等于一生中各期收入流量的现值。所以，消费者的预算约束为： 其中为贴现率。在预算约束下，消费者总希望将自己一生的全部收入在消费支出中进行最优分配，使得效用函数达到最大。于是推导消费函数问题就变成下列拉格郎日函数的极值问题： 表明消费是各个时期的收入和贴现率的函数。一般近似地用下列函数描述生命周期假设消费函数模型： 其中为时刻的资产存量，待估参数，反映当前的边际消费倾向；，反映消费者已经积累的财富对当前消费的影响。对上式的理论形式（即不出现随机误差项）作如下变换： 从中可以看出，已经积累的财富越多，其当前的消费倾向越高。模型可以很方便地采用单方程模型的估计方法估计其参数。 持久收入假设消费函数模型Friedman于1957年提出了消费的持久收入假设，它是对Keynesian的绝对收入假设的修正与补充。分析消费者的消费行为发现，在消费中有一部分是经常的必须保证的基本消费，另一部分是非经常的额外消费；而收入也可以分成两部分，一部分是可以预料到的长久性的、带有常规性的持久收入，另一部分是非连续性的、带有偶然性的瞬时收入。即 其中分别为实际收入、持久收入和瞬时收入；分别为实际消费、持久消费和瞬时消费。持久消费由持久收入决定，瞬时消费由瞬时收入决定。于是持久收入假设消费函数模型的一种计量形态是： 合理预期的消费函数模型理性预期理论认为，人们可以对原因变量进行预期，然后根据原因变量的预期值对结果变量进行预测。于是，在消费函数研究中，假设第