数学模型第三版_课后习题答案.pdf

第一章作业解答第 1 页 共 58 页 数学模型 作业解答 数学模型 作业解答 第二章第二章 1 2008 年年 9 月月 16 日 日 1 1 学校共 1000 名学生 235 人住在 A 宿舍 333 人住在 B 宿舍 432 人住在 C 宿舍 学生们 要组织一个 10 人的委员会 试用下列办法分配各宿舍的委员数 1 按比例分配取整数的名额后 剩下的名额按惯例分给小数部分较大者 2 1 中的 Q 值方法 3 d Hondt 方法 将 A B C 各宿舍的人数用正整数 n 1 2 3 相除 其商数 如下表 将所得商数从大到小取前 10 个 10 为席位数 在数字下标以横线 表中 A B C 行有横线的数分别为 2 3 5 这就是 3 个宿舍分配的席位 你能解释这种方法的道理吗 如果委员会从 10 个人增至 15 人 用以上 3 种方法再分配名额 将 3 种方法两次分 配的结果列表比较 解 解 先考虑 N 10 的分配方案 432 333 235 321 ppp 3 1 1000 i i p 方法一 按比例分配 方法一 按比例分配 35 2 3 1 1 1 i i p Np q 33 3 3 1 2 2 i i p Np q 32 4 3 1 3 3 i i p Np q 分配结果为 4 3 3 321 nnn 方法二 方法二 Q Q 值方法 值方法 9 个席位的分配结果 可用按比例分配 为 4 3 2 321 nnn 1 2 3 4 5 A B C 235 117 5 78 3 58 75 333 166 5 111 83 25 432 216 144 108 86 4 第一章作业解答第 2 页 共 58 页 第 10 个席位 计算 Q 值为 17 9204 32 235 2 1 Q 75 9240 43 3332 2 Q 2 9331 54 432 2 3 Q 3 Q最大 第 10 个席位应给 C 分配结果为 5 3 2 321 nnn 方法三 方法三 d d HondtHondt 方法 方法 此方法的分配结果为 5 3 2 321 nnn 此方法的道理是 此方法的道理是 记 i p和 i n为各宿舍的人数和席位 i 1 2 3 代表 A B C 宿舍 i i n p 是 每席位代表的人数 取 2 1 i n从而得到的 i i n p 中选较大者 可使对所有的 i i i n p 尽量接 近 再考虑15 N的分配方案 类似地可得名额分配结果 现将 3 种方法两次分配的结果列 表如下 宿舍 1 2 3 1 2 3 A B C 3 2 2 3 3 3 4 5 5 4 4 3 5 5 5 6 6 7 总计 10 10 10 15 15 15 2 2 试用微积分方法 建立录像带记数器读数 n 与转过时间的数学模型 解 解 设录像带记数器读数为 n 时 录像带转过时间为 t 其模型的假设见课本 考虑t到tt 时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度 可得 2 kdnwknrvdt 两 边积分 得 nt dnwknrkvdt 00 2 2 2 2 n wkk r n vt 2 2 2 n v kw n v rk t 第二章第二章 2 2 2002008 8 年年 1010 月月 9 9 日 日 1515 速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上 空气密度是 用量纲分析方法确定风车 第一章作业解答第 3 页 共 58 页 获得的功率P与v S 的关系 解解 设P v S 的关系为0 svPf 其量纲表达式为 P 32 TML v 1 LT s 2 L 3 ML 这里TML 是基本量纲 量纲矩阵为 A 0013 1001 3212 svP T M L 齐次线性方程组为 03 0 0322 21 41 4321 yy yy yyyy 它的基本解为 1 1 3 1 y 由量纲 i P定理得 1131 svP 113 svP 其中 是无量纲常数 1616 雨滴的速度v与空气密度 粘滞系数 和重力加速度g有关 其中粘滞系数的定义 是 运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比 比例系数为粘滞系 数 用量纲分析方法给出速度v的表达式 解解 设v g 的关系为 fv g 0 其量纲表达式为 v LM 0T 1 L 3MT0 MLT 2 LT 1L 1 1L 2 MLL 2T 2T L 1MT 1 g LM 0T 2 其中 L M T 是基本量纲 量纲矩阵为 A 2101 0110 1131 gv T M L 齐次线性方程组 Ay 0 即 02y y y 0 yy 0yy 3y y 431 32 4321 的基本解为 y 3 1 1 1 由量纲 i P定理 得 gv 13 3 g v 其中 是无量纲常数 1616 雨滴的速度v与空气密度 粘滞系数 特征尺寸 和重力加速度g有关 其中粘 第一章作业解答第 4 页 共 58 页 滞系数的定义是 运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比 比例 系数为粘滞系数 用量纲分析方法给出速度v的表达式 解解 设v g 的关系为0 gvf 其量纲表达式为 v LM 0T 1 L 3MT0 MLT 2 LT 1L 1 1L 2 MLL 2T 2T L 1MT 1 LM0T0 g LM 0T 2 其中 L M T 是基本量纲 量纲矩阵为 A 21001 01100 11311 gv T M L 齐次线性方程组 Ay 0 即 02 0 03 541 43 54321 yyy yy yyyyy 的基本解为 2 1 1 1 2 3 0 2 1 0 0 2 1 1 2 1 y y 得到两个相互独立的无量纲量 2 112 3 2 2 12 1 1 g gv 即 1 2 12 12 3 1 ggv 由0 21 得 1 21 12 12 3 gg 其中 是未定函数 2020 考察阻尼摆的周期 即在单摆运动中考虑阻力 并设阻力与摆的速度成正比 给出周期的 表达式 然后讨论物理模拟的比例模型 即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期 解解 设阻尼摆周期t 摆长l 质量m 重力加速度g 阻力系数k的关系为 0 kgmltf 其量纲表达式为 112120000000 LTMLTvfkTLMgMTLmTLMlTMLt 10 MTL 其中L M T是基本量纲 第一章作业解答第 5 页 共 58 页 量纲矩阵为 A 12001 10100 01010 kgmlt T M L 齐次线性方程组 02 0 0 541 53 42 yyy yy yy 的基本解为 1 2 1 1 2 1 0 0 2 1 0 2 1 1 2 1 Y Y 得到两个相互独立的无量纲量 g l t 1 21 2 1 2 1 2 mg kl 2 1 2 1 mg kl g l t 其中 是未定函数 考虑物理模拟的比例模型 设g和k不变 记模型和原型摆的周期 摆长 质量分别为 t t l l m m 又 2 1 2 1 gm l k g l t 当无量纲量 l l m m 时 就有 l l l g g l t t 数学模型 作业解答 数学模型 作业解答 第三章第三章 1 1 2002008 8 年年 1010 月月 1414 日 日 1 1 在 3 1 节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用 重新确定最优订货周期和订货 批量 证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样 而在允许缺货模型中最优订货周期 和订货批量都比原来结果减少 2 2 112 1 1 2 12 1 kgml gtl 第一章作业解答第 6 页 共 58 页 解 解 设购买单位重量货物的费用为k 其它假设及符号约定同课本 0 1 对于不允许缺货模型 每天平均费用为 kr rTc T c TC 2 21 2 2 2 1 rc T c dT dC 令0 dT dC 解得 rc c T 2 1 2 由rTQ 得 2 1 2 c rc rTQ 与不考虑购货费的结果比较 的最优结果没有变 0 2 对于允许缺货模型 每天平均费用为 kQQrT r c r Qc c T QTC 23 2 2 1 22 1 22 2 33 2 2 2 2 1 222T kQ rT Qcrc rT Qc T c T C T k rT Qc c rT Qc Q C 3 3 2 令 0 0 Q C T C 得到驻点 32322 22 3 32 3 2 1 32 2 3 32 2 1 2 2 cc kr ccc rkc cc c c rc Q cc k c cc rc c T 与不考虑购货费的结果比较 的最优结果减少 2 2 建立不允许缺货的生产销售存贮模型 设生产速率为常数k 销售速率为常数r 第一章作业解答第 7 页 共 58 页 rk 在每个生产周期 内 开始的一段时间 0 0Tt 一边生产一边销售 后来的 一段时间 0 TtT 只销售不生产 画出贮存量 tg的图形 设每次生产准备费为 1 c 单位时间每件产品贮存费为 2 c 以总费用最小为目标确定最优生产周期 讨论rk 和rk 的情况 解 解 由题意可得贮存量 tg的图形如下 贮存费为 n i T ii t TTrk cdttgctgc 1 0 2 0 2 0 2 2 lim 又 00 TTrTrk T k r T 0 贮存费变为 k TTrkr c 2 2 于是不允许缺货的情况下 生产销售的总费用 单位时间内 为 k Trkr c T c kT Trkrc T c TC 2 2 2 1 2 21 k rkr c T c dT dC 2 2 2 1 0 dT dC 令 得 2 2 1 rkrc kc T 易得函数处在 TTC 取得最小值 即最优周期为 2 2 1 rkrc kc T rc c Trk 2 1 2 时当 相当于不考虑生产的情况 Trk时当 此时产量与销量相抵消 无法形成贮存量 rk tg r t g T 0 T O 第一章作业解答第 8 页 共 58 页 第三章第三章 2 2 2002008 8 年年 1010 月月 1616 日 日 3 3 在 3 3 节森林救火模型中 如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势b有关 试假设一个合理的函数关系 重新求解模型 解 解 考虑灭火速度 与火势b有关 可知火势b越大 灭火速度 将减小 我们作如 下假设 1 b k b 分母 时是防止中的011bb而加的 总费用函数 xc bkx bxtc bkx btctc xC 3 12 2 1 2 1 2 11 1 2 1 2 最优解为 k b kc bbbckbc x 1 2 1 1 2 2 3 2 2 1 5 5 在考虑最优价格问题时设销售期为 T 由于商品的损耗 成本q随时间增长 设 tqtq 0 为增长率 又设单位时间的销售量为 为价格pbpax 今将销售 期分为Tt TT t 22 0和两段 每段的价格固定 记作 21 p p 求 21 p p的最优值 使销售期内的总利润最大 如果要求销售期 T 内的总售量为 0 Q 再求 21 p p的最优值 解 解 按分段价格 单位时间内的销售量为 Tt T bpa T tbpa x 2 2 0 2 1 又 tqtq 0 于是总利润为 2 0 2 221121 T T T dtbpatqpdtbpatqppp 2 2 0 2 2 2 022 2 011T T ttqtpbpa T ttqtpbpa 8 3 22 822 2 02 2 2 01 1 TtqTp bpa TTqTp bpa 2 822 1 2 01 1 bpa TTTqTp b p 第一章作业解答第 9 页 共 58 页 2 8 3 22 2 2 02 2 bpa TTtqTp b p 0 0 21 pp 令 得到最优价格为 4 3 2 1 4 2 1 02 01 T qba b p T qba b p 在销售期 T 内的总销量为 2 0 2 21210 2 T T T pp bT aTdtbpadtbpaQ 于是得到如下极值问题 8 3 22 822 max 2 02 2 2 01 121 TtqTp bpa TTqTp bpapp ts 021 2 Qpp bT aT 利用拉格朗日乘数法 解得 8 8 0 2 0 1 T bT Q b a p T bT Q b a p 即为 21 p p的最优值 第三章第三章 3 3 2002008 8 年年 1010 月月 2121 日 日 6 6 某厂每天需要角钢 100 吨 不允许缺货 目前每 30 天定购一次 每次定购的费用为 2500 元 每天每吨角钢的贮存费为 0 18 元 假设当贮存量降到零时订货立即到达 问是否应改变 订货策略 改变后能节约多少费用 解 解 已知 每天角钢的需要量 r 100 吨 每次订货费 1 c 2500 元 每天每吨角钢的贮存费 2 c 0 18 元 又现在的订货周期 T0 30 天 第一章作业解答第 10 页 共 58 页 根据不允许缺货的贮存模型 krrTc T c TC 2 1 2 1 得 kT T TC1009 2500 令 0 dT dC 解得 3 50 9 2500 T 由实际意义知 当 3 50 T 即订货周期为 3 50 时 总费用将最小 又kTC100 3 50 9 50 25003 300 100k kTC100309 30 2500 0 353 33 100k 0 TC TC 353 33 100k 300 100k 3 2 53 33 故应改变订货策略 改变后的订货策略 周期 为 T 3 50 能节约费用约 53 33 元 数学模型 作业解答 数学模型 作业解答 第第四四章 章 2002008 8 年年 1010 月月 2828 日 日 1 1 某厂生产甲 乙两种产品 一件甲产品用A原料 1 千克 B原料 5 千克 一件乙产品用 A原料 2 千克 B原料 4 千克 现有A原料 20 千克 B原料 70 千克 甲 乙产品每件售价 分别为 20 元和 30 元 问如何安排生产使收入最大 解 解 设安排生产甲产品 x 件 乙产品 y 件 相应的利润为 S 则此问题的数学模型为 max S 20 x 30y s t Zyxyx yx yx 0 7045 202 这是一个整线性规划问题 现用图解法进行求解 可行域为 由直线 1 l x 2y 20 2 l 5x 4y 70 2 l y 以及 x 0 y 0 组成的凸四边形区域 9 2500 2 TdT dC 第一章作业解答第 11 页 共 58 页 直线l 20 x 30y c 在可行域内 l 平行移动 易知 当l过 1 l与 2 l的交点时 1 l x S 取最大值 由 7045 202 yx yx 解得 5 10 y x 此时 max S 2053010 350 元 2 2 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物 每箱的体积 重量以及可获利润如下表 货物 体积 立方米 箱 重量 百斤 箱 利润 百元 箱 甲 5 2 20 乙 4 5 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过 24 立方米 重量不超过 13 百斤 试问这两种 货物各托运多少箱 使得所获利润最大 并求出最大利润 解解 设甲货物 乙货物的托运箱数分别为 1 x 2 x 所获利润为z 则问题的数学模型可表示为 21 1020 maxxxz Zyxxx xx xx st 0 1352 2445 21 21 21 这是一个整线性规划问题 用图解法求解 可行域为 由直线 2445 211 xxl 1352 212 xxl 及0 0 21 xx组成直线 cxxl 21 1020 在此凸四边形区域内 平行移动 2 l l 1 x 1 l 2 x 第一章作业解答第 12 页 共 58 页 易知 当l过l 1与l2的交点时 z取最大值 由 1352 2445 21 21 xx xx 解得 1 4 2 1 x x 90110420 max z 3 3 某微波炉生产企业计划在下季度生产甲 乙两种型号的微波炉 已知每台甲型 乙型微 波炉的销售利润分别为 3 和 2 个单位 而生产一台甲型 乙型微波炉所耗原料分别为 2 和 3 个单位 所需工时分别为 4 和 2 个单位 若允许使用原料为 100 个单位 工时为 120 个单位 且甲型 乙型微波炉产量分别不低于 6 台和 12 台 试建立一个数学模型 确定生产甲型 乙 型微波炉的台数 使获利润最大 并求出最大利润 解解 设安排生产甲型微波炉x件 乙型微波炉y件 相应的利润为 S 则此问题的数学模型为 max S 3x 2y s t Zyxyx yx yx 12 6 12024 10032 这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解 可行域为 由直线 1 l 2x 3y 100 2 l 4x 2y 120 及 x 6 y 12 组成的凸四边形区域 直线l 3x 2y c 在此凸四边形区域内平行移动 易知 当l过 1 l与 2 l的交点时 S 取 最大值 由 12024 10032 yx yx 解得 第一章作业解答第 13 页 共 58 页 20 20 y x max S 320220 100 数学模型 作业解答 数学模型 作业解答 第五章第五章 1 1 20082008 年年 1111 月月 1212 日 日 1 1 对于 5 1 节传染病的SIR模型 证明 1 若处最大先增加 在则 1 1 0 stis 然后减少并趋于零 ts单调减少 至 s 2 1 0 ststis单调减少至单调减少并趋于零 则若 解 解 传染病的SIR模型 14 可写成 i s dt ds si dt di 1 lim 0 t 0 t 存在而单调减少知由 stssts dt ds i s dt ds sts单调减少至故 1 ss t s t 1 00 单调减少由若 s 0 01 1 0 单调增加时当ti dt di sss 0 01 1 单调减少时当ti dt di ss 0 lim 0 18 t tii即式知又由书上 第一章作业解答第 14 页 共 58 页 0 1 m iti dt di s达到最大值时当 2 0 0 1 s 1 1 0 dt di tss 从而则若 0 0lim ititi t 即单调减少且 4 4 在 5 3 节正规战争模型 3 中 设乙方与甲方战斗有效系数之比为 4 b a 初始兵力 00 yx 与相同 1 问乙方取胜时的剩余兵力是多少 乙方取胜的时间如何确定 2 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援 重新建立模型 讨论如何判断 双方的胜负 解解 用 tytx 表示甲 乙交战双方时刻 t 的士兵人数 则正规战争模型可近似表示为 00 0 0 1 yyxx bx dt dy ay dt dx 现求 1 的解 1 的系数矩阵为 0 0 b a A abab b a AE 1 2 2 0 1 2 1 2 21 对应的特征向量分别为 tabtab eCeC ty tx 1 2 1 2 1 21 的通解为 再由初始条件 得 第一章作业解答第 15 页 共 58 页 2 22 0 0 0 0 tabtab ey x ey x tx 又由 1 ay bx dx dy 可得 其解为 3 2 0 2 0 22 bxaykkbxay 而 1 2 3 10 00 2 0 2 0 11 y a b y a bxay a k tytx 时 当 即乙方取胜时的剩余兵力数为 2 3 0 y 又令 0 22 2 0 11 0 0 0 0 1 tabtab ey x ey x tx 得由 注意到 00 002 00 2 2 1 xy yx eyx tab 得 4 3ln 3 1 2 1 b te tab 2 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援 则 00 0 0 4 yyxx bx dt dy ray dt dx 4rdyaydybxdx bx ray dy dx 即得由 相轨线为 2 22 kbxryay 2 2 2 2 2 0 0 2 0 k a r bx a r yabxryayk 或 此相轨线比书图 11 中的轨线上移了 第一章作业解答第 16 页 共 58 页 a r 乙方取胜的条件为 0 2 2 2 0 2 0 a r x a b a r yk 亦即 第五章第五章 2 2 20082008 年年 1111 月月 1414 日 日 6 6 模仿 5 4 节建立的二室模型来建立一室模型 只有中心室 在快速静脉注射 恒速静脉 滴注 持续时间为 和口服或肌肉注射 3 种给药方式下求解血药浓度 并画出血药浓度曲 线的图形 解解 设给药速率为 0 VtCtxtf容积为血药浓度为中心室药量为 0 tVCtxtftkxtxk 则排除速率为常数 1 快速静脉注射 设给药量为 0 D 则 0 0 00 0 tk e V D tC V D Ctf 解得 2 恒速静脉滴注 持续时间为 设滴注速率为 00 000 Cktfk 则解得 tee Vk k te Vk k tC tkkt kt 1 0 1 0 0 3 口服或肌肉注射 解得 式节 见134 5 01 0010 tk eDktf 01 01 01 001 01 kkte V kD kkee kkV Dk tC kt tkkt 3 种情况下的血药浓度曲线如下 中心室 tC tx V k 排除 tf0 第一章作业解答第 17 页 共 58 页 第五章第五章 3 3 20082008 年年 1111 月月 1818 日 日 8 8 在 5 5 节香烟过滤嘴模型中 1 设3 0 50 08 0 02 0 20 80 800 21 asmmbmmlmmlmgM 求 21 QQQ和 2 若有一支不带过滤嘴的香烟 参数同上 比较全部吸完和只吸到 1 l处的情况下 进入人 体毒物量的区别 解解 857563 2291 02 07 0 50103 0 1 50 8002 07 0 50 2008 0 0 1 2 毫克 eeee ba vaw Q v bla v l 10 10 lMw其中 97628571 0 50 2002 008 0 2 1 2 ee Q Q v lb 1 2 3 O t 第一章作业解答第 18 页 共 58 页 2 对于一支不带过滤嘴的香烟 全部吸完的毒物量为 v bla e ba vaw Q 1 0 3 只吸到 1 l处就扔掉的情况下的毒物量为 v bla v bl ee ba vaw Q 1 2 1 0 4 256531719 1 1 1 0096 0032 0 012 004 0 50 8002 03 0 50 8002 0 50 10002 03 0 50 10002 0 4 3 11 1 1 ee ee ee ee ee ee ee ee Q Q v abl v bl v abl v bl v bla v bl v bla v bl 44 235 84 295 43 Q 4 4 在 5 3 节正规战争模型 3 中 设乙方与甲方战斗有效系数之比为 4 b a 初始兵力 00 yx 与相同 1 问乙方取胜时的剩余兵力是多少 乙方取胜的时间如何确定 2 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援 重新建立模型 讨论如何判断 双方的胜负 解解 用 tytx 表示甲 乙交战双方时刻 t 的士兵人数 则正规战争模型可近似表示为 00 0 0 1 yyxx bx dt dy ay dt dx 现求 1 的解 1 的系数矩阵为 0 0 b a A abab b a AE 1 2 2 0 第一章作业解答第 19 页 共 58 页 1 2 1 2 21 对应的特征向量分别为 tabtab eCeC ty tx 1 2 1 2 1 21 的通解为 再由初始条件 得 2 22 0 0 0 0 tabtab ey x ey x tx 又由 1 ay bx dx dy 可得 其解为 3 2 0 2 0 22 bxaykkbxay 而 1 2 3 10 00 2 0 2 0 11 y a b y a bxay a k tytx 时 当 即乙方取胜时的剩余兵力数为 2 3 0 y 又令 0 22 2 0 11 0 0 0 0 1 tabtab ey x ey x tx 得由 注意到 00 002 00 2 2 1 xy yx eyx tab 得 4 3ln 3 1 2 1 b te tab 2 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援 则 00 0 0 4 yyxx bx dt dy ray dt dx 第一章作业解答第 20 页 共 58 页 4rdyaydybxdx bx ray dy dx 即得由 相轨线为 2 22 kbxryay 2 2 2 2 2 0 0 2 0 k a r bx a r yabxryayk 或 此相轨线比书图 11 中的轨线上移了 a r 乙方取胜的条件为 0 2 2 2 0 2 0 a r x a b a r yk 亦即 数学模型 作业解答 数学模型 作业解答 第第六六章 章 2002008 8 年年 1111 月月 2020 日 日 1 在 6 1 节捕鱼模型中 如果渔场鱼量的自然增长仍服从 Logistic 规律 而单位时间捕捞 量为常数 h 1 分别就4 rNh 4 rNh 4 rNh 这 3 种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳 定状况 2 如何获得最大持续产量 其结果与 6 1 节的产量模型有何不同 解解 设时刻 t 的渔场中鱼的数量为 tx 则由题设条件知 tx变化规律的数学模型为 h N x rx dt tdx 1 记h N x rxxF 1 1 讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性 由 0 xF 得0 1 h N x rx 即 10 2 hrxx N r 4 4 2 N h rr N rh r 1 的解为 2 4 1 2 1 N rN h N x 当4 rNh 0 1 无实根 此时无平衡点 第一章作业解答第 21 页 共 58 页 当4 rNh 0 1 有两个相等的实根 平衡点为 2 0 N x N rx r N rx N x rxF 2 1 0 0 xF 不能断定其稳定性 但 0 xx 及 0 xx 均有0 4 1 rN N x rxxF 即0 dt dx 0 x不稳定 当4 rNh 0 时 得到两个平衡点 2 4 1 1 N rN h N x 2 4 1 2 N rN h N x 易知 2 1 N x 2 2 N x 0 1 xF 0 2 xF 平衡点 1 x不稳定 平衡点 2 x稳定 2 最大持续产量的数学模型为 0 max xFts h 即 1 max N x rxh 易得 2 0 N x 此时 4 rN h 但 2 0 N x 这个平衡点不稳定 这是与 6 1 节的产量模型不同之处 要获得最大持续产量 应使渔场鱼量 2 N x 且尽量接近 2 N 但不能等于 2 N 2 与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型 x N rxtxln 其 中 r 和 N 的意义与 Logistic 模型相同 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型 且单位时间捕捞量为Exh 讨论渔场鱼量的 平衡点及其稳定性 求最大持续产量 m h及获得最大产量的捕捞强度 m E和渔场鱼量水平 0 x 解 解 tx变化规律的数学模型为 Ex x N rx dt tdx ln 记 Ex x N rxxF ln 令 0 xF 得0ln Ex x N rx r E Nex 0 0 1 x x Nxrx 1 2 x 2 N 1 x 4 rNh 4 rNh 4 rNh 第一章作业解答第 22 页 共 58 页 平衡点为 1 0 xx 又 Er x N rxF ln 1 0 0 xFrxF 平衡点 o x是稳定的 而平衡点 1 x不稳定 x N rxln e rN 最大持续产量的数学模型为 0 0ln max xEx x N rxts Exh 由前面的结果可得 r E ENeh r E r E e r EN Ne dE dh 令 0 dE dh 得最大产量的捕捞强度rEm 从而得到最大持续产量erNhm 此时渔场鱼量水平 e N x 0 3 设某渔场鱼量 tx 时刻t渔场中鱼的数量 的自然增长规律为 1 N x rx dt tdx 其中r为固有增长率 N为环境容许的最大鱼量 而单位时间捕捞量为常数h 1 0 求渔场鱼量的平衡点 并讨论其稳定性 2 0 试确定捕捞强度 m E 使渔场单位时间内具有最大持续产量 m Q 求此时渔场鱼量水平 0 x 解解 1 0 tx变化规律的数学模型为 h N x rx dt tdx 1 记h N x rxxf 1 令 0 1 h N x rx 即 0 2 hrxx N r 1 4 4 2 N h rr N rh r 1 的解为 2 4 1 2 1 N rN h N x 当0 时 1 无实根 此时无平衡点 y Exy xfy x 0 x 0 e N 第一章作业解答第 23 页 共 58 页 当0 时 1 有两个相等的实根 平衡点为 2 0 N x N rx r N rx N x rxf 2 1 0 0 xf 不能断定其稳定性 但 0 xx 及 0 xx 均有0 4 1 rN N x rxxf 即0 dt dx 0 x不稳定 当0 时 得到两个平衡点 2 4 1 1 rN h NN x 2 4 1 2 rN h NN x 易知 2 1 N x 2 2 N x 0 1 xf 0 2 xf 平衡点 1 x不稳定 平衡点 2 x稳定 2 0 最大持续产量的数学模型为 0 max xfts h 即 1 max N x rxh 易得 2 0 N x 此时 4 rN h 但 2 0 N x 这个平衡点不稳定 要获得最大持续产量 应使渔场鱼量 2 N x 且尽量接近 2 N 但不能等于 2 N 数学模型 数学模型 第七章第七章作业作业 2002008 8 年年 1212 月月 4 4 日 日 1 对于 7 1 节蛛网模型讨论下列问题 1 因为一个时段上市的商品不能立即售完 其数量也会影响到下一时段的 价格 所以第1 k时段的价格 1 k y由第1 k和第k时段的数量 1 k x和 k x决定 如 果仍设 1 k x仍只取决于 k y 给出稳定平衡的条件 并与 7 1 节的结果进行比较 2 已知某商品在k时段的数量和价格分别为 k x和 k y 其中 1 个时段相当于商品 的一个生产周期 设该商品的需求函数和供应函数分别为 kk xfy 和 第一章作业解答第 24 页 共 58 页 2 1 1 kk k yy gx 试建立关于商品数量的差分方程模型 并讨论稳定平衡条件 3 已知某商品在k时段的数量和价格分别为 k x和 k y 其中 1 个时段相当于商 品的一个生产周期 设该商品的需求函数和供应函数分别为 2 1 1 kk k xx fy 和 1kk ygx 试建立关于商品数量的差分方程模型 并讨论稳定平衡条件 数学模型 作业解答 数学模型 作业解答 第第七七章 章 2002008 8 年年 1212 月月 4 4 日 日 2 对于 7 1 节蛛网模型讨论下列问题 1 因为一个时段上市的商品不能立即售完 其数量也会影响到下一时段的价格 所以 第1 k时段的价格 1 k y由第1 k和第k时段的数量 1 k x和 k x决定 如果仍设 1 k x仍只取 决于 k y 给出稳定平衡的条件 并与 7 1 节的结果进行比较 2 若除了 1 k y由 1 k x和 k x决定之外 1 k x也由前两个时段的价格 k y和 1 k y确定 试分 析稳定平衡的条件是否还会放宽 解 解 1 由题设条件可得需求函数 供应函数分别为 2 1 1 1 kk kk k yhx xx fy 在 000 yxP点附近用直线来近似曲线hf 得到 2 0 1 0 2 001 0 1 01 yyxx x xx yy kk kk k 由 2 得 3 0102 yyxx kk 第一章作业解答第 25 页 共 58 页 1 代入 3 得 2 0 1 02 x xx xx kk k 0012 222 xxxxx kkk 对应齐次方程的特征方程为 02 2 特征根为 4 8 2 2 1 当8 时 则有特征根在单位圆外 设8 则 24 8 4 2 2 2 2 1 2 1 2 1 即平衡稳定的条件为2 与 207 P的结果一致 2 此时需求函数 供应函数在 000 yxP处附近的直线近似表达式分别为 5 0 2 4 0 2 0 1 01 0 1 01 y yy xx x xx yy kk k kk k 由 5 得 yyy y x x kkk 62 010203 将 4 代入 6 得 2 2 2 0 1 0 12 03 x xx x xx xx kkkk k 00123 4424 xxxxxx kkkk 对应齐次方程的特征方程为 7 024 23 代数方程 7 无正实根 且 42 不是 7 的根 设 7 的三个非零根分 别为 321 则 第一章作业解答第 26 页 共 58 页 4 2 4 321 133221 321 对 7 作变换 12 则 0 3 qp 其中 612 8 4 1 12 2 4 1 22 3 3322 qp 用卡丹公式 3 32 3 322 3 3 322 3 32 2 3 32 3 32 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 pqq w pqq w pqq w pqq w pqqpqq 其中 2 31i w 求出 321 从而得到 321 于是得到所有特征根1 的条件 2 已知某商品在k时段的数量和价格分别为 k x和 k y 其中 1 个时段相当于商品的一个生 产周期 设该商品的需求函数和供应函数分别为 kk xfy 和 2 1 1 kk k yy gx 试建立 关于商品数量的差分方程模型 并讨论稳定平衡条件 解解 已知商品的需求函数和供应函数分别为 kk xfy 和 2 1 1 kk k yy gx 设曲线f和g相交于点 000 yxP 在点 0 P附近可以用直线来近似表示曲线f和g 0 00 xxyy kk 1 0 2 0 1 01 y yy xx kk k 2 从上述两式中消去 k y可得 第一章作业解答第 27 页 共 58 页 2 1 1 22 012 kxxxx kkk 3 上述 3 式是我们所建立的差分方程模型 且为二阶常系数线性非齐次差分方程 为了寻求 0 P点稳定平衡条件 我们考虑 3 对应的齐次差分方程的特征方程 02 2 容易算出其特征根为 4 8 2 2 1 4 当 8 时 显然有 44 8 2 2 5 从而 2 2 2 在单位圆外 下面设8 由 5 式可以算出 2 2 1 要使特征根均在单位圆内 即 2 1 1 必须 2 故 0 P点稳定平衡条件为 2 3 已知某商品在k时段的数量和价格分别为 k x和 k y 其中 1 个时段相当于商品的一个生 产周期 设该商品的需求函数和供应函数分别为 2 1 1 kk k xx fy 和 1kk ygx 试建 立关于商品数量的差分方程模型 并讨论稳定平衡条件 解解 已知商品的需求函数和供应函数分别为 2 1 1 kk k xx fy 和 1kk ygx 设曲线f和g相交于点 000 yxP 在点 0 P附近可以用直线来近似表示曲线f和g 0 2 0 1 01 x xx yy kk k 1 0 001 yyxx kk 2 由 2 得 0102 yyxx kk 3 1 代入 3 可得 2 0 1 02 x xx xx kk k 第一章作业解答第 28 页 共 58 页 2 1 222 0012 kxxxxx kkk 4 上述 4 式是我们所建立的差分方程模型 且为二阶常系数线性非齐次差分方程 为了寻求 0 P点稳定平衡条件 我们考虑 4 对应的齐次差分方程的特征方程 02 2 容易算出其特征根为 4 8 2 2 1 4 当 8 时 显然有 44 8 2 2 5 从而 2 2 2 在单位圆外 下面设8 由 5 式可以算出 2 2 1 要使特征根均在单位圆内 即 2 1 1 必须 2 故 0 P点稳定平衡条件为 2 数学模型 作业解答 数学模型 作业解答 第第八八章 章 2002008 8 年年 1212 月月 9 9 日 日 1 证明 8 1 节层次分析模型中定义的n阶一致阵A有下列性质 1 A的秩为 1 唯一非零特征根为n 2 A的任一列向量都是对应于n的特征向量 证明 证明 1 由一致阵的定义知 A满足 ikjkij aaa nkji 2 1 于是对于任意两列ji 有 ij jk ik a a a nk 2 1 即i列与j列对应分量成比例 从而对A作初等行变换可得 第一章作业解答第 29 页 共 58 页 000 000 11211 n bbb A 初等行变换 B 这里0 B 1 B秩 从而秩 1 A 再根据初等行变换与初等矩阵的关系知 存在一个可逆阵P 使BPA 于是 000 000 11211 11 n ccc BPPAPC 易知 C 的特征根为0 0 11 c 只有一个非零特征根 又A C A 与 C 有相同的特征根 从而 A 的非零特征根为 11 c 又 对于任意 矩阵有 naaaATr nnn 111 221121 故 A 的唯一非 零特征根为n 2 对于 A 的任一列向量 T nkkk aaa 21 nk 2 1 有 T nkkk nk k k n j nk n j k n j k n j jknj n j jkj n j jkj T nkkk aaan na na na a a a aa aa aa aaaA 21 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 21 A 的任一列向量 T nkkk aaa 21 都是对应于n的特征向量 7 右下图是 5 位网球选手循环赛的结果 作为竞赛图 它 是双向连通的吗 找出几条完全路径 用适当方法排出 5 位 选手的名次 解 解 这个 5 阶竞赛图是一个 5 阶有向 Hamilton 图 其一个有 向 Hamilton 圈为 332541 所以此竞赛图 是双向连通的 2 1 3 4 5 第一章作业解答第 30 页 共 58 页 32154 13542 42135 41325 等都是完全路径 此竞赛图的邻接矩阵为 00111 10100 00001 01100 01010 A 令 Te1 1 1 1 1 各级得分向量为 TAeS3 2 1 2 2 1 TASS5 4 2 3 4 12 TASS9 7 4 6 7 23 TASS17 13 7 11 13 34 由此得名次为 5 1 4 2 3 选手 1 和 4 名次相同 注 注 给 5 位网球选手排名次也可由计算 A 的最大特征根 和对应特征向量S得到 8393 1 TS2769 0 2137 0 1162 0 1794 0 2137 0 数学模型作业数学模型作业 12 月月 16 日 解答日 解答 1 基于省时 收入 岸间商业 当地商业 建筑就业等五项因素 拟用层次分析法在建桥梁 修隧道 设渡轮这三个方案中选一个 画出目标为 越海方案的最优经济效益 的层次结构 图 解 目标层 准则层 方案层 越海方案的最优经济效益 省 时 收 入 岸 间 商 业 当地 商业 建 筑 就 业 建桥梁 修隧道 设渡轮 第一章作业解答第 31 页 共 58 页 2 简述层次分析法的基本步骤 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分 成哪 3 个层次 具体内容分别是什么 答答 层次分析法的基本步骤为 1 建立层次结构模型 2 构造成对比较阵 3 计 算权向量并做一致性检验 4 计算组合权向量并做组合一致性检验 对于一个即将毕业 的大学生选择工作岗位的决策问题 用层次分析法一般可分解为目标层 准则层和方案层这 3 个层次 目标层是选择工作岗位 方案层是工作岗位 1 工作岗位 2 工作岗位 3 等 准则 层一般为贡献 收入 发展 声誉 关系 位置等 3 用层次分析法时 一般可将决策问题分解成哪 3 个层次 试给出一致性指标的定义以及 n 阶正负反阵 A 为一致阵的充要条件 答 答 用层次分析法时 一般可将决策问题分解为目标层 准则层和方案层这 3 个层次 一 致性指标的定义为 1 n n CI n 阶正互反阵 A 是一致阵的充要条件为 A 的最大特征根 n 第第九九章 章 2002008 8 年年 1212 月月 1818 日 日 1 在1 9节传送带效率模型中 设工人数n固定不变 若想提高传送带效率 D 一种简单的方 法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m 比如增加一倍 其它条件不变 另一种方法 是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子 其它条件不变 于是每个工人在任何时刻可以 同时触到两只钩子 只要其中一只是空的 他就可以挂上产品 这种办法用的钩子数量与第 一种办法一样 试推导这种情况下传送带效率的公式 从数量关系上说明这种办法比第一种 办法好 解 解 两种情况的钩子数均为m2 第一种办法是m2个位置 单钩放置m2个钩子 第二 种办法是m个位置 成对放置m2个钩子 由1 9节的传送带效率公式 第一种办法的效率公式为 n mn m D 2 1 11 2 当 m n 2 较小 1 n时 有 第一章作业解答第 32 页 共 58 页 m n m nn mn m D 4 1 1 8 1 2 1 11 2 2 ED 1 m n E 4 下面推导第二种办法的传送带效率公式 对于m个位置 每个位置放置的两只钩子称为一个钩对 考虑一个周期内通过的m个 钩对 任一只钩对被一名工人接触到的概率是 m 1 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是 m 1 1 记 m q m p 1 1 1 由工人生产的独立性及事件的互不相容性 得 任一钩对为空 的概率为 n q 其空钩的数为m2 任一钩对上只挂上 件产品的概率为 1 n npq 其空钩数 为m 所以一个周期内通过的m2个钩子中 空钩的平均数为 11 22 nnnn npqqmnpqmqm 于是带走产品的平均数是 1 22 nn npqqmm 未带走产品的平均数是 1 22 nn npqqmmn 此时传送带效率公式为 1 1 1 1 1 122 22 nn nn mm n mn m n n p qqmm D 近似效率公式 由于 32 1 6 211 2 1 1 1 1 m nnn m nn m n m n 2 1 1 2 211 1 1 1 m nn m n m n 2 6 21 1 m nn D 当1 n时 并令 1 DE 则 2 2 6 m n E 两种办法的比较 第一章作业解答第 33 页 共 58 页 由上知 m n E 4 2 2 6 m n E m n EE 3 2 当nm 时 1 3 2 m n EE 所以第二种办法比第一种办法好 数学模型 作业解答 数学模型 作业解答 第第九九章 章 2002008 8 年年 1212 月月 2323 日 日 一报童每天从邮局订购一种报纸 沿街叫卖 已知每 100 份报纸报童全部卖出可获利 7 元 如果当天卖不掉 第二天削价可以全部卖出 但报童每 100 份报纸要赔 4 元 报童每天售 出的报纸数r是一随机变量 其概率分布如下表 售