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第三章 系统的数学模型 3 1 求题图 3 1 a b 所示系统的微分方程 a 解 1 输入 f t 输出 y t 2 对质量块 m f tky tmy t 3 整理得 my tky tf t b 解 1 输入 f t 输出 y t 2 引入中间变量 x t 为 12 k k连接点向右的位移 y x 3 12 k xkyx 2 fkyxmy 4 由 消去中间变量得 12 12 k k myyf kk 3 2 求题图 3 2 a b c 所示三个机械系统的传递函数 图中 x表示输入位移 y表示 输出位移 假设输出端的负载效应可以忽略 a b 题图 3 1 题图 3 2 a 解 1 输入 r x输出 c x rc xx 2 对质量块 m 12 rccc c xxc xmx 3 整理得 12 ccr mxcc xmx 4 两边进行拉氏变换得 2 121 ccr ms Xscc sXsc sXs 5 传递函数 1 2 12 c r Xsc s G s Xsmscc s b 解 1 输入 r x输出 c x 2 引入中间变量 x 为 1 k与 c 之间连接点的位移 rc xxx 3 1 rc k xxc xx 2 cc c xxk x 4 消去中间变量 x 整理得 12 2 1 ccr c kk xk xcx k 5 两边拉氏变换 12 2 1 ccr c kk sXsk XscsXs k 6 传递函数 12 2 1 c r Xscs G s c kk Xs sk k c 解 1 输入 r x输出 c x 2 21 crcrc k xk xxc xx 3 两边拉氏变换 211 crcrc k x sk x sk x scsx scsx s 4 传递函数 1 12 c r Xskcs G s Xskkcs 3 3 证明题图 3 3 a 和 b 所示系统是相似系统 a b 题图 3 3 解 a 1 输入 r u 输出 c u 2 系统的传递函数 sC R sC R sC R su su sG r c 2 2 1 1 2 2 11 1 1 1 1 212211 2 2121 1122 sCRsCRsCRsCCRR sCRsCR b 1 输入 r x 输出 c x 2 引入中间变量 x 为 1 k与 c1之间连接点的位移 rc xxx 3 11 c k xc xx 122 crcrc c xxkxxc xx 4 两边拉氏变换 111 c k x sc sx sc sx s 112222 crcrc c sx sc sx sk x sk x sc sx sc sx s 5 消去中间变量 sx整理得 1 1 2222 11 c ccrr k c sx s k x sc sx sk x sc sx s kc s 6 传递函数 21 21 2 1 2211 1 2212 1 1 1 c sc s kk G s cc sc sc sc s k kkkk a 和 b 两系统具有相同的数学模型 故两系统为相似系统 3 4 在题图 3 4 所示的无源网络中 已知 1 100Rk 212 1 10 1RMCF CF K2 2 k1 1 r o 试求网络的传递函数 cr UsUs 并说明该网络是否等效于 RC 网络串联 解 对于题图 3 4 利用复数阻抗的方法可得网络的传递函数为 2 1212112212 2 1 1 1 2 11 c r Us UsR R C C sRCR CRC s ss 由于两个 RC 网络串联的传递函数为 2 1122 11 1 1 21 c r Us UsRC sR C sss 故该网络与两个 RC 网络串联形成的网络不等效 3 5 已知一系统由如下方程组组成 试绘制系统结构图并求闭环传递函数 C s R s 11178 X sG s R sG s G sG s C s 22163 XsG sX sG s Xs 3253 XsXsG s C s G s 43 C sG s Xs 解 根据系统方程组可绘制系统结构图 如题图 3 5 所示 题图 3 5 系统结构图 由 221633253 XGXG XXXG C G 可得 23135 3 236 1 G G XG G C X G G G 代入 11178 XG RG GG C 得 23117835 3 236 1 G GG RG GGCG G C X G G G 题图 3 4 r u c u sR 1 sG 2 sG 4 sG 3 sG 6 sG 5 sG 87 sGsG 2s X 1 sX 3 sX 又因为 43 CG X 故 2341178345 236 1 G G GG RG GGCG G G C C G G G 即 1234 236345123478 1 C sGG G G R sG G GG G GGG G GGG 又解 1 运用结构简化的办法 将 3 Xs的引出点后移 可得系统的前向通道传递 函数为 34 2 3451234 1 346 236345 2 3454 1 1 1 1 G G G G G GGG G G G G GG G G GG G G G G G G G 则系统的闭环传递函数为 1234 236345 1234 78 236345 1 1 1 GG G G G G GG G GC s GG G G R s GG G G GG G G 1234 236345123478 1 GG G G G G GG G GGG G G GG 2 运用信号流图的办法 本系统有一条前向通道 三个单独回路 无互不接触回路 123623453123478 LG G G LG G G LGG G G GG 123236345123478 1 1 LLLG G GG G GGG G G GG 11234 pGG G G 1 1 由梅林增益公式可得系统的传递函数为 1234 236345123478 1 ii pC s GG G G R sG G GG G GGG G GGG 3 6 试简化题图3 6 a 所示系统结构图 并求出相应的传递函数 C sR s和 C sN s 解 当仅考虑 R s作用时 经过反馈连接等效可得简化结构图 题图3 6 a 则系统的传 递函数为 题图 3 6 1 G s 2 G s 2 H s 1 H s 3 H s R s C s N s 题图 3 6 b R s作用时的简化结构图 12 2212 12 22123 3 22 1 1 1 1 GG G HGGC s GG R sG HGG H H G H 当仅考虑 N s作用时 系统结构如题图3 6 c 所示 系统经过比较点后移和 串 并联等效 可得简化结构图 如题图3 6 d 所示 则系统传递函数为 1122121 221322123 1 1 1 G H GGGG HC s N sG HG HG HGG H 题图 3 6 c N s作用时的系统结构图 题图 3 6 d N s作用时的简化结构图 又解 可用信号流图方法对结果进行验证 题图3 6 a 系统的信号流图如题图3 6 e 所示 题图 3 6 e 系统信号流图 当仅考虑 R s作用时 由图可知 本系统有一条前向通道 两个单独回路 无互不 G G 1 G H H R s C s 1 2 2 2 3 H s C s 1G1G2 H2 H3 G H s C s 1 2 2 G1 31G H R C 1 G 2 G 1 H 2 H 3 H 111 接触回路 即 12221231212322 11LG HLGG HLLGG HG H 1121 1pGG 由梅林增益公式可得系统的传递函数为 12 22123 1 ii p GGC s R sG HGG H 当仅考虑 N s作用时 由图可知 本系统有两条前向通道 两个单独回路 无互 不接触回路 即 12221231212322 11LG HLGG HLLGG HG H 12 pG 1 1 2121 pGG H 2 1 由梅林增益公式可得系统的传递函数为 2121 22123 1 ii p GGG HC s N sG HGG H 3 7 已知某系统的传递函数方框如题图3 7所示 其中 R s 为输入 C s 为输出 N s 为干 扰 试求 G s 为何值时 系统可以消除干扰的影响 解 412 3 123 1 N CN Csk sk k G sk s N ssk k ks Ts 若使 0 NCN Css N s 则 412 0 k sk k G s 即 4 12 k s G s k k 3 8 求题图3 8所示系统的传递函数 C sR s 1 3 s T k sG 1 k s k2 4 k 题图3 7 R s C s N s 解 1234 231123212343344 1 GG G G G s G G HGG G HGG G G HG G H 3 9求题图3 9所示系统的传递函数 C sR s 解 1234 12312123343 1 GG GG G S GG G H HGG G HG H 3 10 求题图3 10所示系统的传递函数 C sR s sC sR 1 G2 G 4 G 3 G 4 H 1 H 2 H 3 H 题图3 8 sC sR 1 G 2 G 4 G 3 G 1 H 2 H 3 H 题图3 9 sC sR 1 G 2 G 4 G 3 G 1 H 2 H 5 G 题图3 10 解 12345125 12123212345125 1 GG G G GGG G G s GG HG G HGG G G GGG G 3 11 求题图3 11所示系统的传递函数 C sR s 解 1 Ksss K sG 5 05 3 5 0 23 2 324331422132342312 65154321 1 HHGGHHGGHHGGHGHGHG GGGGGGGG sG 3 12 设系统的微分方程为 71483yyyyu 试求系统的状态空间表达式 解 若 3 21 yxyxyx 可导出状态方程和输出方程 u x x x x x x 3 0 0 7148 100 010 3 2 1 3 2 1 3 2 1 001 x x x y 3 13 给定系统传递函数为 2 32 23 24610 Y sss G s U ssss 试写出它的状态空间表达式