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第八章线性离散系统的分析与综合 以上各章所讲的基本方法只适合于分析与综合连续系统 本章将主要讲述分析与综合 线性离散系统的基本方法 线性离散系统的运动 可以用差分方程描述 其中 Z变换是更好的工具 利用Z变 换分析与综合采样系统的重要优点之一 在于它使整个离散系统分析与综合方法与连续系 统的拉氏 Laplace 变换分析与综合方法很相象 某些概念和方法 例如传递函数 稳定 准则等 都可以推广应用于线性离散系统 8 1引言 第二次世界大战以后 全世界科学技术领域中发展最快的技术有 集成电路技术 自 动化技术 核能技术 航天技术等 而这些技术是相互依赖 相互促进的 计算机参与的 自动控制系统被称为计算机控制系统 由于计算机所使用的量都是数字量 所以计算机控 制系统又称为数字控制系统或离散系统 后面还要对离散系统给出更严格的定义 在工业应用方面 主要是工业生产的过程控制 最早出现直到目前仍被广泛利用的计 算机控制系统 是直接数字控制系统 即 DDC Direct Digital Control 系统 图 8 1 所示 是计算机控制的温度控制系统 采样 开关 A DD A 功率 转换 计算机计算机 打印机终端 稳压电源 R 图 8 1计算机控制的温度控制系统 rc A D计算机D A保持器 被控 对象 T 图 8 2计算机 DDC 控制系统方框图 由图 8 1 可知 计算机控制系统首先是把反映过程状态的参数 本例是温度T 经 过采样与给定量比较后 经过A D转换器转换为相应的数字量 计算机根据一定的控制算 法进行计算 将控制作用经D A转换器转换为相应的模拟量 根据需要 通过执行机构 304 去控制生产过程 以达到预期目的 同时 也可根据需要将必要的信息 如温度 在终端 的屏幕上显示或用打印机打印出来 一般情况下 DDC 系统可用图 8 2 表示 含有离散环节的系统称为离散系统 离散环节一般指采样器 满足叠加原理的离散系 统称为线性离散系统 线性离散系统可以用线性差分方程来描述 8 2采样 数字计算机只能接受和处理时间离散的数码 这些数码可以代表某一物理量的数据大 小 也可以代表字符的约定代码 这些数码称为数字信号 大量的物理过程或物理量的数学描述都是模拟信号 因此 数字计算机要获取原始信 息 应对模拟信号进行采样 一 采样过程 计算机控制生产过程 一般要经过数据采集 计算机处理 控制输出这三个环节 数据采集 对生产过程的工艺参数 模拟量 开关量 脉冲量等 进行采样 通过 数据采集通道 传感器 标度变换器 采样设备 数据放大器 模数转换器 数字量输入 设备等 把它们转换成计算机能够接受的数字量 二进制代码 输入到计算机中 计算机处理 根据数据采集通道发送来的生产过程工艺参数和管理人员通过人机对 话设备送来的控制信息 按照人们预先在计算机中建立的数学模型 自动地分析和计算 并做出判断 通过控制输出通道发出控制命令 控制生产过程 或者通过各种显示 打印 或通讯设备 与管理人员进行联系 控制输出 经计算机分析和计算的结果 数字量 通过控制输出通道 数模转换 器 信号电平转换器 电流电压转换器 脉冲量和开关量输出缓冲器 光电隔离器等 转换成模拟量 开关量和脉冲等 传输到仪表和执行机构去调节被控制对象 从 信息观点 来看 计算机控制系统可以抽象为信息变换与信息处理两个环节 如图 8 3 所示 信息的变换主要是模拟信号与数字信号之间的变换 信息处理的关键是如何建 立正确反映生产过程规律的数学模型 A D计算机D A保持器采样器 信息处理信息输入信息输出 模拟 信号 图 8 3计算机信息流通示意图 1 模拟信号的采样 生产过程的有关工艺参数 即物理量 经过标度变换器将各种信号变成统一的电信号 这种电信号按其数学描述是一种时间上连续和幅值上连续的信号 称为模拟信号 由于数字计算机只能接受和处理时间上离散而且幅值上也离散的信号 即数字信号 因此 计算机要获取原始信号信息 应对模拟信号进行采样和量化 如图 8 4 所示 所谓采样就是利用采样设备 按一定时间间隔 采样周期 将模拟信号转换成离散模 305 拟信号 时间上离散而幅值上连续的信 号 的过程 如图 8 4 和 8 5 所示 其中t 是 模拟信号 t 是采样信号 离散模 拟信号 T是采样周期 为采样时 间 s t 为幅值不变 假定为 1 宽度 为 的采样脉冲 采样信号 t 可以表 示为 tt s t 8 1 其中 1 0 nTtnT s t t 为其他值 通常 采样时间 远小于采样周期T 可以认为采样过程是理想的 这时模拟 信号t 经过理想采样后的采样信号 表示为 n tttnT 8 2 其中t 为单位脉冲 即 0 00 tt tt 2 量化 对模拟信号t 采样所得到的采 样信号t 的幅值仍是连续的 为了 得到用二进制表示的计算机的数字信 号nT 必须将采样信号的连续幅值 转换成离散幅值 即转换成数字信号 这样一来 数字信号幅值就是采样信号 连续值的近似 这种近似过程称为量 化 量化误差与二进制字长有关 显然 二进制字长愈长 由量化引起的误差愈 小 然而 字长总有一个限度且直接影 响到A D的选择 因而必须允许有一 定的误差 设 max 和 min 为信号的最大值和最 小值 q 为量化单位即允许的误差尺 度 则所选定的二进制字长i 即A D 的位数应有 0 t t 5 10 15 t t 10 15 2T3T4T5T6T7T 5 nT t 10 15 2T3T4T5T6T7T 5 T T T2T 3T4T5T6T7T 0 s t t T 8 4信息转化过程 图 8 5脉冲序列 c 数字信号 b 离散信号 a 模拟信号 采样 量化 数据 306 maxmin 2 logi q 8 3 3 保持器 在信号变换中 广泛采用信号保持器 它有零阶 一阶和高阶之分 常用的保持器是 按多项式外推公式 即 2 012 m m nTaaaa 8 4 的规律构成的 式中 是以nT时刻为原点的时间坐标 式 8 4 表示现在时刻的输出 nT 取决于过去时刻 即0 T 2T 3T mT 各时刻的离散信号值nT 1nT 2nT nm T 的1m 个值 这时称之为m阶保持器 外推 公式 8 4 的系数 i a i 0 1 m 唯一地由过去各采样时刻的离散信号ni T i 0 1 m 来确定 因为1m 个一阶方程确定1m 个未知数 所以系数 i a有 唯一解 零阶保持器的外推公式为 0 nTa 显然 0 时 此式也成立 故有 0 anT 从而 0nTnTT T为采样周期 其工作过程如图 8 6 所示 t 2T3T4T5T6T 0 T 2 T t h t t 2 T 图 8 6零阶保持器工作过程 对于一阶保持器 其外推公式为 01 nTaa 将0 和T 代入上式 得 0 01 1 nTa nTaaT 解联立方程 得 0 anT 0 1 11anTnTnT a TT 从而 得 ht t t T 零阶保持器 低通滤波器 307 1nTnT nTnT T 0T T为采样周期 其工作过程如图 8 7 所示 可见 信号保持是将离散信号转换成 模拟信号的转换过程 用于这种转换过程 的装置称为保持器 零阶保持器的作用是 当输入是离散脉冲序列时 保持器的输出 在采样周期内保持不变 一阶保持器的作 用是 当输入是离散脉冲序列时 保持器 的输出在采样周期内直线变化 由于零阶 保持器比较简单 容易实现 相位滞后相 对较小 因此被广泛采用 实际应用中 保持器在控制输出过程中用来将数字信号 转变成模拟信号 在数据采集过程中接在 采样器后面保证A D变换的正常工作 二 采样定理 将式 8 1 称为实际采样 式 8 2 称为理想采样 正如前文所述 由于T 可以认为采样过程是理想的 1 采样定理 香农 Shannon 采样定理指出 对于一个具有有限频谱 minmin 的连续 信号进行采样 当采样频率 max 2 s 时 采样函数能无失真地恢复到原来的连续信号 采样定理可以通过理想采样过程推出 首先求取理想脉冲序列t 的傅氏级数 因为t 为周期函数 可以展开为复数形式 的傅氏级数 即 s jnt n n tC e 2 s T 式中 T为采样周期 s 为采样角频率 n C为傅氏系数 即 2 2 1 s T jnt n T Ct edt T 因为 0 1 ss jntjnt s t edte 所以 1 n C T 因此 1 s jnt n te T 2T3T4T5T0T t h t t 图 8 7一阶保持器工作过程 308 则 11 ss jntjnt nn ttet e TT 对上式进行傅氏变换 可以求得理想采样的原信号和采样信号的频谱为 1 s n EjE sjn T 8 5 E j 为连续函数即模拟函数t 的频谱 Ej 为采样函数 t 的频谱 一般说来 模拟函数的频带宽度是有限的 其频谱如图 8 8 所示 最高频率为 max 采样函数 t 具 有以采样频率 s 为周期的无限多个频谱 见图 8 8 其中0n 的一项就是采样前原始连 续信号的频谱 只是幅值变化为原来的1 T 除此以外的各个频谱都是由于采样产生的高 频频谱 为了使0n 那一项的原信号频谱不发生畸变 必须使采样频率 s 足够高 使位 于各频带的频谱彼此间互不重叠 E j n n 1 a 模拟信号频谱 maxn Ej 2 s 3 2 s 2 s 3 2 s 0 b 采样信号频谱 2 sn Ej 2 s 3 2 s 2 s 3 2 s 0 c 采样信号频谱 2 sn 图 8 8模拟信号频谱和采样信号频谱 如果模拟函数t 所含的最高频率为 max 则相邻两频谱互不重叠的条件是 max 2 s 8 6 上式说明采样频率应大于或等于信号所含最高频率的两倍 才有可能通过理想的低通滤波 器 将原信号完整地提取出来 这就是采样定理 2 采样周期的选取 309 香农采样定理虽然为确定采样频率奠定了理论基础 但在实际应用中是有问题的 首先 采样理论要求将所有的采样值取到后才能定出被采样的时间函数t 对连续 运行的计算机控制系统来说 这一点是做不到的 因为在某一采样时刻 计算机虽然取到 了本次采样值和以前各次采样值 但它必须在以后的采样动作尚未进行前就对生产过程进 行计算和控制 显然 采样周期T选得越小 也就是采样频率 s 选得越高 则对控制过程的信息了解 得就越多 对控制效果就越有利 但需注意 采样周期T选得过短 将增加不必要的计算 负担 甚至不允许 而T选得过长 又会给控制过程带来较大误差 降低了系统的动态性 能 甚至有可能导致整个控制系统的不稳定 在实际工作中 一般根据经验数据选取 然 后在试验中进行调整 主要有两种情况 1 过程控制系统 在多数的过程控制中 一般计算机所能提供的运算速度 对于采样周期的选择来说 回旋余地较大 工程实践证明 采样周期T根据表 8 1 给出的参考数据选取时 可取得较 满意的效果 表 8 1选择采样周期参考表 控制回路类别采样周期 s 备注 流量 压力 液面 温度 成分 1 5 3 10 5 8 15 20 15 20 优选 1 2 优选 6 8 优选 5 6 优选 20 优选 20 2 随动控制系统 对于随动系统 采样周期的选取在很大程度上取决于系统的性能指标 在一般情况下 控制系统的闭环频率响应具有低通滤波特性 当随动系统输入信号的频率高于其闭环幅频 特性的谐振频率 r 时 信号通过控制系统将会很快地衰减 而在随动系统中 一般可近似 认为 开环频率响应幅频特性的剪切频率 c 与闭环频率响应幅频特性的谐振频率 r 相接 近 即 cr 这就是说 通过随动系统的输入信号的最高频率分量为 c 超过 c 的分 量通过控制系统时 将被大幅度衰减掉 根据工程实践经验 随动系统的采样频率 s 可选 为 10 sc 8 7 考虑到 2 s T 按上式选取的采样周期T与剪切频率 c 的关系为 5 c T 8 8 从时域性能指标来看 采样周期T通过单位阶跃响应的上升时间 rt及调整时间st 可按下 列经验关系选取 即 1 10 r Tt 8 9 310 1 40 s Tt 8 10 8 3线性差分方程 若研究一个实际的物理系统 首先应解决它的数学描述和分析工具的问题 前已叙及 连续控制系统主要是用微分方程描述的 它的数学工具是拉氏变换 而离散系统主要用差 分方程描述的 其数学工具是Z变换 本节主要介绍线性差分方程的基本概念及其简单应 用 一 线性常系数差分方程 1 差分方程的基本概念 离散系统对控制变量的测量不是连续的 只测得这些变量在时刻0 T 2T nT 的数值 即采样值 其动态过程是用线性差分方程来描述的 设控制系统的微分方程为 dy t y tku t dt 8 11 式中 时间常数 k 静态放大倍数 y 被控制变量 设系统的采样周期是T 当1nTtnT 时 单位阶跃函数u t 保持常数 即 u tu nT 这时方程 8 11 成为 dy t y tku nT dt 8 12 在变量t满足不等式1nTtnT 时 它有一个特解 y tku nT 它的全解是 t y tceku nT 8 13 当tnT 时 得 nT y nTceku nT 8 14 因此 nT cy nTku nTe 所以 当1nTtnT 时 方程 8 12 的解为 t nT y ty nTku nTeku nT 8 15 当1tnT 时 得 1 T ynTy nTku nTeku nT 8 16 即 311 11 TT ynTey nTkeu nT 8 17 方程 8 17 表示了被控制量y t 在采样时刻nT和1nT 之间的关系 这种关系的方程 称之为差分方程 方程 8 17 也可写为 111 TT ynTy nTey nTkeu nT 8 18 或 11 1 T T ynTy nTey nT ke u nT TTT 而 11 1 ynTy nTynTy nT TnTnT 上式就是导数 dy t dt 在 tnT 的近似值 我们称之为差商 因为它是对应一阶导数在tnT 处的值 因此称上式为一阶差商 由一阶差商所对应的方程又称为一阶差分方程 又由于 式 8 18 是线性微分方程变换得来的 故式 8 18 又称为线性一阶差分方程 又因为 它的系数1 T e T 1 T ke T 是常数 故式 8 18 又称为线性常系数一阶差分方程 也 就是说式 8 17 是线性常系数一阶差分方程 式 8 17 可写为 1ynTay nTbu nT 8 19 式中 T ae 1 T bke 若将微分方程的系数项直接用差分项代替 积分项用求和项代替 就可以得到近似差 分方程 并记1ynT 为 1n y 或 1y n y nT 为 n y或y n 其余类推 由此得 1 nn dy tyy dtT 称为一阶差商 2 1111 22 2 1nnnnnnn d y tyyyyyyy TTTdtT 称为二阶差商 3 211 33 33 nnnn d y tyyyy dtT 称为三阶差商 0 n i i y t dtyT 称为差商和式 若利用上述关系 代入式 8 11 可简单求得近似差分方程 1nnnn yyyku T 经整理 得 1 1 nnn TT yyku 8 20 比较式 8 19 和式 8 20 各项系数 有 312 1 T T ae 1 T T bkek 例 8 1写出工业控制机 PID 调节器的位置式和速度式的控制算式 解 常规调节器 PID 调节规律是 1 pd i de t Pkee t dtT Tdt 1 式中P 调节器的输出 e t 偏差值 p k 比例放大倍数 i T 积分时间常数 d T 微分时间常数 工业控制机直接数字控制算式可对式 1 应用差分求得 在第nT采样时刻的控制作 用 其输出值为 1 0 n d npnjnn ij T T Pkeeee TT 2 第1nT 采样时刻的控制作用其输出为 1 1112 0 n d npnjnn ij T T Pkeeee TT 增量式为 1112 2 d nnpnnnnnn i T T PPPkeeeeee TT 3 或写为 112 2 npnnindnnn Pkeek ekeee 式中 p k 比例系数 i k 积分比例系数 ip i T kk T d k 微分比例系数 d dp T kk T 式 2 为位置式 PID 控制算式 式 3 为速度式 PID 控制算式 2 线性差分方程的求取 因为实际应用中 二阶线性定常系统和纯滞后系统较多 下面叙述一下这两种差分方 程的求取 1 二阶线性定常系统差分方程的求取 设二阶系统的微分方程为 2 1 212 2 d y tdy t y tku t dtdt 8 21 当1nTtnT 时 有 u tu nT 下面我们用降阶法求式 8 21 的差分方程 设 2 dy t x ty t dt 8 22 将式 8 22 代入式 8 21 得 313 1 dx t x tku t dt 8 23 由式 8 17 得 11 1 1 TT nnn XeXkeu 8 24 显然 将n用1n 来替代 1n 用2n 来替代 上式也成立 因此有 11 211 1 TT nnn XeXkeu 8 25 式 8 25 式 8 24 2 T e 得 1212121 211 11 TTTTTTT nnnnn XeeXeXkeuekeu 8 26 同理 设 1 dy t ty t dt 8 27 将式 8 27 代入 8 21 得 2 dt tku t dt 8 28 由式 8 17 得 22 1 1 TT nnn ekeu 8 29 用2n 代替1n 1n 代替n 上式变为 22 211 1 TT nnn ekeu 8 30 式 8 30 1 T e 8 29 得 2112212 211 11 TTTTTTT nnnnn eeekeuekeu 8 31 1 8 26 2 8 31 得 2112 1222112112 TTTT nnnnnn XeeXeX 122112 12112 1111 TTTTTT nn keeuk eeeeu 121221 1211212 11 TTTTTT nn keeukeeeu 8 32 注意到 1212 X tty t 将式 8 32 两边同时除以 12 得 1212 21 TTTT nnn yeeyey 1221 12 1212 1 1212 1 TTTT TT nn eeee kuk eu 8 33 式 8 33 即为所对应的线性二阶系统的差分方程 也就是说 在连续系统中 用二 阶线性微分方程描述的系统 在离散系统中 将用等价的二阶线性差分方程来描述 写成 标准形式为 2112011nnnnn ya ya yb ubu 8 34 式中 12 1 TT aee 12 2 TT ae 314 21 12 12 0 12 TT TT ee bk e 12 12 1 12 1 TT ee bk 2 具有纯滞后系统差分方程的求取 在控制系统中 输入作用往往不是立即发生作用而是延迟一段时间后才发生作用 0e 习惯上称之为纯滞后 比如流水管道等 描述这类系统的微分方程为 dy t y tku te dt 8 35 2 1 212 2 d y tdy t y tku te dtdt 8 36 在离散系统中具有纯滞后的差分方程 只需要对没有滞后的相应差分方程略加修改 将滞后时间换算成滞后若干个采样周期 输入作用减去若干个采样周期即可 因此对应式 8 35 的差分方程为 0 1nnn n yaybu 8 37 式中 T ae 1bka 0 e n T 对应式 8 36 的差分方程为 00 2112011nnnn nnn ya ya yb ubu 8 38 式中 12 1 TT aee 12 2 TT ae 21 12 12 0 12 TT TT ee bk e 12 12 1 12 1 TT ee bk 0 e n T 式 8 37 和式 8 38 这两个式子很有用 例如热电厂的长管道供暖系统 石油工 业方面的长管道输油系统 都属于滞后系统 如用计算机参于控制时 就需要找出相应滞 后系统或环节的差分方程 3 线性差分方程的解 线性差分方程是研究离散系统的重要数学工具 它不仅可以描述控制系统 而且通过 方程的求解 可以分析和设计控制系统 差分方程和微分方程一样 有一套求解的方法 其解的结果是各采样时刻的采样输出值 线性差分方程的一般形式为 12 12 N y na y na y na y nN 01 1 m b x nb x nb x nm 8 39 或 10 Nm kk kk y na y nkb x nk 8 40 式中y n 代表某一采样时刻的输出值 x n 为对应这一时刻的输入值 上式可以代表一个系统的数学描述 而且很容易在计算机上实现 即如果已知系统的 差分方程以及输入序列 当给定了输出值序列的初值以后 就可以利用递推关系一步一步 地计算出所需要的输出值 差分方程有与微分方程类似的古典解法 差分方程的全解包括两部分 对应齐次方程 315 的通解和非齐次方程的特解 与式 8 39 对应的齐次方程为 12 120 N y na y na y na y nN 8 41 要满足齐次方程 设通解具有 n A 的形式是合理的 将其代入式 8 41 有 12 12 0 nnnn N N Aa Aa Aa A 故 012 12 0 nN N Aaaa 8 42 因为0 n A 且用 N 乘式 8 42 两边并除以 n A 则有 12 12 0 NNN N aaa 8 43 式 8 43 称为式 8 41 的特征方程 下面根据其特点分别讨论一下 若特征方程有两两相异的根 i 1i 2 N 式 8 41 的通解为 1212 1 N nnnn NNii i y nAAAA 8 44 式中 i A由初始条件决定 当式 8 39 右端不等于零 称为非齐次线性方程 它的特解求法与微分方程一样 是用试探法 与连续系统相似 齐次差分方程的物理意义是 在无外界作用的情况下 离散系统的 自由运动 反映了系统本身的物理特性 而对于非齐次方程的特解 则反映了在输入量的 作用下 系统强迫运动的情况 例 8 2设有描述系统的差分方程为 51620y ny ny n 1 初始条件为 18y 222y 求该差分方程的解 解 特征方程为 2 560 特征根为 1 2 52524 2 得 1 2 2 3 差分方程的通解为 121212 23 nnnn y nAAAA 由初始条件有 11 12 22 12 823 2223 AA AA 解得 1 1A 2 2A 所以通解是 223 nn y n 2 显然 y0n 的通解也是式 1 的特解 故式 2 也是差分方程 1 的全解 316 如果有 m 重根 1 则差分方程的通解为 12 121112112 mnmnnnn mmm y nAnA nAnAA 2131 nnn mNNmNNm AAA 8 45 对比微分方程的求解方法 式 8 45 的合理性是显然的 故不予证明 例 8 3求差分方程 123y ny ny ny nx n 3 3 1 的通解 解 特征方程为 32 3310 特征根为三重根1 所以对应式 1 齐次方程的通解是 2 123 n y nA nA nA 1 式中 1 A 2 A 3 A由初始条件确定 3 由传递函数求差分方程 通过传递函数求差分方程 实质上是利用连续系统脉冲响应函数与传递函数的一一对 应关系 求出脉冲响应函数 根据单位脉冲响应的概念 用叠加的方法来推出输出信号的 表达式c nT 然后再按差分的定义推出差分方程 设采样系统结构图如图 8 9 所示 连续 部分的单位脉冲响应函数式被称为脉冲响 应函数 习惯上记为 yt 即 1 y tLG s 对于任一采样时刻加入系统的单位脉冲 r nTtnT 系统的响应为 c tr nT g tnT 其中 gtnT 满足如下关系 g tnTtnT g tnT tnT 0 现在考察一系列脉冲依次加到G s 的情况 输入脉冲序列可表示为 022r trtr TtTrTtT 0n r nTtnTr nTtnT 下面分析在各段时间内 系统的响应c t 在0tT 时间内 只有0t 时刻加入的第一个脉冲起作用 其余各个脉冲尚未加入 因此这段时间内输出响应为 00c trg ttT 在2TtT 时间内 实际起作用的只有0t 和tT 时刻加入的前两个脉冲 第一个 脉冲产生的响应依然存在 再加上第二个脉冲产生的响应 因此这段时间内的输出响应为 02c trg tr T g tTTtT 在1kTtkT 时间内 输出响应为 G s r t ct c t 图 8 9采样系统结构 317 0c trg tr T g tTr kT g tkT 0 k n r nT g tnT 所以 当系统的输入为一系列脉冲时 输出为各脉冲响应之和 如图 8 10 所示 在 采样时刻tkT 输出的采样值是kT时刻及kT时刻之前所有输入脉冲在该时刻的脉冲响 应值的总和 所以 0 k n c kTr nT g kn T 8 46 t T2T3T0 c t T2T3T0 t c kT 图 8 10系统输出曲线 式 8 46 即为熟知的采样函数的卷积和 由上述可知 它所表示的信号叠加有明显 的物理意义 而它的数学意义表示系统的输出函数序列等于脉冲响应函数序列与输入函 数序列的卷积之和 简记为 c kTr kTg kT 8 47 利用式 8 47 可写出各采样时刻的输出 根据差分的定义可推出系统相应的差分方 程 求其相应的解 例 8 4图 8 11 所示电路 已知激励信号sin2e tt 初始时刻 电容端电压均为零 求输出信号 2 V t 的表示式 解 1 列写差分方程为 222 7162V nV nV n 6sin2ntn 1 2 为求通解 写出特征方程 2 760 特征根为 1 1 2 6 差分方程的通解为 6 12 nn AeA e 3 由差分方程知特解为 12 sin2cos2BnBn 代入式 1 求系数 1 B 2 B 1 C 2 C 1 R 2 R 1 1 1 F 2 1 F 3 e t 2 Vt 图 8 11例 8 4 的电路 318 121212 4sin24cos214cos214sin26sin26cos26sin2BnBnBnBnBnBnn 解得 1 3 50 B 2 21 50 B 于是 特解为 321 sin2cos2 5050 nn 2 4 全解为 6 212 321 sin2cos2 5050 nn V tAeA enn 由于已知电容 2 C初始端电压为零 因而有 20 0V 又因为电容 1 C初始端电压也为 零 于是流过 2 R 2 C的初始电流也为零 即 20 0 dV dt 由这两个初始条件 可解得 1 24 50 A 2 3 50 A 将 1 A 2 A代入式 2 得全解为 6 2 331221 sin2cos2 25255050 nn V teenn 3 以上求解过程用流程图 8 12 表示如下 将元件基本关系及遵守 的基本定律用于给定系统 列写差分方程 求通解 查微分方程表 确定特解 全解 通解 特解 求得系数后确定全解 系统的响应 an Ae 图 8 12求解线性常系数差分方程的流程图 8 4Z变 换 在连续系统分析中 应用拉氏变换作为工具 将系统的微分方程化为代数方程 建立 以传递函数为基础的复域分析法 使得问题简化 在离散系统中 也有类似的途径 上节 319 已论述了线性离散系统可以用线性差分方程来描述 通过Z变换法 可将差分方程转化为 代数方程 同样可以建立以脉冲传递函数为基础的复域分析法 一 Z变换 1 Z变换的定义 如前所述 采样信号可以描述为 nn tttnTnTtnT 式中T为采样周期 n为采样序号 采样值nT 也可写为n 由于0t 时0t 故上式可改写为 0n tnTtnT 取采样信号t 的拉氏变换 得 0 stst n E st edtnTtnT edt 0 st n nTetnTdt 0 snT n nT e 若令 sT ze 并将Es 记作E z 则由上式得 0 n n E znT z 上式就是Z变换的定义式 Z变换的符号 用Z 来表示 因此 Z变换的定义式可 重写为 0 n n E zZtnT z 8 48 应当指出 在工程上对某信号t 取 Z变换 是对其采样序列t 即nT 进 行Z变换 因此 正反Z变换并非任何时 刻都是一一对应的 显然 假如两个不同 的时间函数 1t 和 2t 的采样值完全相 同 则其Z变换是一样的 见图 8 13 所示 12 tt 但确有 12 E zE z 2 Z变换的求法 求取离散时间函数 脉冲序列的Z变换有多种方法 下面介绍三种主要方法 1 按定义求 例 8 5求取单位阶跃函数1 t 的Z变换 解 单位阶跃函数1 t 在所有采样时刻上的采样值均为 1 即 11nT 1n 2 0T2T3T 2t 1t t t 图 8 13正反 Z 变换的非唯一性 320 根据式 8 48 求得 12 11 n zzzz 1 将上式两端乘以 1 z 有 11231 1 n zzzzzz 2 1 2 得 1 111zz 所以 1 1 1 11 z z zz z 1 例 8 6求衰减的指数函数 at e 0a 的Z变换 解 根据式 8 48 得 1 00 atanTnaTn nn X zZ eezez 因为 1aT ez 1 所以 对上式应用等比递减级数求和公式 有 00 11 1 11 aTaTaT e zz X z ezezze 1aT ez 1 2 部分分式法 设连续时间函数x t 的拉氏变换X s 为复变量s的有理函数 并且有如下形式 M s X s N s 其中M s 及N s 分别为复变量s的多项式 并且有degdegM sN s 以及degN sn 将X s 展开成部分分式和的形式 即 1 n i i i A X s ss 式中 is N s 的零点 即X s 的极点 i i i M s A N s i s s d N sN s dt 为常系数 由拉氏变换知 与 i i A ss 项对应的原函数为 is t i Ae 又根据 at aT z Z e ze 便可求得 i ii s T i AAz Z ssze 因此 函数x t 的Z变换由象函数X s 求得为 1 i n i s T i Az X z ze 8 49 例 8 7求取拉氏变换为 a s sa 的连续时间函数 x t 的Z变换 解 首先写出x t 的拉氏变换X s 的部分分式展开式 即 11a X s ssas sa 321 其次对上式逐项求取拉氏反变换 有 1 at x tte 最后根据上列时间函数 逐项写出相应的Z变换 即得连续时间函数x t 的Z变换 即 1 1 at aT zz X zZ x tZte zze 2 1 1 aT aTaT ze zeze 3 留数计算法 已知连续时间函数x t 的拉氏变换X s 及其全部极点 is i 1 2 3 n 则x t 的Z变换可通过下列留数计算式求得 即 1 Res n i st i z X zX s ze 1 1 1 1 1 i i i i n r r i sTr ii s s zd ssX s zerds 式中 ir 重极点is的个数 n 彼此不等的极点个数 例 8 8求取连续时间函数 00 0 t x t tt 的Z变换 解 首先写出x t 的拉氏变换 即 2 1 X s s 由上式求得X s 的重极点0 is 其个数2 ir 以及1n 其次根据式 8 50 求取x t 的Z变换 即 1 2 1 2 22 1 10 11 0 21 sT is zd sX z szeds 0 0 0 1 sT sTsT s s zTedzTz ds zeze z 22 二 Z变换的基本性质 这里介绍Z变换的一些基本性质 它们与拉氏变换的基本性质有许多相似之处 1 线性性质 若 11 Z x tX z 22 Z x tXz a1 a2为常数 则 1212 Z a x ta x ta X za Xz 1212 8 51 2 平移定理 若Z x tX z 则 1 1 0 011 kk k kkj j k Z x tkTzX zxzxzx k z X zzx j Z x tkTzX z 8 52 3 复域微分定理 若Z x tX z 则 322 dX z Z nx nTZ dz 8 53 4 复域积分定理 若Z x tX z 则 0 lim nz x nTX zx nT Zdz nzn 8 54 5 初值定理 若Z x nTX z 则 0 limlim nz x nTX z 8 55 或 0lim z xX z 6 终值定理 若Z x nTX z 则 1 limlim1 nz x nTzX z 或 1 lim1 z xzX z 8 56 7 迭值定理 若 0 n i g nx i n 0 1 2 则 1 1 1 G zX z z 8 57 8 乘以指数序列性质 若Z x nTX z a 为整数 则 1n Z a x nTX a z 8 58 9 比例尺变换 若Z x nTX z 则 1 a Z x anTX z 8 59 10 卷积定理 若g nTx nTy nT 0t 0y t 则 G zX z Y z 8 60 三 Z反变换 由已知的Z变换X z 求相应的离散时间序列x nT 或x n 称为Z反变换 并表示为 1 ZX zx nT 8 61 求Z反变换的常见方法有三种 即长除法 部分分式法 留数法 作反变换时 仍假定信 号序列是单边的 即0n 时 0 x n 1 长除法 幂级数展开法 1 长除法 将X z 按降幂展开为无穷级数 如果级数收敛 根据平移定理 可得离散时间序列x n 的值 X z 展开成为 323 12 0 02 nn n X zX nT zxx T zx T zx nT z 式中的0 x x T 2xT 即为所求的序列值 例 8 9求下式 3232 1 50 521zzz X zzz 的Z反变换 解 长除格式如下 123 32 32 32 2 2 13 54 756 375 201 1 50 5 1 50 5 3 50 51 3 55 251 75 zzz zz zzz zzz zz zz 1 1 4 750 75 4 757 1252 375 6 3752 37 z zz z 由长除结果 得 123 13 54 756 375X zzzz 即 01x 3 5x T 24 75xT 36 375x T 2 比较系数法 设 1 011 1 011 mm mm nn nn b zb zbzbM z X z N za za zaza 据Z变换定义 有 12 02 n X zxx T zxT zx nT z 即 11 011011 0 mmnn mmnn b zb zbzbxa za zaza 11 011 nn nn x T za za zaza 21 011 2 nn nn xT za za zaza 1 011 nnn nn x nT za za zaza 8 62 对上述恒等式 同次幂系数相等 注意到上式左端最高次项是 m z 据此可以很方便地 求出前若干项的系数值 即x nT 例 8 10仍以例 9 为例 解 结合式 8 62 得 3232 2101 50 5zzxzzz 132 1 50 5x T zzzz 324 232 21 50 5xT zzzz 逐项比较系数 得 3 z 10 x 01x 2 z 21 50 xx T 3 5x T 1 z 00 501 52xx TxT 24 75xT 0 z 10 51 523x TxTx T 36 375x T 所得结果与例 5 一致 比较系数法本质上也是幂级数展开法 只要合理地运用格式 一般 是较方便的 2 部分分式展开法 查表法 这种方法的依据是Z变换的线性性质 Z变换式X z 通常是z的有理分式 只要将 X z 的有理分式展开为部分分式 逐项查Z变换表 就可以得到反变换式 这里与拉氏 变换不同的是 不是直接将X z 展开 而是将 X zz 展开 道理很简单 在Z变换表上 基本变换式中普遍含有因子z 因此 若展开 X zz 即把X z 中的因式z提出来 可 保证分解后的各个分式都含有z因子 设 1 011 1 011 mm mm nn nn b zb zbzb X z a za zaza 先求出X z 的特征根 即将其分母分解因式 形如 1 011 0 1 mm mm n i i b zb zbzb X z azz 在工程上 一般所有极点都是一阶极点的情况 即分母多项式中无重根时 上式则可 化为 12 12 n n AAA X zz zzzzzz 8 63 其中系数 i A 可由下式决定 i ii z z X z Azz z 8 64 例 8 11求下式的Z反变换 11 1 110 5 X z zz 解 用部分分式展开法 有 2 12 10 510 5 AA z X zz zzzz 12 10 5 zAzA zz 利用式 8 64 解得 1 2A 2 1A 325 查表可得 20 5nx nT 相应序列值列于表 8 2 表 8 2 n 012345 x n 11 51 751 8751 93751 96875 2 3 反演积分法 留数法 根据Z变换的定义 得 12 02 n X zxx T zxT zx nT z 此式乃是复变函数X z 的罗朗级数展开式的主部 按罗朗级数求系数的公式 k z 项的系 数为 11 2 n L X z zdz j nk 故有 11 2 n L x nTX z zdz j nk 其积分曲线 L 包围 1n X z z 的所有极点 设 1n X z z 共有 1 p 2 p m p共m个极点 则根据柯西留数定理 上式可改写为 1 Res i m n zp x nTX z z 8 65 即x nT 等于 1n X z z 的全部极点的留数之和 例 8 12求下式的Z反变换 1 12 0 5 1 1 50 5 z X z zz 解 1 122 0 50 50 5 10 51 1 50 51 50 5 zzz X z zzzzzz 10 5 10 5 n nz X z z zz 1 1 0 50 5 Res1 0 510 5 nn z z zz zzz 0 5 0 5 0 50 5 Res0 5 110 5 nn n z z zz zzz 所以 10 5nX nT 留数计算法的优点在于 它给出了直接求Z反变换的表达式 不必去查Z变换表 它 的不足是用了复变函数的数学方法 有些人不熟 但如果按照规定的步骤求解 也不是很 麻烦 上面列举了求Z反变换的三种常用方法 其中长除法最简单 但由长除法得到的 Z 反 变换为开式 而其余两种方法得到的均为闭式 326 四 Z变换法解差分方程 类似于连续系统的拉氏变换 利用Z变换可将线性定常系统的差分方程变换为z变量 的代数方程来运算 这就简化了离散控制系统的分析和综合问题 利用平移定理 将1x n 作变换 10Z x nzX zzx 同理有 22 201Z x nz X zz xzx 8 66 12 011 mmmm Z x nmz X zz xzxzxzx m 2 由式 8 66 可以看到 对差分方程进行Z变换时 初始值便都自动地包含在代数方 程中了 这一点与拉氏变换类似 也是比古典法方便之处 例 8 13试用Z变换法解下列二阶差分方程 23120 x nx nx n 初始条件00 x 11x 解 取方程两端的Z变换 得 22 0133020z X zz xzxzX zzxX z 代入初始值 有 2 320z X zzzX zX z 所以 2 1232 zzz X z zzzz 查Z反变换表 得 12 nn x nnn 0n 1 2 众所周知 x n 是代表每一采样时刻的函数值 权 故输出脉冲序列为 0 1 1 1 n n a x nTtnTa a 该系统的响应图形是一条指数曲线 差分方程的解 可以提供线性定常离散系统在给定输入序列作用下的输出序列响应特 性 但不便于研究系统参数变化对离散系统性能的影响 因此 需要研究线性定常离散系 统的另一种数学模型 脉冲传递函数 8 5脉冲传递函数 这一节将考察用Z变换分析离散系统的基本数学工具 这就是脉冲传递函数 它对应 于分析连续系统的基本数学工具 传递函数 一 脉冲传递函数 1 脉冲传递函数的定义 在连续系统中 传递函数的定义为 在零初始条件下 线性定常系统或元件输出信号 的拉氏变换与输入信号拉氏变换之比 即 327 C s G s R s 类似地 离散系统的传递函数可定义为 在零初始条件下 线性定常离散系统或元件输出 c t 和输入r t 的Z 变换之比 即 C z G z R z 为了区别于连续系统 离散系统的传递函数称为脉冲传递函数或z传递函数 如果已知系统的脉冲传递函数G z 及输入信号的Z变换R z 那么输出的离散信号 就可求得 11 c tZC zZG z R z 实际上 大多数采样系统的输出信号往往是连续信号c t 而不是离散信号 如图 8 14 b 所示 在这种情况下 为了应用脉冲传递函数的概念 我们可以在输出端虚设一个 采样开关 如图 8 14 b 中虚线表示 它与输入端采样开关一样以周期 T 同步工作 G s R s Cs G z TT G s R s Cs G z T T Rs C s a b 图 8 14开环采样系统 2 求脉冲传递函数的一般步骤 G s G z T T 0t g t 0t t 0t gt 图 8 15G z 和G s 之间的关系 参看图 8 15 连续部分的输入为采样脉冲序列 为了讨论方便 我们选择单位脉冲函 328 数t 作为连续部分的输入 由于脉冲函数t 的拉氏变换与Z变换均为 1 因此 根据 脉冲响应的定义及性质和脉冲传递函数的定义 可得 0 n n G zZ gzg nT z 8 67 或G zZ g tZ G s 8 68 由此可见 求脉冲传递函数G z 的步骤为 1 求得连续部分的传递函数G s 2 求得连续部分的脉冲瞬态响应 g 1 tLG s 3 求得采样的脉冲函数 gt 的Z 变换G z 例8 14开环系统如图8 15所示 已知 k G s sasb 求其脉冲传递函数 G z 解 该系统的传递函数可以展成下列部分分式 11k G s ba sasb 所以系统的脉冲响应函数可以求得 为 atbtk g tee ba 因为 G zZ gt 所以 atbtk G zZee ba 查Z变换表 得 atbt kzz G z ba zeze atbt atbt kzee bazeze 8 69 上式就是所示开环系统的脉冲传递函数 可作为公式使用 可见 脉冲传递函数与采样周 期 T 有关 二 串联元件的脉冲传递函数 在线性连续系统里 如果两个元件相串联 根据传递函数的相乘性 则总的传递函数 等于每个元件传递函数之积 可是对于离散系统而言 情况则不同 分别讨论如下 1 中间没有采样开关隔开的两个连续环节的串联 R s T C s 1 sa 1 sb 图 8 1