3.4(2)-切线的判定与性质.ppt

3 4切线的判定定理 2个 交点 割线 1个 切点 切线 d r d r d r 没有 回顾 图中直线l满足什么条件时是 O的切线 探究 l 方法1 直线与圆有唯一公共点 方法2 直线到圆心的距离等于半径 注意 实际证明过程中 通常不采用第一种方法 方法2从 量化 的角度说明圆的切线的判定方法 1 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系 2 二者位置有什么关系 为什么 3 由此你发现了什么 请在 O上任意取一点A 连接OA 过点A作直线l OA 思考 l 操作与观察 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 对定理的理解 切线必须同时满足两条 经过半径外端 垂直于这条半径 O r l A OA是半径 l OA于A l是 O的切线 定理的数学语言表达 1 直线l经过半径OA的外端点A 2 直线l垂直于半径0A 则 直线l与 O相切 这样我们就得到了从 位置 的角度圆的切线的判定方法 切线的判定定理 发现 利用上面的定理 过圆上任意一点 你会用三角尺画 O的切线吗 讨论交流 O P 1 判断 1 过半径的外端的直线是圆的切线 2 与半径垂直的的直线是圆的切线 3 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 巩固 两个条件缺一不可 切线的判定方法有三种 直线与圆有唯一公共点 直线到圆心的距离等于该圆的半径 切线的判定定理 即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 判定直线与圆相切有哪些方法 归纳 例1如图 已知 直线AB经过 O上的点C 并且OA OB CA CB 求证 直线AB是 O的切线 O B A C 分析 由于AB过 O上的点C 所以连接OC 只要证明AB OC即可 例题 有交点 连半径 证垂直 例2如图 已知 O为 BAC平分线上一点 OD AB于D 以O为圆心 OD为半径作 O 求证 O与AC相切 O A B C E D 无交点 作垂直 证半径 归纳 例1与例2的证法有何不同 1 如果已知直线经过圆上一点 则连结这点和圆心 得到辅助半径 再证所作半径与这直线垂直 简记为 有交点 连半径 证垂直 2 如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点 则过圆心作直线的垂线段 再证垂线段长等于半径长 简记为 无交点 作垂直 证半径 1 如图 AB是 O的直径 O过BC的中点D DE AC 求证 DE是 O的切线 证明 连接OD BD CD OA OB OD是 ABC的中位线 OD AC 又 DEC 90 ODE 90 又 D在圆周上 DE是 O的切线 巩固 有交点 连半径 证垂直 2 如图 ABC中 AB AC AO BC于O OE AC于E 以O为圆心 OE为半径作 O 求证 AB是 O的切线 F 巩固 无交点 作垂直 证半径 3 如图 AB是 O的直径 点D在AB的延长线上 BD OB 点C在 O上 CAB 30 求证 DC是 O的切线 有交点 连半径 证垂直 4 如图 AB是 O的直径 C为 O上一点 AD和过点C的切线互相垂直 垂足为D 求证 AC平分 DAB 证明 连接OC CD是 O的切线 OC CD 又 AD CD OC AD ACO CAD 又 OC OD CAO ACO CAD CAO 故AC平分 DAB 5 已知 在 ABC中 AB AC 以AB为直径作 O交BC于D DE AC于E 求证 DE是 O的切线 分析 因为DE经过 O上的点D 所以要证明DE为切线 可连结OD 再证明DE OD 6 如图 已知在 ABC中 AD BC于D AD BC 2 E和F分别为AB和AC的中点 EF与AD交于G 以EF为直径作 O 求证 O与BC相切 分析 要证明以EF为直径的 O与BC相切 只要过O作OH BC于H 证明OH等于直径EF的一半 H 7 如图 3 ABC内接于 O P B C在一直线上 且PA2 PB PC 求证 PA是 O的切线 分析 PA过 O上一点A 要证PA为切线 只要证PA AO 为此 作直径AD 并连结CD 只要证PA AD即可 如图 如果直线l是 O的切线 切点为A 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢 探究 O A l 如果直线L是圆O的切线 切点为A 那么半径OA与直线L是不是垂直呢 分析 假设OA与L不垂直 过点作OM L 垂足为M 根据垂线段最短的性质 有OM OA 这说明圆心O到直线L的距离小于半径OA 于是直线L就要与圆相交 而这与直线L是圆O的切线相矛盾 因此 OA与直线L垂直 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 归纳 l是 O的切线 切点为A l OA 过半径外端 垂直于这条半径 切线 圆的切线 过切点的半径 切线垂直于半径 切线判定定理 切线性质定理 比较 例3 如图 PA PB分别切 O于A B 两切线相交于点P 若 P 420 求 ACB的度数 P C m m 例题 1 如图 O切PB于点B PB 4 PA 2 则 O的半径多少 巩固 注 已知切线 切点 则连接半径 应用切线的性质定理得到垂直关系 从而应用勾股定理计算 2 如图 AB AC分别切 O于B C 若 A 600 点P是圆上异于B C的一动点 则 BPC的度数是 A 600B 1200C 600或1200D 1400或600 练习与巩固 2 如图 在 ABC中 AB AC BAC 120 A与BC相切于点D 与AB相交于点E 则 ADE等于 度 1 如图 A B是 O上的两点 AC是 O的切线 B 70 则 BAC等于 A 70 B 35 C 20 D 10 2 1 3 如图 在 OAB中 OB AB 3 2 0B 6 O与AB相切于点A 则 O的直径为 O A B 3 4 如图 PA PB是 O的切线 切点分别为A B 且 APB 50 点C是优弧上的一点 则 ACB 5 如图 O的直径AB与弦AC的夹角为30 过C点的切线PC与AB的延长线交于P PC 5 则 O的半径为 A B C 10D 5 5 4 辅助线的作法 作过切点的半径 7 如图 AB为 O的直径 C为 O上一点 AD和过C点的切线互相垂直 垂足为D 求证 AC平分 DAB 7 8 如图 AB为 O的直径 BC是 O的切线 切点为B OC平行于弦AD 求证 CD是 O的切线 8 小结 1 知识 切线的判定定理 着重分析了定理成立的条件 在应用定理时 注重两个条件缺一不可 2 方法 判定一条直线是圆的切线的三种方法 1 根据切线定义判定 即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线 2 根据圆心到直线的距离来判定 即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的