北工大现代课后习题答案-第一章.pdf

习题一 1 计算下列行列式 1 42 73 12 14 26 2 213 132 321 1 3 22 1 33 2 1 1 1 1 2 2 23 3 318 3618 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 zy zx yx zy zx yx zy zx yx 0 D 4 312213 31 2221 131211 00 0aaa a aa aaa 2 解三元线性方程组 0 132 22 321 321 321 xxx xxx xxx 解 5 011 112 221 10 101 312 121 5 110 311 122 5143261 111 312 121 32 1 DD DD 1 1 x 2 2 x 1 3 x 3 求下列排列的逆序数 并指出奇偶性 1 354612 解 4 4 1 9 奇排列 2 7563421 解 6 5 3 3 1 1 19 奇排列 3 345 n21 解 n 1 n 2 2n 3 奇排列 4 n 1 n 2 21n 解 n 2 n 3 1 2 2 1 nn 当 n 4m 时 排列为奇排列 当 n 4m 1 时 排列为偶排列 当 n 4m 2 时 排列为偶排列 当 n 4m 3 时 排列为奇排列 4 求 i j 使 1 2i68j431 为奇排列 解 i 5 j 7 2 162i54j8 为偶排列 解 i 7 j 3 5 在 5 阶行列式中 下列各项的前面应带什麽符号 1 aaaa 3124135542a 解 因为 34125 2 2 4 所以此项前面的符号为 2 53453124124512532431 aaaaaaaaaa 解 因为 24153 2 2 4 所以此项前面的符号为 6 写出 4 阶行列式展开式中所有带负号且含元素 a32的项 解 433221144132241344322311 aaaaaaaaaaaa 7 按定义计算行列式 1 41332214413223144432231144332211 4441 3332 2322 1411 00 00 00 00 aaaaaaaaaaaaaaaa aa aa aa aa 2 1 000 0010 0200 1000 2 1 n n n nn L L MMLMM L L 3 1 0000 10000 00200 00010 1n n n n L L MMLMMM L L 4 1 0000 00001 00200 01000 2 2 1 n n n nn L L MMMLMM L L 8 由行列式定义证明 0 000 000 000 5251 4241 3231 2524232221 1514131211 aa aa aa aaaaa aaaaa 证 展开式中任意一项为 而中至少有一个取到 3 4 5 中的一个 所以中至少有一个数为零 故行列式的所有项 均为零 即行列式为零 54321 54321jjjjj aaaaa 543 jjj 543 543 jjj aaa 9 由定义计算 f x x x x xx 111 123 111 212 中与的系数 并说明理由 4 x 3 x 解 项 必 在 4 xxxxx 2中 出 现 故 系 数 为 2 项 必 在 中出现 系数为 1 3 x 3 443321a12 1xxxxaaa 10 计算行列式 1 8 134 222 315 120032004200 222 315 199203196 222 315 2 4 47 47 4 1 241 523 131 4 1 211 5 2 1 3 1 4 3 1 3 3 3111 1311 6 3 1 48 1131 1113 4 yxyx xyxy yxyx xyx yx yxy yx yxyx xyxyx yxyyx 0 0 1 2 2 2 2 2 2 2 332222 yxyxyxyxyxyxyx 5 111111111100000 11110011001100 11111111001100 1111000011001 xxx xxx xyxy yyy yyy 0 1 x y 22 xy x yx y 6 0 964412 964412 964412 964412 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 2 2 2 2222 2222 2222 2222 dddd cccc bbbb aaaa dddd cccc bbbb aaaa 11 计算行列式 1 12 21 31 32 41 42 43 182764 14916 1234 1111 2 23000 12014000 23 034 11 2 22218120 14 102965034 10137102 12 用行列式按一行 列 展开公式计算行列式 1 5730 10970 1111 13743 10294 11112 0001 1723 6214 3152 4021 726 327399 2 10321032 121 01210121 0922 32420254 022 21270143 2 3 100 492 242 110 452 222 542 452 222 10 1 1011 1 92 42 1 22 4 100 241 212 1220 281 232 3142 281 272 22 3 1 96 1 13 计算下列n阶行列式 1 1 1 1 0000 0000000 000 0000000 00 1 00000 000 00 0000000 00000 n n n ab abab b abab ab aba ab ab baab a L LL L LL L MMMOMML MMOMM LMMMMOMM L LL L nnn ba 1 1 2 n n aa aa aa a a a a L MLMMM L L L L MLMM L L 00 00 00 0101011 111 111 111 1 31 21 1 2 1 n n aa aa a aa aa aa L MLMMM L L L MLMMM L L L 00 00 000 00 00 00 1111 1 21 1 1 31 21 321 321 21 1001 0101 0011 1111 aaa aaaa aaa n n L L MLMMM L L L L 122 12 11111 010 1 n 00 n n aaaaa a LL L L MMM L n aa L 21 a a a n i i n a aaa 1 21 1 1 L 方 法二 1 1 2 2 33 1000100 11 01 0 100010 1 011 0 100010 1 01 01 100010 n n nn a a a a Da a aa LL L LL L LL MMLM MMMOMMMMOM L LL 0 a n a a a a a a L MOMM L L L MOMMM L L L L 00 00 00 1000 100 100 100 2 1 3 2 1 1 111 21 21211213132 n nnnnn aaa aaaaaaaaaaaaaaaLLLLLLL 1 1 1 21 n i i n a aaaL 方 法三 n n n n a a a a a a D L MOMMM L L L L MOMMM L L L 001 001 001 1111 1110 1110 1110 1111 2 1 1 2 1 1000 0100 0010 1111 1 1001 0101 0011 111 1 21 1 21 21 21 L MOMMM L L L L L MOMMM L L L L n n i i n n n aaaa aaa aaa aaa 1 1 1 21 n i i n a aaaL 3 2 2 2000 0100 2222 0001 222 2322 2222 2221 n nnL MLMMM L L L L MOMMM L L L 4 22 2 21000 12000 00210 00121 00012 nnn DDD L L MMOMMM L L L 4 3 2 321211 DDDDDDD nnnn 1 又 nDD nn是一个等差数列 说明 5 nnnn n n bababa bababa bababa L MLMM L L 21 22212 12111 解 1112 112212211212 2122 2 abab nababababa abab L时abb 1231111 2 nn a a a M 000 223122 231 3 n n n nnn abbbbaa abbbbaa nD abbbbaa LL LL MMMLMMMML LL 时 1 n D 注 将的第一列拆分后 得到两个相应的行列式 将左边行列式的第一列乘再 分别加到后面各列上去 将右边行列式的第一列加到后面的各列上去即得到上面右边 的两个式子 30 2 1 1 2121 11 111 121212 12111 n nbbaa nba aaaaaa aaaaaa bababa D D nnn n n n L MLMM L L 得 加到其他各行上去 第一行乘 将 方法二 是成比例的 从第二行起任意两行都时 注 显然 当 n Dn3 0 1 2120 1 14 111 100 1 1 100 0 1 2 100 n ni i i n a a aa aa aai a a L L LL MMMLM L 试证 其中nL 12 2 111 1121 0 0 1 1212 120 1 1 2 1100 010 1010 001 1001 000 1 n iin i n aaa aaaa i nn n n i i a in aa Da aaa aa a aaa a L LL L L LL L L MMMLM MMMO L L L 证明 从第二列起 各列提出因子得 0 0 1 M 11 1 2 1 1 nn abab abab ab ab abab ab OOO 33 2 2 11 12 11 2 nnnn nnn nnnnnn ab nDabab ab n abab Dab DabDabab abab aaba bba bab ab 证明 用数学归纳法证 当时 假设当行列式的阶数不大于 时 上述结论成立 由于 11 nn ab ab 由数学归纳法知 上述结论成立 1 11 1221 1000 0100 0000 3 0001 nn nn nnn x x x xa xaxa x aaaaax L L L L MMMLMM L L 2 212 21 1 11 1 12 121 1 1 2 1 1 1 n nnnn n nn nnn n x nDxa xa aax n Dx Dxax Da x x xa xaxaa xa x O L 证明 由数学归纳法 当时 假设行列式的阶数不大于时 命题成立 又 12 21 n nnn axaxa L 命题得证 n cos1000 12cos100 4 cos012cos00 00012cos n L L L MMMLMM L 2 2 12 cos1 2 2cos1cos2 12cos 1 2cos 2cos cos 1 cos 2 cos cos 1 cos 1 c n nnn nD knknD DDDnn nn n 证明 用数学归纳法 当时 假设阶数时命题成立 当时 对按最后一行展开 得 os 2 coscos 2 cos 2 cos n nnn n 12 222 12 12 121 11222 11121 111 121 121 15 111 1 1 111 n nnn n nnn n n n nnnnn ij i nn nnn n nnn n n aaa aaa aaa n aaa Daa aaa aaa aaa L L MMLM L L L L MMLM L L L 计算 阶行列式 解 造阶范德蒙行列式 iij aa 12 1 11 222 12 12 11 111121 1 12 1 111 n n nn nnn n nnn n nnn nnnnni j i n nij j i n aaa Da aaa aaa aDaaaaaa aaaaa L L MMLM L L LL L 将按最后一列展开 其中有一项为 且只有这一项含有 而 比较之 原式 j a 1 11 2 00 000 0 00 n n nn abbb cabb Dccab ccca abbb abbabb cabb cabcab ccab abccb cccabb acbc ac ab Dab Dacb ccb bc L L L MMMLM L L LL L LL L MMLMMMLM MMMLM LL L L L MMLM L 解 原式 由 的对称性 还 1 11 n nnn nn n Dac DabcDD b acc ab D bc bc 可以得到与上式联立 消去解出得 注 显然 时 我们会有另一种解法将各列都加到第一列上 n 2 025 224 32 1 16 432 1 431 321 4321 xxxx xxx xxx xxxx 性放程组 用克莱姆法则解下列线 1 11211121 541 41205041 0313 50125012 232 11112032 31213121 141 21201041 01231 00120012 532 21115032 D D 解 1 2 1 0 1 62 310 1121 2105 0224 1231 4321 432 xxxx DDD 类似有 12 123 234 345 45 56 56 2 56 2 56 54 xx xxx xxx xxx xx 1 2 2 12345 12345 56000 15600 665 665 665 665 665 66501560 00156 00015 1 1 1 1 1 DDDDDD xxxxx 解 1212 17 1 2 3 5 8 1 2 3 110000 111000 011100 000011 000011 nnnn n n FibonaciFFFFFFn F L L L L MMMMLMM L L 阶 数列满足递推关系 试证 2121 1 110000 000000 001110 000111 000011 nnnnn FFFFF L L MMLMMMM L L