西安交大复变函数课件5-3留数在定积分计算上的应用.ppt_第1页
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文档简介

一 形如的积分 二 形如的积分 三 形如的积分 第三节留数在定积分计算上的应用 四 小结与思考 2 一 形如的积分 思想方法 封闭路线的积分 两个重要工作 1 积分区域的转化 2 被积函数的转化 把定积分化为一个复变函数沿某条 3 形如 4 z的有理函数 且在单位圆周上分母不为零 满足留数定理的条件 包围在单位圆周内的诸孤立奇点 5 例1计算积分 解 则 6 7 例2计算 解 令 8 极点为 在单位圆内 在单位圆外 9 例3 解 故积分有意义 10 11 12 因此 13 若有理函数R x 的分母至少比分子高两次 并且分母在实轴上无孤立奇点 一般设 分析 可先讨论 最后令 即可 二 形如的积分 14 2 积分区域的转化 取一条连接区间两端的按段光滑曲线 使与区间 一起构成一条封闭曲线 并使R z 在其内部除有 限孤立奇点外处处解析 此法常称为 围道积分法 1 被积函数的转化 当z在实轴上的区间内变动时 R z R x 可取f z R z 15 这里可补线 以原点为中心 R为半径 的在上半平面的半圆周 内部 除去有限孤立奇点 处处解析 取R适当大 使R z 所有的在上半平面内的极点 都包在这积分路线内 16 根据留数定理得 当充分大时 总可使 17 18 例4计算积分 解 19 20 积分存在要求 R x 是x的有理函数而分母的次 数至少比分子的次数高一次 并且R z 在实轴上 无孤立奇点 与 曲线C 使R z 所有的在上半平面内的极点 包在这积分路线内 同前一型 补线 一起构成封闭 都 三 形如的积分 21 对于充分大的 且时 有 22 从而 23 由留数定理 24 例5计算积分 解 在上半平面只有二级极点 又 25 26 例6计算积分 分析 因 在实轴上有一级极点 应使封闭路 线不经过奇点 所以可取图示路线 27 解 封闭曲线C 由柯西 古萨定理得 由 28 29 当充分小时 总有 30 即 31 例7 证 如图路径 32 33 令两端实部与虚部分别相等 得 菲涅耳 fresnel 积分 34 四 小结与思考 本课我们应用 围道积分法 计算了三类实积分
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