试验设计与数据处理12.ppt

方差分析 1 方差分析的意义 方差分析是数理统计的基本方法之一 方差分析的目的是确定观测对象的影响因子 即 方差分析就是将总变异分裂为各个因素的相应变异 作出其数量估计 从而发现各个因素在变异中所占的重要程度 因此 方差分析可帮助我们掌握客观规律的主要矛盾或技术关键 是科学研究中分析数据的一种工具 2 单因素试验的方差分析 如果在一项实验中 只有一个因素在改变 而其他因素保持不变的话 我们称之为单因素实验 因素所处的状态称为水平 在试验设计中 设因素A有J个水平A1 A2 AJ 在每个水平下都做了I次等精度测试 水平AJ下第I次实验数据用xI J表示 如确定温度对某一化学反应速度的影响 设5个不同温度等级20 60 80 100 120 每个等级进行6次等精度实验 在这里温度等于因素A 5个温度不同等级就是5个水平 方差分析 方差分析 2 单因素试验的方差分析 单因素试验安排表 因素水平 实验次数 若把每一个水平下的实验数据 每一列 看做是一个子样的话 可得J个子样 设这J个子样相互独立 且它们来自J个总体的方差都相同 即 方差齐性的假设是方差分析的前提 这叫做方差齐性 方差分析 2 单因素试验的方差分析 单因素试验的方差分析是检验J个总体的均值是否相等 亦即假设 确定检验的统计量 定义总变差 总变差包括了试验误差 随机误差 和条件误差 系统误差 方差分析 2 单因素试验的方差分析 总变差中的试验误差 随机误差 和条件误差 系统误差 的统计量 水平Aj下的子样平均值 即列数据的平均值 从 推导出 方差分析 2 单因素试验的方差分析 因交叉乘积项求和 因为 方差分析 2 单因素试验的方差分析 所以 若令 于是可得 反应了子样内的随机波动 即试验误差 亦称组内平均误差 反应了子样子间的差异 因素水平不同而引起的差异 亦称组间平方和 方差分析 2 单因素试验的方差分析 若判断因素A对实验结果的影响是否显著 就要判断条件变差与实验误差相差的程度 可用F检验来进行 令 F检验的统计量为 统计量F服从第一自由度 第二自由度的F分布 若 则在显著水平 下拒绝原假设H0 即因素A对试验结果影响显著 否则接受原假设H0 即因素A对试验结果无显著影响 方差分析 2 单因素试验的方差分析 上述分析常用排表的形式进行 称方差分析表 方差分析表中的显著性结论 是根据计算的F值与临界值Fa fA fE 相比较 然后作出的 通常分4种情况 1 F F0 01 因素A的影响特别显著 记为 2 F0 01 F F0 05 因素A的影响显著 记为 3 F0 05 F F0 10 因素A有一定影响 记为 4 F F0 10 因素A的影响不显著 记为 0 否定原假设 接受原假设 方差分析 2 单因素试验的方差分析 单因素试验的方差分析计算表 方差分析 2 单因素试验的方差分析 单因素试验的方差分析计算表中的x 如下 令 推导出 方差分析 2 单因素试验的方差分析 单因素试验方差分析的步骤如下 1 提出原假设 即 2 由原始数据计算各相关系数 3 计算和填写方差分析表 4 比较F值与临界值Fa fA fE 作出相应的分析结论 例 用5种微生物处理被污染地下水中的N 求5种微生物对地下水中的N处理有无显著影响 次数 因素 方差分析 2 单因素试验的方差分析 解 用单因素试验的方差分析法 这里 1 原假设 2 计算方差分析计算表 按公式计算各平方和 方差分析 2 单因素试验的方差分析 3 第一自由度及第二自由度 组间及组内方差估计值分别为 方差分析 2 单因素试验的方差分析 统计量F值为 4 查附录B 4 并建立方差分析表 5 结论 由于F 6 06 F0 01 4 15 4 89 故拒绝原假设 即微生物种类的不同对地下水中的N处理有显著影响 方差分析 3 不等重复数的单因素试验的方差分析 在实际研究中 有时由于条件的限制 不同因素水平下的试验重复数不同 或某些试验做的不理想 数据不能用 使数据缺少了一部分 不等重复数的单因素试验的方差分析与等重复数是完全类似的 仅仅是计算时略有不同 设在水平Aj下的试验重复数为Ij则试验总数为 此时 相关计算公式中的I相应地改为Ij 则有 其中 方差分析 3 不等重复数的单因素试验的方差分析 令 则可按上述公式计算各平方和 其他计算及方差分析表与等重复数单因素试验完全相同 例 测得4条河的河水中硝酸态氮含量 ppm 如下 试问4条河水中的硝酸态氮含量是否有显著性差异 方差分析 3 不等重复数的单因素试验的方差分析 解 这里n 29 J 4 1 原假设 2 计算方差分析计算表 按公式计算各平方和 方差分析 3 不等重复数的单因素试验的方差分析 方差分析 3 不等重复数的单因素试验的方差分析 3 方差分析表如下 4 结论 由于F 9 34 F0 01 3 25 4 68 故拒绝原假设 即4条河的河水中硝酸态氮含量 ppm 的差异是特别显著 方差分析 多重比较 一 最小显著差数法 简称 法 检验是一个整体概念仅是指出平均数是否有显著差异 但是 是否平均数间都有显著差异 还是仅有一部分平均数间有显著差异而另一部分平均数间没有显著差异 它不曾提供任何信息 要明确各个平均数间的差异显著性 还必须对各平均数进行多重比较 用此法检验多个平均数时 首先算得平均数差数的标准差 为样本容量 方差分析 多重比较 一 最小显著差数法 简称 法 查得所具有的自由度下水平 下的 值 即有最小显著差数 若两个平均数的差数 即为 水平上显著 举例说明如下 方差分析 多重比较 一 最小显著差数法 简称 法 通过单因素实验方差分析如下 这里样本容量 所以 自由度 时 方差分析 多重比较 一 最小显著差数法 简称 法 结论 和 没有显著性差异 和 在 水平下有显著差异 和 在 水平下有极显著性差异 方差分析 多重比较 二 最小显著极差法 简称 法 这一方法的特点是不同平均数间的比较采用不同的显著差数标准 因而就克服了 法的局限性 可用于平均数间的所有相互比较 其常用方法有新复极差测验和 测验两种 新复极差测验 又称 测验 原假设为 即任两个总体平均数的极差为 然后计算平均数的标准误 当各样本的容量皆为 时 再查 表 查得所具有的自由度下 时的 值 为某两极差间所包含的平均数 进而算得各个 下的最小显著极差 方差分析 多重比较 二 最小显著极差法 简称 法 将各平均数按大小循序排列 用各个 的 值即可测验各平均数两极差显著性 凡两极差 者为接受 凡两极差 则否定 即两极差在 水平上显著 举例说明如下 方差分析 多重比较 二 最小显著极差法 简称 法 自由度 时 时 和 如下 方差分析 多重比较 二 最小显著极差法 简称 法 平均值按大小循序排列 方差分析 多重比较 二 最小显著极差法 简称 法 得出如下结论 结论的表示方法如下 4 双因素试验的方差分析 双因素试验考虑两个因素A和B 因素A分成J个水平 因素B分成I个水平 实验安排是让因素A和因素B的每个水平都碰到 即在Aj Bi的条件下做一次试验 共有J I种配合 得J I个试验数据 如下表表示 方差分析 4 双因素试验的方差分析 双因素试验安排表 无重复测试 定义双因素试验的总平方和 总平方和可分解为 方差分析 4 双因素试验的方差分析 其中 各平方和的自由度分别为 各平方和除以相应的自由度得各方差估计值 即 方差分析 4 双因素试验的方差分析 检验因素A和因素B对实验结果有无显著影响所用的统计量分别为 以上结果列方差分析表如下 方差分析 4 双因素试验的方差分析 实际计算各平方和时 采用下面的计算公式 令 则 方差分析 4 双因素试验的方差分析 例 为了考察蒸馏水的pH值和硫酸铜的浓度对化验血清中蛋白质与球蛋白的影响 将硫酸铜的浓度 因素A 分为3个水平 0 04 0 08 0 10 相应地记为A1 A2 A3 蒸馏水的pH值 因素B 分为4个水平 5 40 5 60 5 70 5 80相应地记为B1 B2 B3 B4 在Ai Bj的条件下各做一次试验 试验结果如下 试分析察蒸馏水的pH值和硫酸铜的浓度对试验结