《数学分析(中)》教学大纲.pdf

数学分析 中 教学大纲 教学大纲 课程编号 08100960 课程性质 大类平台必修 课程名称 数学分析 中 学时 学分 80 32 习题课 6 英文名称 Mathematical Analysis 考核方式 闭卷 选用教材 数学分析 陈传璋 金福临等 高等教育出 版社 大纲执笔人 李建奎 先修课程 数学分析 上 大纲审核人 孙龙祥 适用专业 数学与应用数学专业 信息与计算科学专业 一 教学基本目标 数学分析是数学系最重要的基础课 它对后继课程 微分方程 微分几何 复变函数 实 变函数 泛函分析 与近代数学的学习与研究具有非常深远的影响和至关重要的作用 通过本 课程的学习 使学生掌握数学分析的基本概念 基本理论 基本方法 培养学生运用所学的 理论和方法分析和解决问题的能力 为后继课打下坚实的基础 二 教学基本内容 第一章 定积分 本章学习要求 本章学习要求 1 掌握不定积分的基本公式 掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理 掌握换元 积分法与分部积分法 2 会求有理函数 三角函数有理式和简单无理函数的积分 3 理解积分上限的函数 会求它的导数 掌握牛顿 莱布尼茨公式 本章学习本章学习内容 1 定积分的概念 2 定积分存在的条件 一 定积分存在的充分必要条件 二 可积函数类 3 定积分的性质 4 定积分的计算 一 定积分计算的基本公式 二 定积分的换元公式 三 定积分的分部积分公式 四 杂例 五 椭圆积分 第二章 定积分的应用和近似计算 本章学习要求 本章学习要求 1 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量 平面图形的面积 平面曲线的弧长 旋 转体的体积及侧面积 平行截面面积为已知的立体体积 功 引力 压力 及函数的平均值 本章学习本章学习内容 1 平面图形的面积 2 曲线的弧长 3 体积 4 旋转曲面的面积 5 质心 6 平均值 功 一 平均值 二 功 7 定积分的近似计算 第三篇 级数论 第一部分 数项级数和广义积分 第九章 数项级数 本章学习要求 本章学习要求 1 掌握常数项级数收敛 发散以及收敛级数的和的概念 掌握级数的基本性质及收敛的必 要条件 2 掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件 3 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法 会用根值判别法 4 掌握交错级数的莱布尼茨判别法 5 掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念 以及绝对收敛与收敛的关系 本章学习本章学习内容 1 预备知识 上极限和下极限 2 级数的收敛性及其基本性质 3 正项级数 4 任意项级数 一 绝对收敛级数 二 交错级数 三 阿贝尔 Abel 判别法和狄立克莱判别法 5 绝对收敛级数和条件收敛级数的性质 6 无穷乘积 第十章 广义积分 本章学习要求 本章学习要求 1 掌握广义积分的敛散概念及其各种性质 会应用收敛定义和性质计算无穷积分和证明无 穷积分的有关问题 2 会应用敛散定义和各种敛散性的判别法判别广义积分的敛散性 本章学习本章学习内容 1 无穷限的广义积分 一 无穷限广义积分的概念 二 无穷限广义积分和数项级数的关系 三 无穷限广义积分的收敛性判别法 四 阿贝尔判别法和狄立克莱判别法 2 无界函数的广义积分 一 无界函数广义积分的概念 柯西判别法 二 阿贝尔判别法和狄立克莱判别法 第二部分 函数项级数 第十一章 函数项级数 幂级数 本章学习要求 本章学习要求 1 掌握函数项级数的收敛域及和函数的概念 2 掌握幂级数收敛半径的概念 并掌握幂级数的收敛半径 收敛区间几收敛域的求法 3 理解幂级数在其收敛区间内的基本性质 和函数的连续性 逐项求导和逐项积分 会求 一些幂级数在收敛区间内的和函数 并会由此求出某些数项级数的和 4 掌握函数展开为泰勒级数的充分必要条件 5 掌握 x e xsin xcos 1ln x 及 1x 的麦克劳林展开式 会用它们将一些简单 函数间接展开成幂级数 本章学习本章学习内容 1 函数项级数的一致收敛性 一 函数项级数的概念 二 一致收敛的定义 三 一致收敛级数的性质 四 一致收敛级数的判别法 2 幂级数 一 收敛半径 二 幂级数的性质 三 函数的幂级数的展开 四 习题 3 逼近定理 第十二章 富里埃级数和富里埃变换 本章学习要求 本章学习要求 1 知道本节两个引理 Riemann 引理 Dirichlet 引理 的意义 并掌握它们的证明方法 收敛 判别法是基础结果 它们给出了函数能展成傅里叶级数的充分条件 理解它们的意义 2 会将若干简单函数展成傅里叶级数 本章学习内本章学习内容 1 富里埃级数 一 富里埃级数的引进 二 三角函数系的正交性 三 富里埃级数 四 狄立克莱积分 五 黎曼引理 六 狄尼 Dini 判别法及其推论 七 狄立克莱 约当判别法 八 富里埃级数的一致收敛性 九 函数的富里埃级数展开 十 周期为T的函数的展开 十一 富里埃级数的复数形式 十二 富里埃级数的逐项求积与逐项求导 2 富里埃变换 一 富里埃变换的概念 二 富里埃变换的一些性质 第四篇 多变量微积分学 第一部分 多元函数的极限论 第十三章 多元函数的极限与连接 本章学习要求 本章学习要求 1 理解多元函数的概念 理解二元函数的几何意义 2 理解二元函数的极限与连续的概念 以及有界闭区域上连续函数的性质 3 理解二重极限和二次极限的关系 本章学本章学习内容 1 平面点集 一 邻域 点列的极限 二 开集 闭集 区域 三 平面点集的几个基本定理 2 多元函数的极限和连续性 一 多元函数的概念 二 二元函数的极限 三 二元函数的连续性 四 有界闭区域上连续函数的性质 五 二重极限和二次极限 注 号内容为选讲 三 建议教学进度 七 定积分 13 学时 定积分的概念 定积分存在的条件 定积分的性质 定积分的计算 八 定积分的应用和近似计算 11 学时 平面图形的面积 曲线的弧长 体积 旋转曲面的面积 质心 平均值 功 近似计算 九 数项级数 17 学时 上极限和下极限 级数的收敛性及其基本性质 正项级数 任意项级数 绝对收敛和条件收 敛级数的性质 十 广义积分 6 学时 无穷限的广义积分 无界函数的广义积分 十一 函数项级数 14 学时 函数项级数的一致收敛 幂级数 逼近定理 十二 FOURIER 级数 FOURIER 变换 13 学时 三角函数系的正交性 Fourier 系数 Dirichlet 积分 Riemann 引理 Dini 判别法及 其推论 Fourier 级数的一致收敛性 函数的 Fourier 级数展开 Fourier 变换的概念与 性质 十三 多元函数的极限与连续 6 学时 平面点集 多元函数的极限与连续性 四 教学方法 课堂讲授 五 考核方式 书面考试 平时作业 六