高三数学总复习讲义：直线与圆的方程.doc

抚顺四中高三数学总复习讲义：直线与圆的方程 编辑：尹凤林71直线方程考纲要求：理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式、并能根据条件熟练的求出直线方程。考点回顾：1、 直线的倾斜角：1） 定义：在平面直角坐标系中，把x轴绕直线L与x轴的交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角。2） 范围：0，）3） 特例：当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为00。2、 直线的斜率：1） 定义：不是900的倾斜角的正切值叫做直线的斜率，即k=tan2） 经过两点的直线斜率公式：过两点P(x1,y1),P(x2,y2),(x1x2)的直线的斜率公式k=tan=3） 斜率与倾斜角的关系图：3、 直线的方向向量：即（1，k）.4、 直线方程的五种形式：名称方程形式常数意义适用范围备注点斜y-y0=k(x-x0)K斜率,(x0,y0)线上定点K存在K不存在时 x= x0斜截y=kx+bK斜率,b为y轴上截距K存在K不存在时 x= x0两点(x1,y1), (x2,y2)是线上两定点且(x1x2 ,y1,y2),不垂直x,y轴x1=x2时x=x1y1=,y2时y=,y1截距,b 分别为x,y轴上截距不垂直x,y轴和过原点=b=0时y=kx一般Ax+By+C=0A,B不同时为0任意直线A,B,C为0时,直线的特点考点解析考点1、直线的倾斜角EG1、直线的倾斜角的取值范围是_。解:直线的斜率,B1-1、若(，)，则直线y=cotx+1的倾斜角为 C A、- B、+ C、- D、+B1-2、直线Ax+By-1=0在y轴上的截距是-1,而且它的倾斜角是直线BB1-3、设，则直线的倾斜角为（ ） 考点2、直线的斜率EG2、直线ax+y+1=0与连接A(2,3)、B(3,2)的线段相交,则a的取值范是A.1,2 B.2,+（,1）C. 2,1 D. 1,+（,2）解：直线ax+y+1=0过定点C(0,1),当直线处在AC与BC之间时,必与线段AB相交,应满足或即或.选D。点评：斜率与倾斜角的范围之间不能想当然,要根据具体情况而定B2-1、设P（x，y）是曲线C：上任意一点，则的取值范围是CA B C DB2-2、直线同时要经过第一、第二、第四象限，则应满足（ ）AABCDB2-3、三点在同一条直线上，则k的值等于 12 考点3、直线的方向向量EG3、（2004安徽模拟）直线l的方向向量为（-1，2），直线l的倾斜角为则 B3-1、已知直线L过P（-2，3）且平行于向量d=（4，5），则直线L的方程为 。B3-2、直线L的方向向量为（-1，2），直线L的倾斜角为，则的值为 B3-3、（05qg）已知直线，那么直线l1的方向向量为 。l2过点（1，1），并且l2的的方向向量满足，则l2的方程为 （注：只需写出一个正确答案即可）； （2，1）或（1，）等，2x+y3=0；考点4、直线方程EG4、ABC的三个顶点A(3,0),B(2,1),C(2,3).求：(1) BC所在直线的方程;(2) BC边上中线AD所在直线的方程;(3) BC边的垂直平分线DE的方程.解：（1）; （2）由已知得BC中点D(0,2),BC边的中线AD过点A(3,0), D(0,2)两点,由截距式易得AD所在直线方程为2x3y+6=0;(3),BC的垂直平分线DE的斜率，故由点斜式得DE所在的直线方程为y=2x+2。【思维点拨】合理选取直线方程的形式有利于提高解题的速度.B4-1、（2004四川高考）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）B4-2、过点（1，3）做直线L，若经过点（a,0） 和（0，b），且a,b为正整数，则可做出的L的条数（）B4-3、直线L过点A（-2，-3），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的条数为（）B4-4、某房地产公司要在荒地上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一栋八层公寓，问如何设计才能使面积最大？并求面积的最大值（精确到1m2）解：在线段AB上任取一点p，作垂线CD、DE，则AB的方程为，设p(x,20-),则S=(100-x)80-(20-) (0x30)得 (0x30)配方得：x=5，y=时S取最大值6017平方米实战训练1、已知M(2，3)，N(3，2)，直线l过点A(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是AA.k或k4B.4kC.k4D.k42过点P（6，2）且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线的方程是ABC D3、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为 C (A)1 (B)2 (C)3 (D)44、如图所示，直线l1：axyb=0与l2：bxya=0(ab0,ab)的图象只可能是( )D 5、若三点A(3,a)、B(2,3)、C(4,b)在一条直线上,则有 c ( )(A)a=3,b=5 (B)b=a+1 (C)2ab=3 (D)a2b=36、直线经过原点和点(1,1),则它的倾斜角是 a A. B. C.或 D.7、过点P(2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为 a A.1 B.4 C.1或3 D.1或48.已知直线：A1x+B1y+C10与直线：A2x+B2y+C20相交，则方程1（A1xB1yC1）2（A2x+B2y+C2）=0,(0)表示 a A.过与交点的一切直线B.过与的交点，但不包括可包括的一切直线C.过与的交点，但包括不包括的一切直线D.过与的交点，但既不包括又不包括的一切直线9.方程(a1)xy+2a+1=0(aR)所表示的直线 ( )aA.恒过定点(2,3) B.恒过定点(2，3)C.恒过点(2,3)和点(2，3) D.都是平行直线10已知，则过不同三点，的直线的条数为（ ） 多于二、填空11已知的顶点,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是或；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.12若直线的方向向量是,则直线的倾斜角是；若点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围为或.三、解答13、两条直线和的交点在第四象限，求的取值范围解法一：解方程组得交点为(）此点在第四象限，故选C.解法二：如图，直线与x轴的交点是A（4，0），方程表示的是过定点P（2，1）的一组直线，其中PB为过点P且与平行的直线由于直线的交点在第四象限，因此满足条件的直线的位置应介于直线PB与PA之间，其余率 而，所以 故选C.评述：有关直线的交点问题，可以通过方程用代数的方法解决，也可结合图形用几何的方法解决，让学生予以体会14、过点P(2,1)作直线l分别交x,y的正半轴于A,B两点求（1）ABO面积的最小值，及相应的直线方程（2）若OA+OB取最小值时，求直线的方程（3）若PAPB取最小值时，求直线的方程解法一：显然直线斜率存在。 设直线方程为y-1=k(x-2) (k0) 得点A(), B(0,1-2k)（1） SABO=OAOB= () (1-2k)=2+(-2k-)k0 SABO4,此时即直线为x+2y-4=0（2）OA+OB=()+ (1-2k) 此时即直线为x+（3）PAPB=, 此时即直线为x+y-3=0解法二：设直线方程为。(1) SABO=ab的最小为8当且仅当a=4,b=2时成立.即得直线为x+2y-4=0(2) 此时直线为x+解法三：设OAB=(0,90),则OA=1+,OB=2+tan,PA=,PB=类似法一可求.72两条直线的位置关系考纲要求：掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。考点回顾： 1、 平行1） 若斜率存在：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2有l1l2k1=k2且b1b2；2）、若一般式：l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0 有l1l2A1B2-A2B1=0；B1C2-B2C102、 垂直：1） 若斜率存在：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2有 l1l2k1k2=-1 l1l2k1k2=-12） 若一般式：l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0有 l1l2A1A2+B1B2=03、 相交与重合1） 有斜率的两直线l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2 ，l1与l2相交 k1k2 ； l1与l2重合k1=k2 且b1=b2。2）一般式的直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0 l1与l2相交 A1B2-A2B10 l1与l2重合 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0。4、夹角与到角：l1到l2的角：直线l1绕交点依逆时针旋转到l2所转的角有tan=（k1k2-1）。l1与l2的夹角，有tan=|（k1k2-1）。5、 点与直线的位置关系：若点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则有Ax0+By0+C=0；若点P（x0，y0）不在直线Ax+By+C=0上，则有Ax0+By0+C0，此时到直线的距离：。6、两平行直线间的距离：平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0之间的距离为7、 过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+（A2x+B2y+C2）=0（R）(除l2外)。考点解析考点1、平行EG1、若直线：ax+3y+1=0与：2x+(a+1)y+1=0互相平行，则a的值是 A、-3 B、2 C、-3或2 D、3或-2B1-1、直线，经过点(3,0)，直线经过点(0，4)，且/，d表示和间的距离，则（ ）A、0d3 B、0d4 C、00，则点P在直线的上方，此时不等式表示直线的上方的区域；若B0，则点P在直线的下方，此时不等式表示直线的下方的区域；（注：若B为负，则可先将其变为正）2、 线性规划求线性目标函数在约束条件下的最值问题，统称为线性规划问题；可行解：指满足线性约束条件的解（x,y）; 可行域：指由所有可行解组成的集合；考点训练考点1、二元一次不等式表示平面区域EG1、不等式表示的平面区域在直线的左上方 右上方左下方 右下方B1-1、原点和点在直线的两侧，则的取值范围是B1-2、05QG1在下列各点中，不在不等式表示的平面区域内的点为A（0，1）B（1，0） C（0，2）D（2，0）考点2、线性规划EG2、表示图中阴影部分的二元一次不等式组是（ C ）B2-1给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则的值为（ ） B2-2由及表示平面区域的面积是.实战训练1 三个点、中，在由方程确定的曲线所围成区域中的个数有 个个 个 个2已知集合，集合，则的面积是 1 3已知整点在不等式组所表示的平面区域内，则为405QG设实数x、y满足的最大值是 .5；505QG设x、y满足，则该不等式组表示的平面区域的面积为_；的最大值是_. 36，15；605QG设满足约束条件则目标函数的最大值是A3B4 C5D6705QG已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则zxy的取值范围是A2，1B2，1 C1，2 D1，2805QG设、满足约束条件则使得目标函数的值最大的点 （，）是 （2，3）9（05QGZJ）设集合是三角形的三边长，则A所表示的平面区域（不含边 界的阴影部分）是（ ）A B C D10、某人上午时乘船出发，以匀速海里/时（）从港到相距海里的港去，然后乘汽车以千米/时（）自港到相距千米的市去，计划在当天下午至时到达市.设乘船和汽车的时间分别为和小时，如果已知所要的经费（单位：元），那么，分别是多少时所需费用最少？此时需要花费多少元？解：由，4v20，得x；由，30100，得3y10.P=100+3（5-x）+（8-y）=123-（3x+y）. 9x+y14， x， 3y10.目标函数为z=3x+y. x+y=14，由 得A（11，3）， y=3此时，=，=100.答：当v=海里/时，=100千米/时时，所需的经费最少，需花费87元.74曲线与方程考纲要求：掌握在直角坐标系中曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线方程，并画出方程所表示的曲线。考点回顾：1、 曲线和方程的概念：2、求曲线方程的一般步骤：3、求曲线的轨迹方程常用的方法：4、思维、规律、方法：考点解析EG1、（04全国14）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=60，则动点P的轨迹方程为 x2+y2=4B1-1、已知点、，动点，则点P的轨迹是A圆B椭圆C双曲线D抛物线B1-2如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方的差为1，在xAy直角坐标系中，动点P的轨迹方程是 . B1-3、（04辽宁19）设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程； （2）的最小值与最大值. （1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 的解.2分将代入并化简得，所以于是6分设点P的坐标为则消去参数k得 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点P的轨迹方程为8分解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以 得，所以当时，有 并且 将代入并整理得 当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，2），这时点P的坐标为（0，0）也满足，所以点P的轨迹方程为8分（2）解：由点P的轨迹方程知所以10分故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为12分B1-4、设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为(x，y). 由.化简得当，整理得.当a=1时，化简得x=0.所以当时，P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当a=1时，P点的轨迹为y轴. 实战训练1 已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（1，0）和（1，0），点A、P、Q运动时满足（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设M、N是C上两点，若求直线MN的方程.解：（1）为AF的中点. 又的垂直平分线. A、E、P三点共线，P为AF的垂直平分线与AE的交点. 点P的轨迹为椭圆，且 所求的椭圆方程为6分（2）设两交点的坐标为、则7分 由已知8分 由上式可组成方程组为把、代入得 4得代入得10分直线MN与x轴显然不垂直，所求直线MN的斜率12分所求的直线MN的方程为13分2、已知直线过M（1，0）与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，点P在y轴的右侧且满足. （）求P点的轨迹C的方程；ycy （）若曲线C的切线斜率为，满足，点A到y轴的距离为a，求a的取值范围.解：（I）直线轴垂直时与抛物线交于一点，不满足题意。2分 设直线的方程为 把代入抛物线得：设两交点为4分 6分7分 （II）9分11分 把（1）代入（2）得： 解得：12分 3、已知向量m1=（0，x），n1=（1，1），m2=（x，0），n2=（y2，1）（其中x，y是实数），又设向量m=m1+n2，n=m2n1，且m/n，点P（x，y）的轨迹为曲线C.（）求曲线C的方程；（）设曲线C与y轴的正半轴的交点为M，过点M作一条直线l与曲线C交于另一点N，当|MN|=时，求直线l的方程.解：（I）由已知， 2分 4分 即所求曲线的方程是：6分（）由（I）求得点M（0，1），显然直线l与x轴不垂直， 故可设直线l的方程为y=kx+1.7分由解得x1=0, x2=分别为M，N的横坐标）.10分由12分所以直线l的方程xy+1=0或x+y1=0.14分4、如图，已知A（，B、C两点分别在轴和轴上运动，并且满足， （）求动点Q的轨迹方程； （）设过点A的直线与点Q的轨迹交于E、F两点， ，求直线E、F的斜率之和.解（）2分由已知4分5分（）设过点A的直线为、F(x2,y2)联立方程组7分y1y2=12p28分10分， 所以13分由y1y2=12p2,得=014分5、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO（如图4所示）. （）求AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； （）AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.解：（I）设AOB的重心为G（），A（），B（），则（1）OAOB （2）又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得所以重心为G的轨迹方程为（II）由（I）得当且仅当即时，等号成立.所以AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；6、如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.解：本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力。满分12分。解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1（2，0），O2（2，0）。由已知PM=，因为两圆的半径均为1，所以PO121=2（PO221）， 设，即所以所求轨迹方程为75圆的方程考纲要求：掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。考点：1、 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。2、 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)，其中圆心为(-，-)，半径为，3、 圆的参数方程：4、 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的判定代数法与几何法：A：若圆(x-a)2+(y-b) 2=r2，那么点(x0,y0)在B：直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法：（1） 代数法（判别式法）（2） 几何法，圆心到直线的距离（3）圆与圆的位置关系5、圆系方程： i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0ii)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)该方程不包括圆C2；（时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程）6、圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系；二元二次方程表示圆的充要条件A=C0，B=0 ，D2+E2-4AF0。考点解析考点1、圆的方程EG1、3、（04全国14）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=60，则动点P的轨迹方程为x2+y2=4。B1-1、（04全国1/4）已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为（ ）CABCDB1-2、圆的圆心坐标为 ；直线被该圆所截得弦长等于 . 11（3，1），4 B1-3、曲线为参数）的普通方程是 ；如果曲线C与直线有公共点，那么实数a的取值范围是 .考点2、直线与圆EG2、（04天津）7. 若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是AA. B. C. D. B2-1、(2003年高考广东)已知圆C：(xa)2+(y2)2=4 (a0)及直线l：xy+3=0当直线l被C截得的弦长为2时，则a=CA. B.2 C.1 D.+1B2-2、若直线xyr和圆x2y21相切, 则r等于 BB2-3、 CB2-4已知直线axbyc0与圆O：x2y21相交于A、B两点，且|AB|，则 . B2-5、05ln)若直线按向量平移后与圆相切，则c的值为（ ）A8或2B6或4 C4或6D2或8考点3、圆与圆EG3、已知两圆的方程分别是x2y22x30与 x2y26y10, 则它们的公共弦所在的直线方程是_.(用直线的一般式表示)B3-1、 已知两个圆C1：x2+y2=4，C2：x2+y2-2x-4y+4=0，直线L:x+2y=0，求经过C1和C2的交点且和L相切的圆的方程。解：设所求圆的方程为x2+y2-2x-4y+4+( x2+y2-4)=0即(1+)x2+(1+)y2-2x-4y+4-4=0所以圆心为半径为依题意有解之得，舍去，故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0。B3-2、动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心轨迹为A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 B3-3、圆与圆的位置关系是（ ）A 相离 B 外切 C 相交 D 内切B3-4、 已知C1：x2+y2-2mx+4y+(m2-5)=0 与C2：x2+y2-2x-2my+(m2-3)=0,当m为何值时：（1）两圆外离（2）两圆外切（3）两圆相交（4）两圆内切（5）两圆内含实战训练1 圆心在y轴上且通过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是A B C D2已知直线不全为0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有A66条B72条C74条D78条3若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为_4、（05重庆）圆关于原点（0，0）对称的圆的方程为ABCD5从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（ ）AB2C4D66（04浙江(2)） 点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为A (A) (B) ( (C) ( (D) (7设: 圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1, 则半径r取值范围的区间为 AA.(4,6) B.4,6) C.(4,6 D.4,68直线l的方程为x-y+1=0，圆C的方程为x2+y2-x+2y=0,则圆C关于直线l的对称圆的方程为BA.x2+y2-4x+3y+5=0 B.x2+y2+4x-3y+5=0 C.x2+y2+4x-3y-5