【考研数学】第10章+多元函数微分学.pdf

1 第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学 一一 设设 f g 为连续可微函数为连续可微函数 xyxgvxyxfu 求求 x v x u 解解 yff x u 21 1 yg x v 所以所以 1 21 yffgy v v x u 二二 设设 y z yzx 22 其中 为可微函数其中 为可微函数 求求 y z 解解 原式两边对原式两边对 y 求导求导 2 2 y zy y z y z y y z y z z 所以所以 y z yyz y z z y z y y z 2 三三 设设 x u zxttxyzyxfu 求 又 解解 由上述表达式可知由上述表达式可知 x z 为自变量为自变量 所以所以 xtyxyxxtxyxyx fffff x y ff x u 四四 求下列方程所确定函数的全微分求下列方程所确定函数的全微分 1 dzxzzyyxf 求0 2 dzyzxzfz 求 解解 1 0 1 321 x z f x z ff 所以所以 32 31 ff ff x z 0 1 231 y z f y z ff 所以所以 32 21 ff ff y z 所以所以 32 2131 ff dyffdxff dy y z dx x z dz QQ776597299 2 2 x z f x z xzf x z 21 所以所以 1 21 1 fxf zf x z 1 21 y z f y z xf y z 所以所以 1 21 2 fxf f y z 所以所以 1 21 21 fxf dyfdxzf dy y z dx x z dz 五五 设设 sin 22 yxyefz x 其中其中 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数 求求 yx z 2 解解 sin 2sin sin 22 2 22 1 yxyexfyeyxyef x z xxx 2cos 2 cos 2cos sin 221211211 2 yfyefxyfeyfyefye yx z xxxx yefxyffyxyyexxef xxx cos 4 cossin 2cossin 12212 2 11 六六 已知已知 2 yyxx zz y x xfz 求 解解 2 1 2 2 21 y x xf yy x xfzx 1 2 1 2 4 22121211 f y f y f y fzxx 1 4 4 22 2 1211 f y f y f 2 2 2 y x xf y x zy 2 22 4 2 2 3 f y x f y x zyy 七七 已知已知 ln yyxyxx zzzyxyxfz 求 解解 ln ln ln 21 yxyxfyxyxyfzx QQ776597299 3 ln ln ln 22121211 fyffyfyzxx ln 2ln 2212 2 11 fyfyf ln 1 221212111 f y x ff y x fyf y zxy 1 ln ln 1221211 f y ffy y x f y yx ln ln 21 yxyxfyxyxf y x zy 221212111 2 ff y x ff y x y x f y x zyy 2 1 2 221211 2 2 f y x ff y x f y x 八八 设设 0 0 32 2 zzyx zzyx xzzxyy 由 确定确定 求求 dx dz dx dy 解解 以上两式对以上两式对 x 求导求导 得到关于得到关于 dx dz dx dy 的方程组的方程组 0321 021 dx dz z dx dz dx dy y dx dz z dx dz dx dy 1 31 2 1 21 dx dz z dx dy y dx dz z dx dy 由克莱姆法则解得由克莱姆法则解得 yzyz zz dx dy 4231 32 2 2 yzyz y dx dz 4231 12 2 九九 设设 2 2 2 2 2 2 2 2 y z y yx z xy x z x x y x y xfz 求 解解 222 x y x y x y f x y x y f x y x y x y x y xf x y f x z 2 4 2 34 2 222 2 x y x y x y x y x y f x y x y f x y x y f x y x z QQ776597299 4 2 4 2 33 2 x y x y f x y 1 1 1 322 2 x y x y x y xx y f x y x y f xx y f xyx z 1 322 x y x f x y 1 x y xx y f y z 1 1 22 2 x f xy z 于是于是 2 2 2 2 2 2 2 2 y z y yx z xy x z x 2 2 22 x y x y f x y 2 2 2 2 22 x y x y f x y 2 f x y 2 2 x y 0 十十 设设 2 xyyxfz 其中其中 f u v 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数 u 二阶可导二阶可导 求求 yx z 2 解解 2 2 2 2 1 xyxyyxyfxyyxxf x z 2 2221221211 2 xyfxffyfxffx yx z 2 2 22 2 12 2 112 fxyfyxxffxy 十一十一 已知已知 x y dttpuuuzz 且 1 uuuz 连续 且可微 p t 连续连续 试求试求 y z xp x z yp 解解 xp x u u x u 1 u xp x u QQ776597299 5 yp y u u y u 1 u yp y u y u uzxp x u uzyp y z xp x z yp 1 1 u ypuzxp u xpuzyp 0 十二十二 设设 xzxyxQxyxPxzxyxF 其中出现的函数都是连续可微 的 其中出现的函数都是连续可微 的 试计算试计算 z F dx d y F 解解 yy zQp y F xyxQ z F 所以所以 xyx yQQ z F dx d 于是于是 yxxyxyxyy QyzQpyQQzQp z F dx d y F 十三十三 设设0 2 yx u eyxuz yx 试确定常数 试确定常数 使使0 2 z y z x z yx z 解解 yxyx x ueeu x z yxyx y ueeu y z yxyx x yx y yx xy ueeueueu yx z 2 yxyx x yx y ueeueu 所以所以z y z x z yx z 2 yxyx x yx y ueeueu yxyx x ueeu QQ776597299 6 yx y eu yx ue yx ue yx y yx y eueu 0 于是于是 1 十四十四 若若 22 yxfz 满足满足0 2 2 2 2 y z x z 其中其中 f u 有连续的二阶导数有连续的二阶导数 求求 z 解解 22 yx x f x z 2 2 3 22 22 22 2 2 2 1 xyx yx f yx x f x z 同理同理 2 2 3 22 22 22 2 2 2 1 yyx yx f yx y f y z 所以所以 0 1 22 2 2 2 2 yx ff y z x z 令令 22 yxu 得常微分方程得常微分方程 0 u uf uf 于是于是 0 ufuuf 0 uuf 1 cuuf u c uf 1 21ln cucuf 即即 2 22 1ln cyxcz 十五十五 求曲面求曲面1232 222 zyx的平行于平面的平行于平面034 zyx的切平面方程的切平面方程 解解 设切点为设切点为 0 x 0 y 0 z 所求切面的法矢量为所求切面的法矢量为 000 6 4 2zyx 所以所以 t zyx 3 6 4 4 1 2 000 2 2 000 t zty t x 代入曲面方程得代入曲面方程得 12 4 32 4 2 2 2 t t t 所以所以2 t 当当2 t 解得解得 1 2 1 000 zyx 所求切面方程为所求切面方程为 0 1 3 2 4 1 zyx 即即01234 zyx QQ776597299 7 当当2 t 解得解得 1 2 1 000 zyx 所求切面方程为所求切面方程为 0 1 3 2 4 1 zyx 即即01234 zyx 十六十六 求圆周求圆周 1 1 1 04532 03 222 Mzyxxzyx在 处的切线与法平面方 程 处的切线与法平面方 程 解解 圆周圆周 04532 03 222 zyx xzyx G F 在在 1 1 1 M处处 16 53 22 M zy Mzy GF 9 25 322 M xz Mxz GF 1 32 232 M yx Myx GF 所以在所以在 1 1 1 M处圆周的方向矢量为处圆周的方向矢量为 16 9 1 所求切线所求切线 1 1 9 1 16 1 zyx 所求法平面所求法平面 0 1 1 9 1 16 zyx 即即024916 zyx 十七十七 试求试求30 0 22 yxyxDyxxyyxz及在闭域上的最大值与最 小值 上的最大值与最 小值 解解 012 012 xy y z yx x z 解得解得 1 1 yx 1 1 1 f 当当 x 0 时时 yyz 2 3 0 解得解得 6 3 0 f为最大为最大 4 1 2 1 0 f为最小为最小 当当 y 0 时时 xxz 2 3 0 解得解得 6 0 3 f为最大为最大 QQ776597299 8 4 1 0 2 1 f为最小为最小 当当3 yx时时 693 2 xxz 0 3 当当 2 3 x时时 z 有最小值有最小值 4 3 z 即即 4 3 2 1 2 1 f 当当0 x时时 z 有最大值有最大值6 z 即即6 3 0 f 当当3 x时时 z 有最大值有最大值6 z 即即6 0 3 f 综上所述综上所述 3 0 f 6 0 3 f为最大值为最大值 1 1 1 f为最小值为最小值 十八十八 在椭球面在椭球面1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 内作内接直角平行六面体内作内接直角平行六面体 求其最大体积求其最大体积 解解 设直角平行六面体在第一卦限的顶点为设直角平行六面体在第一卦限的顶点为 zyx 该题为该题为 1 8 2 2 2 2 2 2 c z b y a x xyzV在条件 下的最大住值下的最大住值 令令 xyzzyxF 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 解方程组解方程组 02 02 02 2 2 2 c z xy z F b y xz y F a x yz x F 解得解得 3 a x 3 b y 3 c z 当当0 0 0 czbyax任意一个成立时任意一个成立时 都有都有0 V 所以所以 当边长为当边长为 3 2 2 3 2 2 3 2 2 c z b y a x 有最大体积有最大体积 33 8abc V 十九十九 求原点到曲面求原点到曲面1 22 zyx的最短距离的最短距离 解解 设曲面上达到最短距离的点为设曲面上达到最短距离的点为 x y z 则则 QQ776597299 9 1 22 2222 zyx zyxd在条件 达到最小值达到最小值 令令 22222 zyxzyxzyxF 022 0 22 0 22 zz z F yxy y F yxx x F 0 0 0 zz yxy yxx 3 2 1 由由 3 若 若 1 代入代入 1 2 得得 0 0 yxy yxx 解得解得0 0 yx 代入曲面方程代入曲面方程1 22 zyx 得到得到 1 2 z 1 2 d 由由 3 若若1 由由 3 解得解得0 z 由由 1 2 得到得到yx 代入曲面方程代入曲面方程1 22 zyx 得到得到 4 1 2 x 4 1 2 y 2 1 2 d 2 2 d 所以所求的最短距离为所以所求的最短距离为 2 2 d 二十二十 当当0 0 0 zyx时时 求函数求函数zyxuln3ln2ln 在球面在球面 2222 6rzyx 上的最大值上的最大值 并证明对任意的成立不等式并证明对任意的成立不等式 6 32 6 108 cba cab 解解 构造函数构造函数 6 ln3ln2ln 2222 rzyxzyxzyxF QQ776597299 10 2222 6 02 3 02 2 02 1 rzyx z z F y y F x x F z y