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如果求解线性方程组 4迭代法 其中 1 2 建立迭代公式 3 可参照迭代法求非线性方程近似根的方法 先将 1 转化为等价方程组 1迭代法的一般形式及其收敛性 然后对某个初始向量 按迭代公式 3 得到一个向量序列其中 如果 即成立 则由 3 有即为 2 的解 也为 1 的解 这种求近似解的方法就是解线性方程组的一类基本的迭代方法 矩阵B称为迭代矩阵 如果迭代序列收敛 则称迭代法收敛 否则称迭代法发散 关于迭代公式 3 有如下结论 定理1 充分条件判别法 如果 则 1 方程组有唯一解 给定方程组 收敛于 且有 3 4 定理中条件较强 2 对任意初始向量 迭代公式 证明1 因为 根据p11定理1 5 可知 矩阵I B非奇异 其中I是单位矩阵 故方程组 的解存在且唯一 2 由迭代公式 减去 得 由此得 因为 所以由上式得 于是有 3 设m k 则有 4 设m k 则有 令m 由于 故由上式得 令m 由于 故由上式得 下面我们给出迭代法收敛的基本定理 定理2 充要条件判别法 给定方程组X BX f 则迭代公式 对任意初始向量 都收敛的充要条件为 其中 为B的矩阵范数中最小 例7用迭代法解线性方程组 解 将原方程组写成如下等价方程组 得迭代公式 它的迭代矩阵为 显然迭代公式收敛 取迭代初始向量得迭代序列 若交换原方程中两方程的次序 得迭代公式 它的迭代矩阵为 显然 趋向于方程组的准确解 取作为方程组得近似解 再写成如下等价方程组 事实上 仍取 由迭代公式 计算结果为 因为迭代公式发散 由这个例题可以看出 在线性方程组改写成同解方程组时 使 是应用迭代法解线性方程组的关键
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