高等数学(同济六版)第一章答案.pdf

第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 一 填空题 1 函数 2 1ln 2 yxx 的定义域为 1 2 1 2 设函数 2 1 f xx x 则 1 f x 2 32xx 提示 令1xt 则 22 1 1 f ttttt 2 1 32f ttt 3 设函数 f x的定义域为 0 则 1 e x f的定义域为 0 4 已 知 sinf xx 2 1fx x 则 x 2 arcsin 1 x 其 定 义 域 为 2 2 5 设 2 0 e 0 x xx f x x ln xx 则复合函数 fx 2 ln 1 01 xx xx 则 ff x 1 7 函数 2 1 10yxx 的反函数为 2 1 01 yxx f x的定义域为 B A 1 B 11 a 1 a C 1 1 aa D 1 1aa 3 函数 1 1 x y x 的反函数是 D 1 高等数学 1 标准化作业题参考答案 第一章 班级 姓名 学号 A 1 1 x y x B 1 1 x y x C 1 1 x y x D 1 1 x y x 4 设 f x为奇函数 x 为偶函数 且 f x 有意义 则 f x 为 B A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 以上均不正确 三 解答题 1 判断函数 2 ln1yxx 的奇偶性 并求其反函数 解 因为 22 2 1 ln 1 lnln 1 1 fxxxxxf xx x 所以 f x是奇函数 由 2 1eyxx 2 1e y xx 得 ee 2 yy x 所以反函数为 ee 2 xx y 2 收音机每台售价为 90 元 成本为 60 元 厂商为鼓励销售商大量采购 决定凡是订购 量超过 100 台以上的 每多订购 1 台 售价就降低 1 分 但最低价为 75 元 1 将每台的实际售价表示成订购量px的函数 2 将厂方所获得的利润L表示成订购量x的函数 3 某一厂商订购了 1000 台 厂方可获利润多少 解 1 90 0100 90 100 0 01 1001600 75 1600 x pxx x 2 2 30 0100 60 310 01 1001600 15 1600 xx Lpxxxx xx 及 总存在正整数 使得当时 0K NnN n yAK 总存在正整数 使得当时 NnN n yA 使得当时 nN n yA 使得当时 nN n yA 要使 1cos1cos2 0 nn nnn 0 取 2 N 则当时 就有n N 1cos 0 n n 则 0f x B 若 0 lim 0 xx f xA 则必存在0 使当 0 xx C 若 0 lim 0 xx f xA 则必存在0 使当 0 0 xx D 若在 0 x的某邻域内 f xg x 则 00 lim lim xxxx f xg x 4 极限 0 lim x x x D A 1 B 1 C 0 D 不存在 二 利用函数极限的定义证明 2 3 6 lim5 3 x xx x 证明 0 要使 2 6 53 3 xx x x 只需取 则当03x 时 就有 2 6 53 3 xx x x 成立 所以 2 3 6 lim5 3 x xx x 4 高等数学 1 标准化作业题参考答案 第一章 班级 姓名 学号 第四节 无穷小与无穷大 单项选择题 1 下列命题正确的是 C A 无穷小量的倒数是无穷大量 B 无穷小量是绝对值很小很小的数 C 无穷小量是以零为极限的变量 D 无界变量一定是无穷大量 2 下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是 C A 1 sin 0 x x B 1 e 0 x x C 2 ln 1 0 xx D 2 1 1 1 x x x 3 变量 11 sin xx D A 是时的无穷小 B 是时的无穷大 0 x 0 x C 有界但不是时的无穷小 D 无界但不是时的无穷大 0 x 0 x 提示 否 A C 当 1 2 2 n x n n时 0 n x n f x f x无界 非无穷小 否 B 当 1 2 n x n 时 n 0 n f x 4 设数列 n x与 n y满足 则下列命题正确的是lim0 nn n x y B A 若 n x发散 则 n y发散 B 若 1 n x 为无穷小 则 n y必为无穷小 C 若 n x无界 则 n y必有界 D 若 n x有界 则 n y必为无穷小 提示 已知 nn x y为无穷小 当 1 n x 为无穷小时 必有 1 nnn n yx y x 为无穷小 否 A 例 n xn 发散 2 1 n y n 收敛 否 C 例1 1 1 1 nn nn xnyn 均无界 否 D 例 2 1 n x n 有界 n yn 非无穷小 5 高等数学 1 标准化作业题参考答案 第一章 班级 姓名 学号 第五节 极限运算法则 一 填空题 1 2 0 1 lim 2 x x xx 1 2 2 1 21 lim 1 x x x 3 2 2 1 21 lim 1 x xx x 0 4 2 12 lim 3 n n n 1 2 5 若 2 3 2 lim4 3 x xxk x 则常数k 3 提示 由已知 得 2 3 lim 2 0 x xxk 3k 6 设 2 1 3 lim 11 x ax xx 2 则常数a 2 提示 由已知 2 2 2 11 3 lim lim 0 12 xx axx axx x 从而2a 7 e1 lim e1 n n n 1 提示 1 1 e1 e limlim1 1 e1 1 e n n n nn n 8 若 2 lim 522 x xaxbx 则a 25 b 20 提示 2 2 2 25 2 lim 52lim 52 xx a xbx xaxbx xaxbx 所以250a 即 25a 2 2 2 2 limlim2 102 5252 525 xx b bxb x b xxbx xx 所以20b 6 高等数学 1 标准化作业题参考答案 第一章 班级 姓名 学号 9 1 1 0 21 lim 21 x x x 1 1 1 0 21 lim 21 x x x 1 所以 1 1 0 21 lim 21 x x x 不存在 提示 11 0 0 lim 20 lim 2 xx x x 10 已知 2 2 1 sin 0 11 0 xx x f x x x x 则 0 lim x f x 0 二 计算题 1 22 0 lim h xhx h 解 1 222222 0000 22 limlimlimlim 2 2 hhhh xhxxxhhxxhh xhx hhh 2 2 3 1 lim 2sin x x x xx 解 因为 2 3 3 2 11 1 limlim0 1 1 xx x xx xx x 而2sin x 为有界函数 所以根据无穷小量与有 界函数的乘积仍为无穷小量 知 2 3 1 lim 2sin 0 x x x xx 3 32 2 2 32 lim 6 x xxx xx 解 32 2 222 32 1 2 1 limlimlim 6 3 2 3 xxx xxxx xxx x xxxxx 2 5 4 2 1 31 lim 1 x xx x 7 高等数学 1 标准化作业题参考答案 第一章 班级 姓名 学号 解 2 2 11 31 31 31 limlim 1 1 31 xx xxxxx xxxx x 1 22 lim 1 1 31 x x xxxx 1 22 lim 4 1 31 x xxx 5 22 lim x xxxx 解 22 lim x xxxx 2222 22 lim x xxxxxxxx xxxx 22 22 limlim 11 11 xx x xxxx xx 1 6 已知 2 2 2 lim2 2 x xaxb xx 求常数 a b 解 由题设知 2 2 lim 0 x xaxb 从而设 2 2 xaxbxxk 所以 2 2 222 2 2 limlimlim2 2 2 1 13 xxx xaxbxxkxkk xxxxx 4k 从而 所以 2 8ab 第六节 极限存在准则 两个重要极限 一 填空题 1 0 sin lim x x x 1 sin lim x x x 0 提示 0 sin lim1 x x x sin1 limlimsin0 xx x x xx 2 0 sin lim sin x xx xx 0 sin lim sin x xx xx 1 提示 00 sin 1 sin limlim0 sin sin 1 xx x xx x x xx x 1 1sin sin limlim1 1 sin 1sin xx x xx x xx x x 8 高等数学 1 标准化作业题参考答案 第一章 班级 姓名 学号 3 1 lim 1 kx x x e k 为正整数 k 提示 11 lim 1lim 1e kxxk k xx xx 4 1 0 lim 1 2 x x x 1 2 e 提示 1 12 2 1 2 00 lim 1lim1e 22 xx xx xx 二 计算题 1 3 0 tansin lim x xx x 解 32 00 tansinsin1 cos limlim cos xx xxxx xxx x 2 2 2 000 2sinsin sin11 22 limlimlim 22 2 xxx xx x x xx 2 0 11 lim sin x x x 解 0000 1111 limlimlimlim sinsinsin21111 xxxx xxx xxxxx 1 3 320 sintan lim 11 1 sin1 x xx xx 解 原式 2 22 000 2 sin1 sin cos1 cos2 lim6lim6lim3 11 cos sin 32 xxx x xx x x xxx xx 4 222 111 lim 12 n nnn n 解 22222 111 12 nn nnnnnnn 在处连续 则常数应满足的关系为0 x a bab 提示 2 0 0 lim 0 x fabxaf 0 sin 0 lim x bx fb x 2 设 sin 0 1 cos 1 0 ln 1 0 ax x x f xx bx x x 在处连续 则常数0 x a 2 2 b 1 提示 2 000 sin 0 limlimlim2 1 cos 2 2 xxx axaxax fa x x x 0 1f 00 ln 1 0 limlim xx bxbx fb xx 11 高等数学 1 标准化作业题参考答案 第一章 班级 姓名 学号 3 sin x f x x 的可去间断点为0 x 2 2 1 32 x f x xx 的无穷间断点为2x 4 若函数 e 1 x a f x x x 有无穷间断点及可去间断点0 x 1x 则常数a e 提示 由已知 1 e lim 1 x x a x x 存在 所以 1 lim e 0 x x a 从而ea 二 单项选择题 1 是0 x 1 sinf xx x 的 A A 可去间断点 B 跳跃间断点 C 无穷间断点 D 振荡间断点 提示 00 1 lim lim sin0 xx f xx x 2 函数 2 1 0 01 2 1 xx f xxx xx 2 在0 x 处的连续性 解 1 1 1 00 0 lim ln 1 0 0 0 lim ee x xx fxff 所以 f x在处不连 续 且是第一类跳跃型间断点 0 x 0 x 四 设 2 1 lim 1 n n x f x x 求 f x的间断点并指出类型 解 2 0 1 1 1 1 lim 1 11 0 1 n n x 1xx x f x xx x 只有1x 和1x 可能为间断点 因为 11 lim lim 00 1 xx f xf 11 lim lim 1 0 1 xx f xxf 所以不是间断点 1x 因为 11 lim lim 1 2 1 xx f xx f 11 lim lim00 1 xx f xf 所以1x 是间断点 而且是第一类跳跃型间断点 五 设 f x在内有定义 且 lim x f xa 1 0 0 0 fx g xx x 试讨论在处的连续性 g x0 x 解 00 1 1 lim limlim 令 xxt t x g xff ta x 0 0g 所以当时 在 处连续 当 0a g x 0 x 0a 时 在处间断 g x0 x 13 高等数学 1 标准化作业题参考答案 第一章 班级 姓名 学号 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 一 填空题 1 设 0 1 1 0 axx f x x x x 在 内连续 则常数 a 1 2 2 设 2 2 1 1 1 xbx x f x x ax 在 处连续 则常数 a 1 b 3 提示 由题意知 1 lim 1 x f xf a 则 2 1 2 lim 1 x xbx a x 2 1 lim 2 0 x xbx 则 进而3b 1a 3 2 1 1 limcos 1 x x x cos2 4 2 cot 2 0 lim 1tan x x x e 5 2 1 lim 1 x x x x 4 e 提示 4 1 1 2 2 4 12 limlim1e 11 x x x x xx x xx 6 已知lim8 2 x x xa xa 则常数a ln2 提示 3 3 2 2 3 3 limlim1e8 22 x a xx ax xa xa a xaa xaxa 3ln8 ln2aa 所以 7 2 0 3sin 1 cos lim 1 cos x xxx x 1 2 8 20 1tan1 sin lim 1 sin x xx xxx 1 2 提示 原式 02 tansin lim 1 sin11tan1 sin x xx xxx x 02 tan 1 cos lim 21 sin1 x xx xx 2 2 0 1 2 lim sin2 2 2 x x x x x 14 高等数学 1 标准化作业题参考答案 第一章 班级 姓名 学号 9 函数 2 1 23 f x xx 的连续区间是 1 1 3 3 二 单项选择题 1 设 ebx x f x a 在 内连续 且lim 0 x f x 则常数应满足 a b D A B C 0 0ab 0 0ab D 0 0ab 0a ebxa 无零点 又lim 0 x f x 所以 0b 2 设 f x在连续 2x 2 3f 则 2 2 14 lim 24 x f x xx D A B C 3 D 02 3 4 提示 22 222 14211 lim lim lim 2 24424 xxx x f xf xf xf xxxx 3 4 三 讨论 1 1 1 e x x f x 的连续性 若有间断点 指出其类型 解 f x为初等函数 故在其定义区间 0 0 1 1 内均连续 在其无定义点 0 1xx 间断 据 00 1 1 lim lim 1 e x xx x f x 0 x 知 为第二类无穷间断点 据 1111 11 11 lim lim0 lim lim1 1 e1 e xx xxxx xx f xf x 1 知x 为第一类跳跃间断点 第十节 闭区间上连续函数的性质 一 单项选择题 1 方程sin2xx 有实根的区间为 A A 3 2 B 0 6 C 6 4 D 4 2 提示 令 sin2f xx x 分别在各个对应的闭区间上验证零点定理是否成立即可 2 方程 1 2 3 1 2 4 1 3 4 xxxxxxxxx 15 高等数学 1 标准化作业题参考答案 第一章 班级 姓名 学号 2 3 4 xxx 0有 D 个实根 A B 1 C D 023 提示 令 1 2 3 1 2 4 1 3 4 f xxxxxxxxxx 2 3 4xxx 又 1 0 2 0 3 0 4 0ffff 则由零点定理知 方程在 分别至少存在一个根 又1 2 2 3 3 4 f x是三次多项式 则方程至多有三 个根 综上可知方程恰好有三个根 二 证明题 1 证明方程e2 x x 在区间内至少有一实根 0 2 证明 令 e2 x f xx 则f x在 0上连续 且 2 2 0 1 0 2 e4 0ff 根 据零点定理 至少存在一点 0 2 使 0f 所以方程 0f x 即e2 x x 在 区间内至少有一实根 0 2 2 设 f x在上连续 且 a b f aa f b 证明至少存在一点 a b 使 f 证明 令 则在 上连续 且 F xf xx F x a b 0F af aa 根据零点定理 至少存在一点 a b 使 0F 即 f 3 设 f x在 上连续 a lim 0 x f x 证明 f x在 a 上有界 证明 由lim 0 x f x 对10 Xa 当xX 时 有 01f xf x 1 f xMxa X 取 1 max 1 MM 则对 xa f xM 2 0 0 xx f x xx 则 gf x D A B 2 2 2 0 xx xx 00 0 2 2 2 xx xx C 2 2 2 0 xx xx 0 D 2 2 2 0 xx xx 0 3 下列各式中正确的是 D A 0 1 lim 1e x x x B 0 1 lim 1e x x x C 1 lim 1e x x x D 1 1 lim 1e x x x 4 设时 0 x tan e1 x 与是等价无穷小 则正整数 n xn A A 1 B 2 C 3 D 4 提示 由题意知 当时 0 x tan e1tan x xx 从而取1 n 5 曲线 2 2 1 e 1 e x x y D A 没有渐近线 B 仅有水平渐近线 C 仅有铅直渐近线 D 既有水平渐近线又有铅直渐近线 6 下列函数在给定区间上无界的是 C A 1 sin 0 1 xx x B 1 sin 0 xx x C 11 sin 0 1 x xx D 1 sin 0 xx x 三 计算题 每小题 7 分 共 49 分 1 2 2 2 lim 413 x xx x 解 2 222 2 1 2 413 1 413 9 limlimlim 4 2 42413 xxx xxxxxxx xx 18 高等数学 1 标准化作业题参考答案 第一章 班级 姓名 学号 2 2 1 ln 1 0 lim cos x x x 解 2 2 1 1 ln 1 ln 1 00 lim coslim 1 cos1 x x xx xx 2 2 2 0 0 1 cos1 1 2 lim lim ln 1 2 ee x x x x x x e 3 1 lim 123 nn n n 解 1 31233 3 312333 nnnnnnn n aaaxf x 求 2 1 limln12 n fff n n 解 22 ln1ln2ln1 limln12lim nn fff fff n nn