微分方程-微分方程应用模型举例.pdf

第九节 微分方程应用模型举例 第十二章第十二章 一 主要内容一 主要内容 二 典型例题二 典型例题 三 同步练习三 同步练习 四 同步练习解答四 同步练习解答 1 建模建模 常微分方程模型常微分方程模型 1 基本步骤基本步骤 2 求解求解 精确解或近似解精确解或近似解 或对解或对解 作定性分析作定性分析 研究解的性态研究解的性态 3 解的实际意义解的实际意义 解释与预测解释与预测 注注 数学模型数学模型 对实际问题的对实际问题的简化简化而而本质本质 的数学描述的数学描述 一 主要内容一 主要内容 一一 利用微分方程解决实际问题利用微分方程解决实际问题 的基本步骤与方法的基本步骤与方法 2 基本方法基本方法 建立常微分方程模型的建立常微分方程模型的主要方法主要方法 1 根据规律列方程根据规律列方程 2 微元分析法微元分析法 3 模拟近似法模拟近似法 物理物理 力学等力学等 生物生物 经济经济 医学等医学等 二二 几何应用几何应用 1 根据几何关系列方程根据几何关系列方程 2 确定定解条件确定定解条件 3 求通解求通解 并根据定解条件确定特解并根据定解条件确定特解 1 解微分方程解微分方程几何应用题几何应用题的方法和步骤 的方法和步骤 2 常见的几何公式常见的几何公式 1 平面曲线上一点的切线斜率 平面曲线上一点的切线斜率 x y y d d 2 平面曲线弧段平面曲线弧段 L的弧长 的弧长 d1 2 baxxfyLxys b a d 22 rrLrrs 3 平面曲线的曲率 平面曲线的曲率 4 平面图形的面积 平面图形的面积 x y O a b xfy b a xxfAd 2 3 1 2 y y K 3 立体的体积立体的体积 D yxyxfVdd yxfz x y O z D b a x xxfVd 2 x y O ab xfy vVd 绕绕x轴旋转一周而成的旋转体体积 轴旋转一周而成的旋转体体积 曲顶柱体的体积 曲顶柱体的体积 一般立体的体积 一般立体的体积 yxfz x y O z 三三 物理应用物理应用 1 解微分方程解微分方程物理应用题物理应用题的方法和步骤 的方法和步骤 1 根据物理定律及实验规律列方程根据物理定律及实验规律列方程 2 确定初始条件确定初始条件 3 求通解求通解 并根据初始条件确定特解并根据初始条件确定特解 2 常用的物理定律常用的物理定律 1 牛顿运动定律 牛顿运动定律 2 虎克定律 虎克定律 3 万有引力定律 万有引力定律 4 基尔霍夫电流及电压定律基尔霍夫电流及电压定律 三三 其他应用其他应用 1 00 0 0 1 x exff xxfy 和 满足条件函数 假设 和 满足条件函数 假设 二 典型例题二 典型例题 例例1 和分别相交与点 和 和分别相交与点 和与曲线与曲线 轴的动直线平行于 轴的动直线平行于 21 1 2 PP eyxfy MNy x 3 21 的表达式长度 求函数 的恒等于轴所围封闭图形的面积 与直线曲线 的表达式长度 求函数 的恒等于轴所围封闭图形的面积 与直线曲线 xfy PPx MNxfy xfy M N 2 P 1 P 1 x ey x y O x xxfS 0 d 点的坐标分别为点的坐标分别为 21 PP 1 xfxP 1 2 x exP 封闭图形的面积 由题设条件的方程为设动直线 封闭图形的面积 由题设条件的方程为设动直线 3 xxMN解解 1 2 x exP M N 1 x ey x y O 1 xfxP xfy 故由题设 有故由题设 有 1d 0 xfexxf x x 两两端求导 得端求导 得 xfexf x 1d 0 xfexxf x x 即即 x exfxf 它的通解为它的通解为 Cxeeexf xxx d dd Cxeee xxx d xx Cee 2 1 一阶非齐次 线性方程 一阶非齐次 线性方程 0 0 f由由 xx eexf 2 1 因此所求函数为因此所求函数为 2 1 C得得 xx Ceexf 2 1 例例2 轴与直线轴与直线曲曲线 上连续 若由 在设函数 线 上连续 若由 在设函数 xttxxxfy xf 1 1 1 1 3 2 ftfttV 9 2 2 的解件并求该微分方程满足条 所满足的微分方程 试求 的解件并求该微分方程满足条 所满足的微分方程 试求 x y xfy 旋转体体积为 轴旋转一周所成的所围成的平面图形绕 旋转体体积为 轴旋转一周所成的所围成的平面图形绕x x y O xfy 1t 解解公式有依题意及旋转体的体积 公式有依题意及旋转体的体积 t xxf tV 1 2 d 即即 1 d 3 2 1 2 ftftxxf t 求导 得求导 得两边对两边对t 2 3 22 tftttftf 将上式改写为将上式改写为xyyyx23 22 1 3 2 ftft x y u 令 令 即即 1 3 d d uu x u x 分离变量分离变量 x x uu ud 3 1 d x y x y x y 23 d d 2 为齐次方程为齐次方程 得 得两边同乘以两边同乘以 2 1 x uu x u xu23 d d 2 则有 则有 代入上式代入上式 将条件将条件 9 2 2 x y 得得1 C 从而所求解为从而所求解为 1 3 xyxxy 1 1 3 x x x y或或 代回有将代回有将 x y u yCxxy 3 即即 3 1 Cx u u 积分得积分得Cxuulnln3ln 1ln 例例3满足微分方程设函数满足微分方程设函数 xfy x xeyyy223 处的切线与曲线且其图形在点 处的切线与曲线且其图形在点 1 0 在该点的切线重合 在该点的切线重合 1 2 xxy xf求函数求函数 分析分析 件件 本题变相给出了初始条本题变相给出了初始条由于图形由于图形 1 0 1 0 yy可得出初始条件可得出初始条件 1 2 有公共点 有公共点 xxy及在该点与过点及在该点与过点 1 0 解解特征方程为特征方程为023 2 rr 特征方程为特征方程为023 2 rr 特征根为特征根为2 1 21 rr 解对应齐次线性方程的通 解对应齐次线性方程的通 xx eCeCY 2 21 故可设为特征根故可设为特征根由于由于 1 x Axey 代入原方程得求 代入原方程得求 yy 2 A 故原方程的通解为故原方程的通解为 xxx xeeCeCy2 2 21 1 1 0 2 有公共切线 处与 有公共切线 处与由由于曲线在点 于曲线在点 xxy 由由此得此得 1 21 CC 122 21 CC 解得解得0 1 21 CC 故所求曲线为故所求曲线为 21 x exy 1 0 1 0 yy故有故有 xxx xeeCeCy2 2 21 原方程通解 原方程通解 设木板的的速度穿出以设木板的的速度穿出以的木板后的木板后 垂直打入厚子弹一初速度垂直打入厚子弹一初速度 80 10 200 1 0 smv cmsmv 例例4 所需的时间 求子弹穿过木板成正比 所需的时间 求子弹穿过木板成正比 解解 阻力与子弹的速度平方阻力与子弹的速度平方 分析分析 律的本题是讨论物体运动规在物体律的本题是讨论物体运动规在物体注意注意 即木板的阻力即木板的阻力 由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得 2 2 2 d d kvF t s m 个力运动方向上子弹只受一 个力运动方向上子弹只受一 2 为特定的比例系数其中 为特定的比例系数其中kkv 200 0 00 tt vs其初始条件为其初始条件为 由导数的物理意义知由导数的物理意义知 2 2 d d d d t s t v 积分得积分得 2 d d kv t v m 分离变量分离变量t m k v v d d 2 代入方程得代入方程得 1 1 Ct m k v 即即 1 1 Ct m k v 200 0 t v代入初始条件代入初始条件 200 1 1 C得 对 得 对 两边积分得两边积分得 得代入 得代入0 0 t s 200ln 2 k m C 2 200 1 ln Ct m k k m s 2 200 1 1 d d t m k v t s 1 所需的时间所需的时间 为了求出子弹穿过木板为了求出子弹穿过木板 时刻为时刻为不妨设子弹穿出木板的不妨设子弹穿出木板的 0 t 80 10 smvvtt 时 时 由已知条件由已知条件 当 当 有故由式有故由式 1 200 1 1 80 0 t m k 3 10 1 10 mcm tt 路径为时子弹在木板中走过的当路径为时子弹在木板中走过的当另一方面另一方面 式有从而由式有从而由 2 200ln 200 1 ln 10 1 0 k m t m k k m 200ln 80 1 ln k m k m 80 200 ln k m 2 5 ln k m 所以所以 2 5 ln10 m k 得代入式得代入式 3 2 5 ln10 1 400 3 0 t 1200 1 s o x 钉子需多少时间钉子需多少时间 米 试问整个链条滑过米 试问整个链条滑过下下垂 米 另一边的一边下垂上 运动开始时 链条 一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在 垂 米 另一边的一边下垂上 运动开始时 链条 一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在 10 8 解解 米链条下滑了经过时间 设链条的线密度为 米链条下滑了经过时间 设链条的线密度为 xt 则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得 8 10 d d 18 2 2 gxgx t x 0 0 0 0 99 xx g x g x即即 例例5 m8 m10 8mx 10mx x gxf 10 1 gxf 8 2 0 0 0 0 99 xx g x g x 特征方程特征方程0 9 2 g r 特征根特征根 3 2 1 g r 通解为对应的齐次线性方程的 通解为对应的齐次线性方程的 tgtg eCeCtx 3 1 2 3 1 1 由观察可知 非齐次线性方程有特解由观察可知 非齐次线性方程有特解 x 1 非齐次线性方程的通解为非齐次线性方程的通解为 8 x即整个链条滑过钉子即整个链条滑过钉子 代入上式得代入上式得 809ln 3 秒 秒 g t 1 3 1 2 3 1 1 t gt g eCeCtx 得 得由由0 0 0 0 xx 2 1 21 CC 1 2 1 3 1 3 1 tgt g eetx 例例6 解解 体积的四分之一 问其余部分在多长时内 融化完 体积的四分之一 问其余部分在多长时内 融化完 假定一个雪球是半径为假定一个雪球是半径为r 的球 其融化时体积的变化率与雪球的表的球 其融化时体积的变化率与雪球的表 雪球融化问题雪球融化问题 面积成正比面积成正比 比例常数为比例常数为 k 0 k 与空气 温度等有关 与空气 温度等有关 已知两小时内融化了其已知两小时内融化了其 由于雪球体积的变化率正比与其表面积由于雪球体积的变化率正比与其表面积 2 4 d d r k t V 代入上式 得将代入上式 得将 2 3 4 rV 2 4 d d r k t V 0 d d xxy 上任意一点过曲线上任意一点过曲线 1 0 0 xyyyxy 上述两直线轴的垂线作曲线的切线及上述两直线轴的垂线作曲线的切线及 xyxP 上以区间为轴所围的三角形面积记上以区间为轴所围的三角形面积记与与xSx 0 1 并设记为为曲边的曲边梯形面积并设记为为曲边的曲边梯形面积 2 Sxyy 12 21 的方程求此曲线恒为的方程求此曲线恒为xyySS 1 xyy S1 xx y O yxP S2 1 0 1 1 2 且在曲线上点且在曲线上点意一点处的曲率为意一点处的曲率为 其上任是一向上凸的连续曲线设 其上任是一向上凸的连续曲线设 y xyy 3 求该曲线的方程 处的切线方程为求该曲线的方程 处的切线方程为 1 xy 的极值并求函数的极值并求函数xyy 目标的跟踪目标的跟踪 设位于坐标原点的设位于坐标原点的甲甲舰向位于舰向位于x 轴上点轴上点A 1 0 处的处的乙乙舰发射制导导弹 导弹舰发射制导导弹 导弹 4 5 0 vy速度为轴的直线航行 导弹的沿平行于数速度为轴的直线航行 导弹的沿平行于数 求导弹运行的曲线方程又问求导弹运行的曲线方程又问乙乙舰行驶多远时舰行驶多远时 头始终指向头始终指向乙乙舰 如果舰 如果乙乙舰以最大速度舰以最大速度v0 v0是常是常 它将被导弹击中它将被导弹击中 设弹簧上端固定设弹簧上端固定 有两个相同的重物有两个相同的重物 质量为质量为 m 挂于弹簧下端挂于弹簧下端 使弹簧伸长使弹簧伸长2a 今突然取走了一 个重物 使弹簧由静止开始振动 求所挂重物的 运动规律 今突然取走了一 个重物 使弹簧由静止开始振动 求所挂重物的 运动规律 5 6 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微 粒子而变成其他元素 铀的含量就不断减少 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微 粒子而变成其他元素 铀的含量就不断减少 这种现象叫做衰变这种现象叫做衰变 由原子物理学知道 见到的 衰变速度与当时未衰变的原子的含量 由原子物理学知道 见到的 衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比成正比 已知已知t 0 时铀的含量为时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀 含量 求在衰变过程中铀 含量M t 随时间随时间t 变化的规律变化的规律 盐溶液的浓度盐溶液的浓度一容器内盛有一容器内盛有100L盐水盐水 其中 含盐 其中 含盐10kg 今用每分钟今用每分钟2L的速度把净水注入容器的速度把净水注入容器 假定净水与盐水立即调和假定净水与盐水立即调和 又以同样速度使盐水 流出 又以同样速度使盐水 流出 试求容器内盐量随时间变化的规律试求容器内盐量随时间变化的规律 7 四 同步练习解答四 同步练习解答 1 0 2 0 上一定点为上任意一点上一定点为上任意一点为为 的极坐标方程为设曲线的极坐标方程为设曲线 LML rMrrL 所围成的曲边扇形与曲线若极径所围成的曲边扇形与曲线若极径LOMOM 0 解解 面面积可用定积分 所围成的曲边扇形与 积可用定积分 所围成的曲边扇形与由由极径极径LOMOM 10 rr d 2 1 0 2 表示表示 两点间弧长上两点间弧长上而而曲线曲线MML 0 两点间弧长值的一半 上两点间弧长值的一半 上面面积值等于积值等于MML 0 的方程求曲线的方程求曲线 L 故有故有 rr r d 2 1 d 2 1 0 22 0 2 得求导 得求导两两边对边对 222 rrr 1 2 rrr即即 分离变量分离变量 rr r d 1 d 2 rr d 0 22 MM ss 0 d 两边积分两边积分 2 2 1 1 1 d 1 d r r rr r r 1 arcsin C 得代入上式将条件得代入上式将条件 2 0 r 6 C 的方程为故所求曲线的方程为故所求曲线L r 1 6 sin m 即即 6 csc m r 2 二阶可导 且设函数二阶可导 且设函数 0 xxy 上任意一点过曲线上任意一点过曲线 1 0 0 xyyyxy 上述两直线轴的垂线作曲线的切线及上述两直线轴的垂线作曲线的切线及 xyxP 上以区间为轴所围的三角形面积记上以区间为轴所围的三角形面积记与与xSx 0 1 并设记为为曲边的曲边梯形面积并设记为为曲边的曲边梯形面积 2 Sxyy 12 21 的方程求此曲线恒为的方程求此曲线恒为xyySS 1 xyy S1 xx y O yxP S2 解解处的切线方程为在点处的切线方程为在点曲线曲线 yxPxyy xXxyyY 0 xy y xx 轴的交点为 轴的交点为它与它与 1 xyy S1 xx y O yxP S2 1 0 0 yxy由于由于 时时 即当即当0 x 为单调增加函数 为单调增加函数 xy 于是从而于是从而 0 xy 2 1 1 xy y xxyS y y 2 2 y y S 2 2 1 又曲边梯形的面积又曲边梯形的面积 x ttyS 0 2 d 知知由条件由条件12 21 SS 1d 0 2 x tty y y 得 得由由1 0 y 1 0 y 1d 0 2 x tty y y 上式两边对上式两边对x求导 得求导 得 0 2 2 22 y y yyyy 整理 得整理 得 2 yyy 型型属于属于 yyfy 则令 则令 y p pyypy d d 代入上述方程代入上述方程 2 d d p y p yp p y p y d d 0 pyQ p y p y d d 分离变量 积分得分离变量 积分得 1 lnlnlnCyp yCp 1 即即 y 分离变量 积分得分离变量 积分得 得 得由由1 0 1 0 yy 1 1 C yy 于是于是 2 lnCxy 得得由由 1 0 y 0 2 C x exy 且在曲线为其上任意一点处的曲率 是一向上凸的连续曲线设 且在曲线为其上任意一点处的曲率 是一向上凸的连续曲线设 1 1 2 y xyy 3 求该曲线的处的切线方程为上点求该曲线的处的切线方程为上点 1 1 0 xy 解解 1 2 y y K 有曲率的定义知曲率 由体设得 有曲率的定义知曲率 由体设得因曲线是上凸的因曲线是上凸的 所以 所以 0 y 232 1 1 1 yy y 的极值方程 并求函数的极值方程 并求函数xyy 1 1 2 y y 则则 pypy 令 令 1 2 pp 分离变量得分离变量得 x p p d 1 d 2 积分得积分得xCp 1 arctan 1 1 0 xyxyy处的切线方成为在处的切线方成为在因为因为 1 00 xx py所以所以 2 1yy 即即 从而上方程化为从而上方程化为 代入上式得代入上式得 4 1 C 故故 xp 4 arctan 所以所以 4 tan xpy 积分得积分得 2 4 cos lnCxy 1 0 因因为曲线过点 代入上式得 为曲线过点 代入上式得2ln 2 1 1 2 C 1 0 x y所以所以 故所求曲线方程为故所求曲线方程为 的极值的极值下下面求面求xyy 1 4 cos x 因因为为 4 时所以当时所以当 x 1 4 cos 4 xx 时且当时且当 2ln 2 1 1 y函函数取得极大值数取得极大值 回回顾求解过程 顾求解过程 01 4 这种现象叫做衰变 这种现象叫做衰变 由原子物理学知道 见到 的