中科大史济怀数学分析课件 181-185.pdf

315 第 18 章 曲面积分 第 18 章 曲面积分 本章讲述第一型曲面积分 相当于二重积分的直接推广 第二型 曲面积分 数学和物理上的用途甚多 第二型曲面积分与三重积分的 关系 Gauss 公式 相当于三维 Newton Leibniz 公式 和第二型曲线 积分与第二型曲面积分的关系 Stokes 公式 是推广的 Green 公式 相当于二维推广的 Newton Leibniz 公式 18 1 光滑 参数 曲面的面积 18 1 光滑 参数 曲面的面积 关于曲面面积的注记 关于曲面面积的注记 曲线的长度能用内接折线长度的上确界来定 义 但曲面的面积不能用内接三角形折面面积的上确界来定义 因为 这将导致许多明显具有面积的曲面在此定义下没有面积 例如 圆柱 侧面便在此定义下没有面积 另一方面 任何曲面在局部上都能用参 数表示 而数学上只有在光滑 参数 曲面的情形才有有效的处理手段 故只需定义光滑 参数 曲面的面积即可 关于光滑 参数 曲面的注记 关于光滑 参数 曲面的注记 设 S u v u v D 是 3 中的光滑 参 数 曲面 若 是从区域 2 到D上的正则映射 并且处处成立 det0J 则称光滑 参数 曲面 S 与光滑 参数 曲面 S u v u v D 是同一块光滑 参数 曲面 或称光滑 参数 曲 面S 是光滑 参数 曲面S的另一参数表示 若处处成立det0J 则称光滑 参数 曲面S 是光滑 参数 曲面S的反向曲面 定义 18 1定义 18 1 设 2 D 是有面积的有界闭区域 S u v u v D 是 3 中的光滑 参数 曲面 则定义 S D 的面积为 2 SS uv DD dudvEGF dudv 其中 22 SSSS uvuv EGF 定义 18 1 的合理性的证明 定义 18 1 的合理性的证明 如下图所示 316 小曲边四边形 i S I的面积 相应的平行四边形的面积 iiiiiuvuv uvI 于是 S D 的面积为 0 1 lim k iiiuv i I SS uv D dudv 注记 18 注记 18 1 光滑 参数 曲面的面积与其参数表示和方向无关 证 证 设 2 D 是有面积的有界闭区域 S u v u v D 是 3 中的光 滑 参数 曲面 是从有界闭区域 2 到D上的正则映射 则光滑 参数 曲面 S 的面积为 1212 SSSS uvuv d d det SS uv Jd d SS uv D dudv 例 1例 1 求以R为半径的球面的面积 解 解 利用球坐标 则该球面的面积元素是 2 sinRd d 故所求面积是 2 22 00 sin4RddR 例 2例 2 求以R为半径 高度为h的圆柱面的侧面积 解 解 利用柱坐标 则该圆柱面的面积元素是Rd dz 故所求面积是 2 00 2 h RddzRh 练习题 18 1 练习题 18 1 285 P 1 2 4 5 7 317 18 2 第一型曲面积分 18 2 第一型曲面积分 定义 18 2 定义 18 2 设 2 D 是有面积的有界闭区域 S u v u v D 是 3 中的光滑 参数 曲面 f 是 S D 上的函数 1 i Dik 是D 的分割 若不论 如何分法 ii D 如何取法 总存在有限极限 0 1 lim k ii i f SS D 则称该极限为函数 f 在曲面 S D 上的第一型曲面积分 或对面积 的曲面积分 记成 f x y z d 其物理意义是 具有非均匀面密度 的曲面的质量 注记 18 注记 18 2 第一型曲面积分与曲面的参数表示和方向无关 命题 命题 设 2 D 是有面积的有界闭区域 S u v u v D 是 3 中的 光滑 参数 曲面 f 是 S D 上的连续函数 则 SS uv D f x y z df S u vdudv 2 D f S u vEGF dudv 证 证 由积分中值定理 存在 ii D 使得 i SS iuv D S Ddudv SS iiiuv D 故 0 1 lim k ii i f SS D 0 1 lim k SS iiiiuv i f SD SS uv D f S u vdudv 再由 f 的一致连续性 便知对于任取的 ii D 同样成立 0 1 lim k ii i f SS D SS uv D f S u vdudv 318 例 1例 1 求 2222 22 0 xyza x y z xyd 解 解 原式 2222 224 222 0 224 3383 xyza x y z aaa xyzd 例 2例 2 潜水艇潜入水中 求水对其表面 的总压力F 数量 解 解 建立直角坐标系 使得xy平面位于水平面上 z轴指向水下 如图 所示 阴影小曲面所受压力约为zd 故 zd Fzd 的质心深度 练习题 18 2 练习题 18 2 289 P 1 1 2 问 题 18 2 问 题 18 2 289 P 1 3 319 18 3 双侧曲面和第二型曲面积分 18 3 双侧曲面和第二型曲面积分 双侧曲面的直观解释 双侧曲面的直观解释 设 是 3 中的曲面 不透明 在a 处有两 只蚂蚁彼此看不见对方 若这两只蚂蚁能通过在 上爬行后而彼此相 见 则称 是单侧曲面 或不可定向曲面 否则 便称 是双侧曲面 或可定向曲面 例如 显曲面 zf x y 隐曲面 0F x y z 和 参 数 曲面 S u v u v D 都是双侧曲面 定向曲面定向曲面 设 是 3 中的双侧曲面 指定一侧作为 的正侧后 便称 为定向曲面 例如 显曲面 zf x y 隐曲面 0F x y z 和 参数 曲面 S u v u v D 都是定向曲面 其正侧按自然方式确定 定向曲面的诱导边界 定向曲面的诱导边界 设 是 3 中的定向曲面 由有限条光滑 的简单曲线所组成 则规定 的诱导边界 为这有限条光滑的简单 曲线 并按下述方式确定其正向 当直立在 正侧的旅行者沿这有 限条光滑的简单曲线的正向行走时 其左手总是指向 的内部 注记注记 作为点集 其边界 作为定向曲面 其诱导边界 例 1 例 1 M o bius 带是单侧曲面 例 2 例 2 轮胎表面是双侧曲面 规定外侧为正侧后 它成为定向曲面 其 诱导边界是空集 例3 例3 正方体的表面是双侧曲面 规定外侧为正侧后 它成为定向曲面 其诱导边界是空集 例 4 例 4 一段圆柱面是双侧曲面 规定外侧为正侧后 它成为定向曲面 其诱导边界是两个圆周 其方向如下图所示 320 有向面积的分量有向面积的分量 设 是 3 中有面积的定向平面块 其单位法向量 是 cos cos cos n 将 投影到 yz zx xy平面后分别得到定向 平面块 123 其面积分别是 123 带正负号 此时 有等式 123 n 即有向面积 n 的三个分量 恰为它在 yz zx xy平面的投影面积 证 证 如下图所示 显然有 3 cos 有向面积元素的分量有向面积元素的分量 设 S u vx u vy u v z u v u v D 是 3 中的定向光滑 参数 曲面 cos cos cos n 是其单位法向 量场 若记 det yy uv zz uv dy dzdudv det zz uv xx uv dz dxdudv det xx uv yy uv dx dydudv 则该定向光滑 参数 曲面的有向面积元素为 cos cos cos ndddd dy dz dz dx dx dy 证 证 123 det y SSxz uvuuu y xz vvv eee dy dz dz dx dx dynddudvdudv 第二型曲面积分的物理背景第二型曲面积分的物理背景 设 是 3 中的定向光滑曲面 F x y z P x y z Q x y z R x y z 是流体在 上的速度场 n x y z 是 的 321 单位法向量场 问如何计算流体通过 的流量 解 解 如图所示 设 1 i ik 是 的分割 1 max i i k diam 任取 ii 则流 体通过 i 的流量 cos iii F iii Fn 故流体通过 的流量为 0 1 lim k iii i FnF x y zn x y z d 定义 定义 设 2 D 是有面积的有界闭区域 S u vx u vy u v z u v u v D 是 3 中的光滑 参数 曲面 FP Q R 是 S D 上的 向量场 cos cos cos n 是 的单位法向量场 1 i Dik 是D的分割 1 max i i k diam D 若不论 如何分法 ii D 如何取法 总存在有限极限 0 1 lim k iii i F Sn SS D 则称该极限为 FP Q R 在定向曲面 上的第二型曲面积分 或通 过定向曲面 的通量 记成 F nd 或 coscoscos PQRd 或 Pdy dz Qdz dx Rdx dy 其物理意义是 非匀速流体通过定向曲面的流量 注记注记 第二型曲面积分与定向曲面的参数表示无关 但与方向有关 322 即F ndF nd 命题命题 设 2 D 是有面积的有界闭区域 S u vx u vy u v z u v u v D 是 3 中的光滑 参数 曲面 FP Q R 是 S D 上的 连续向量场 cos cos cos n 是 的单位法向量场 则 coscoscos F ndPQRd Pdy dzQdz dxRdx dy det PS QS RS y SSxz uvuuu DD y xz vvv FSdudvdudv 证 证 由第一型曲面积分的已知结论 例 5例 5 设 是平面 0 0 0 xa xyb yzc z 围成的长方体表面 外侧是正侧 求向量场 22 Fxzyz 在 上的第二型曲面积分 解 解 将组成 的六个定向长方形分别记为 126 它们分别位于平面 0 0 0 xa xyb yzc z 上 于是 12 2 a bc 34 22 0000 0 acac z dz dxz dz dx 2 56 2 0000 0 abab ab c cydy dxydy dx 故 2 b F ndabc a 323 例 6 例 6 求 xdy dzydz dxzdx dy 其中 3 0 x y zx y z 1 xyz 法向量是 1 1 1 解 解 原式 1 1 1 31111 22 3333 x y zdd 例7 例7 求 222 x dy dzy dz dxz dx dy 其中 是以 a b c为中心 以R为半径的球面 外侧是正侧 解 解 原式 222 x a y b z c R xaaybbzccd 222 1 0 R R B x xay ybz zcd 333222222 1 0 222 R R B xyzaxbycza xb yc z d 2222 222 2 3 0 0 RR a b c RR BB axbyczdxyzd 3 8 3 a b c R 练习题 18 3 练习题 18 3 297 P 1 1 4 5 2 3 324 18 4 Gauss 公式和 Stokes 公式 18 4 Gauss 公式和 Stokes 公式 空间区域的诱导边界 空间区域的诱导边界 设 3 V 是有界闭区域 其边界由有限块光滑 的双侧曲面所组成 则规定V的诱导边界V 为这些光滑的双侧曲面 所确定的有限块定向曲面 并按下述方式确定其正侧 正侧的单位 法向量场总是指向V的外部 举球和球环的例子 定理 18 1 Gauss 公式 相当于三元函数的 Newton Leibniz 公式 定理 18 1 Gauss 公式 相当于三元函数的 Newton Leibniz 公式 设 3 V 是有界闭区域 其边界由有限块光滑的双侧曲面所组成 V 是其诱导边界 FP Q R 是V上的 1 C 也称连续可微 向量场 则 Q PR xyz VV Pdy dzQdz dxRdx dydxdydz 证 证 只需证明 R z VV dxdydzRdx dy 即可 将V分割成有限个小 闭区域 1 i Vik 其中每个 i V如下图所示 因为在正反侧上同时进行第二型曲面积分具有相互抵消作用 故 只需证 ii R z VV dxdydzRdx dy 即可 i x y RR zz VDx y dxdydzdz dxdy D R x yx yR x yx ydxdy 312i V Rdx dyRdx dyRdx dyRdx dy 123 1 0 0 1 0 0 det x y D e e e R x yx ydxdy 325 123 0 0 det1 0 0 1 x y D e e e R x yx ydxdy 2 0 0 cos cos 0 Rd DD R x yx y dxdyR x yx y dxdy 推论 推论 设V与定理 18 1 相同 则 1 3 V Vxdy dz ydz dx zdx dy 例 1例 1 设 是平面 0 0 0 xa xyb yzc z 围成的长方体表面 外侧是正侧 求向量场 22 Fxzyz 在 上的第二型曲面积分 解 解 解 解 22 x dy dzz dz dxyzdx dy 2 V xy dxdydz 000000 2 cbacab xdx dy dzydy dx dz 22 1 22 b a bcab cabc a 例 2 例 2 求 333 x dy dzy dz dxz dx dy 其中 是以原点为中心 以a为半径的上半球面的外侧 326 解 解 3 222 3 VV xyzdxdydz Gauss 公式 2 5 2 4 000 6 3sin 5 a a r drdd 因为 333 3333 0 0 1 0 xy zdz d 故 5 333 6 5 a x dy dzy dz dxz dx dy 例 3例 3 设一个物体漂浮在水面上 求该物体所受水的浮力F 向量 解 解 以水平面为xy平面建立直角坐标系 设物体浸入水下的部分是V 浸入水下的表面是 法向量指向物体的外部 如图所示 阴影小曲面所受水的浮力约为 z dn x y zzdy dz zdz dx zdx dy 故 Fzdy dzzdz dxzdx dy VVV zdy dzzdz dxzdx dy 0 0 V dxdydz Gauss 公式 0 0 V 这说明 物体所受水的浮力垂直向上 大小是所排开的水的体积 Archimedes 浮体定律 327 例 4例 4 设 3 中有一电量为q的点电荷 是任意包含该点电荷的定向 光滑紧曲面 外侧是正侧 求该点电荷所确定的静电场通过 的电通 量I 解 解 取点电荷为原点 则电场强度 3 222 2 x y z xyz E x y zq 如图所示 0 BV E ndE ndE nd 333 222222222 222 xdy dzydz dxzdx dy V xyzxyzxyz q 00 V qdxdydz Gauss 公式 故 3 0 0 x y zx y z BB IE ndE ndqd 2 0 4 q B dq 定理 18 2 Stokes 公式 推广的定理 18 2 Stokes 公式 推广的 Green 公式 公式 设 是 3 中的定向 光滑曲面 由有限条光滑的简单曲线所组成 是其诱导边界 若 FP Q R 是 的邻域上的 1 C 也称连续可微 向量场 则 QQ RPRP yzzxxy PdxQdyRdzdy dzdz dxdx dy det xyz dy dz dz dx dx dy PQR 证 证 将 分割成有限个小定向曲面 与 的定向一致 由于第二型曲 线积分的往复抵消作用 只需证明 Stokes 公式对每个小定向曲面成 立即可 故不妨设 是如下图所示的显式曲面 328 若 x ty tt 是D 的参数表示 则 x ty tf x ty t t 是 的参数表示 故 PdxP x ty tf x ty tx t dt D P x y f x y dx Green 公式 f PP yzy D x y f x yx y f x yx y dxdy 另一方面 PP zy dz dxdx dy 123 0 det 1 0 0 1 f PP zyx D f y e e e dxdy f PP zyy D x y f x yx yx y f x ydxdy 这说明 PP zy Pdxdz dxdx dy 同理 有 QQ xz Qdydx dydy dz RR yx Rdzdy dzdz dx 两边加起来 再合并同类项 就得到 Stokes 公式 练习题 18 4 练习题 18 4 304 P 1 2 3 4 2 3 4 1 3 5 329 18 5 微分形式和 外 微分运算 18 5 微分形式和 外 微分运算 微分形式 微分形式 设 3 V 是非空点集 若 u P Q R是V的邻域上的 k C函数 则分别称 u PdxQdyRdz Pdy dzQdz dxRdx dy 和udx dy dz 是V上的 0 次 1 次 2 次和 3 次 k C微分形式 称u是V上的 k C数量场 P Q R是V上的 k C向量场 微分形式与数量场或向量场本质上是相 同的 微分形式的概念能推广到n维 Euclid 空间 微分形式的运算 微分形式的运算 规定0 0 0 dx dxdy dydz dzdz dydy dz dx dzdz dx dy dxdx dy 后 便能定义两个微分形式的 外 积积 用自然的方式能定义两个同次微分形式的和和 外 积的规律 外 积的规律 设 0 u 1 1 2 3 iiii PdxQdyRdz i 1 PdxQdyRdz 2 1 2 3 iiii f dy dzg dz dxhdx dy i 2 fdy dzgdz dxhdx dy 3 vdx dy dz 则有 1 0 1 uPdxuQdyuRdz 0 2 ufdy dzugdz dxuhdx dy 0 3 uvdx dy dz 类似于数乘 2 1 2 PfQgRh dx dy dz 类似于内积 并能推广到n维 Euclid 空间 3 121212121212 1 1 12 Q RRQ dy dzR P PR dz dxPQQ P dx dy 111 222 det dy dz dz dx dx dy PQR PQR 类似于外积 4 111 1 1 1 123222 333 det P Q R P Q Rdx dy dz P Q R 类似于混合积或行列式 并能推广到n维 Euclid 空间 330 5 1 1 0 2 2 12 0 1 3 0 2 3 0 例 1 例 1 对于n阶方阵 A B 成立det det det ABAB 证 证 记 1111 nnnn dx BA dx 由行列式的定义 成立 11 det nn Bdxdx 11 det nn A 11 det nn AB dxdx 比较后 便得到det det det ABAB 对微分形式的 外 微分 外 微分算子对微分形式的 外 微分 外 微分算子d 规定 1 uuu xyz dudxdydz 2 d PdxQdyRdzdP dxdQ dydR dz QQ RPRP yzzxxy dy dzdz dxdx dy det xyz dy dz dz dx dx dy PQR 3 d Pdy dzQdz dxRdx dy dP dy dzdQ dz dxdR dx dy Q P