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结构力学讲稿 第七章 力法第七章 力法7-1 超静定结构概述1. 超静定结构基本特性(1) 几何构造特性：几何不变有多余约束体系(2) 静力解答的不唯一性：满足静力平衡条件的解答有无穷多组(3) 产生内力的原因：除荷载外，还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，均可产生内力。2. 超静定结构类型图7.13. 求解原理(1) 平衡条件：解答一定是满足平衡条件的，平衡条件是必要条件但不是充分条件。(2) 几何条件：或变形协调条件或约束条件等，指解答必须满足结构的约束条件与位移连续性条件等。(3) 物理条件：求解过程中还需要用到荷载与位移之间的物理关系。4. 基本方法力法：以多余约束力作为求解的基本未知量位移法：以未知结点位移作为求解的基本未知量7-2 超静定次数的确定超静定次数：多余约束的个数，也就是力法中基本未知量的个数。确定方法：超静定结构静定结构，即可确定超静定次数即力法基本未知量的个数。强调，（1）去掉的一定是多余约束，不能去掉必要约束（2）结果一定是得到一个静定结构，也称力法基本结构。图7.2图7.3图7.4图7.5图7.67-3 力法基本概念 下面用力法对一单跨超静定梁进行求解，以说明力法基本概念，对力法有一个初步了解。图7.7(1) 一次超静定，去掉支座B，得到力法基本未知量与基本结构；(2) 要使基本结构与原结构等价，则要求，荷载与X1共同作用下，D1=0(3) 由叠加原理，有，力法典型方程，即多余约束处的位移约束条件。(4) 柔度系数d11与自由项D1P均为力法基本结构上(静定结构)的位移，由图乘法，得, , (5) X1已知，可作出原结构M图，如图示。7-4 力法典型方程由上节知，力法典型方程就是多余约束处的位移方程。下面讨论一般情况下力法方程的形式。图7.8 3次超静定，去掉一个固定支座，得到力法基本结构。当D1=0，D2=0，D3=0时，原结构与基本结构等价。根据叠加原理，得到力法典型方程，如下，注意，一般为0，有不为0的情况 选取不同的力法基本结构，如下图示图7.9依叠加原理，得到力法方程如下，形式上完全相同，只是各符号的具体物理含义有所不同。依此类推，n次超静定结构，有n个多余约束力时，力法典型方程为, 为线性代数方程组，由位移互等定理，。物理含义：(1) 力法方程：多余约束处的位移方程，力法方程也叫柔度方程，力法也叫柔度法；(2) 柔度系数，j方向单位力引起的i方向的位移，主系数dii0，副系数。(3) 自由项，荷载单独作用在基本结构上，引起的i方向的位移。 柔度系数与自由项，都是静定结构上的位移，可由上一章的位移计算方法把它们计算出来。7-5 力法计算步骤与示例例7-1 用力法求解图示刚架，并作M图。图7.10 力法基本未知量为X1、X2，基本结构如图示，列出力法方程作出、MP图，如图示。下面计算柔度系数与自由项, , , 力法方程成为(消去公因子l3/EI), 解出，, (与假设方向相反)计算最后杆端弯矩，如(上侧拉)，(左侧拉)作出最后的M图，如图示。结论：(1) 超静定结构荷载作用的内力分布，只与各杆刚度比值有关，与刚度绝对值无关；(2) 刚度大的杆件，内力一般也大；(3) 可采用不同的力法基本结构，但最后结果一定相同。图7.11力法计算步骤(1) 去掉多余约束，代之以约束反力作为力法基本未知量，得到一个静定结构作为力法的基本结构。(2) 列出力法典型方程(3) X1=1单独作用在基本结构上，作出图X2=1单独作用在基本结构上，作出图，依此类推荷载单独作用在基本结构上，作出MP图(4) 计算柔度系数与自由项主系数dii0，自乘；dij=dji，与图乘；自由项，DiP，与MP图乘。(5) 将柔度系数与自由项代入力法方程中，求解力法方程，解出多余约束力。(6) 由叠加原理，计算最后的杆端弯矩。(7) 作出M图。例7-2 用力法求解两端固定超静定梁。图7.123次超静定，未知量X1、X2、X3，力法方程为, , , , 则力法第3个方程成为，得，X3=0. 力法的前两个方程成为，, , , , 可解出，, 结论：无论是静定梁还是超静定梁，横向荷载作用下，水平反力为0，这是梁受力的特点。例7-3 用力法求解超静定桁架，已知各杆EA=C。图7.13 利用对称性，取对称的基本结构，未知量X1，力法方程，求d11时，不要忘记，切开的杆件上轴力为+1，(拉力)按叠加法求出最后轴力值，。例7-4 用力法求解加劲梁(组合结构)，已知，横梁I=110-4 m4, 链杆A=110-3m2，E=C。利用对称性。切开竖向链杆，未知量X1，力法方程为，。kN(压力)。最后，弯杆，链杆讨论：(1) 无链杆时，简支梁，Mmax=80kN.m。有链杆时，Mmax=15.4kN.m，最大弯矩降低了81%，称为加劲梁；(2) A0，加劲梁简支梁。A，Mmax，Mmin，当A=1.710-3m2时，Mmax=Mmin，最合理；(3) A，刚性支座，相当于两跨连续梁。图7.147-6 对称性的利用 对称结构，指结构的几何形状与支承条件完全对称，各杆的刚度也要对称。1. 选取对称的基本结构图7.15 选取对称的基本结构，在对称轴处切开，有 作出、MP图，正对称与反对称图形图乘结果为0，有，力法方程可分成正对称与反对称两组， 正对称荷载下，MP正对称，有，D3P=0，X3=0. 反对称荷载下，MP反对称，有，D1P=0，D2P=0，X1=0，X2=0.结论：(1) 对称结构，正对称荷载下，对称轴处切开，反对称的剪力为0，内力与位移分布均正对称；(2) 对称结构，反对称荷载下，对称轴处切开，正对称的弯矩与轴力为0，内力与位移分布均反对称。例7-5 对称刚架，反对称荷载，各杆EI=C，试用力法求解。图7.16(kN), 作出M图(反对称)。2. 对称结构，任意荷载=正对称荷载+反对称荷载图7.173. 取半边结构(1) 正对称荷载图7.18(2) 反对称荷载图7.19例7-6 试用力法求解圆环的内力，EI=C。图7.20 取1/4结构，有，.，设下侧拉为正，dS=Rdj。，作出圆环的弯矩图，见教材P148，图7-28例7-7 非对称荷载=正对称荷载+反对称荷载图7.217-7 超静定结构的位移计算上一章中所述位移计算原理与方法，同样适用于超静定结构。图7.22 注意，用力法求解超静定结构时，基本结构在荷载与多余约束力共同作用下，与原超静定结构完全等价。所以，单位力可以加在力法基本结构上。即求超静定结构的位移时，先把多余约束去掉，把超静定结构变成一个静定结构，然后把单位力加在静定结构上。注意，应选取恰当的基本结构。( )求超静定结构位移的方法：(1) 解超静定结构，作出M图；(2) 合理地选取一个基本结构来施加单位力；(3) 图乘法求出位移。7-8 最后内力图的校核 结构的内力图是进行结构设计的重要依据，要保证其正确，所以要进行内力图的校核。1. 平衡条件的校核 结构的整体与任何一个部分均应满足平衡条件，否则，内力图有误。一般校核结点是否满足平衡条件。2. 位移约束条件校核图7.23如校核固定支座处转角位移是否为0，不为0则内力图就不正确。, M图正确7-9 温度变化时超静定结构的计算对于超静定结构，温度变化会引起结构的附加内力，当然还有位移与变形。图7.24 X1、X2、X3与温度变化共同作用下，基本结构与原结构等价，有，D1=0, D2=0, D3=0。同理，有n个多余约束时，力法典型方程为(1) 柔度系数dii、dij=dji的计算，与外界因素无关，计算与前面完全相同。(2) 自由项的计算，Dit为温度变化引起的基本结构沿Xi方向的位移，解出多余约束力后，即可作出原结构的内力图。位移计算温度变化单独作用在基本结构上 + X1、X2、X3单独作用在基本结构上原结构(1) 温度变化单独作用在基本结构上，产生的位移为(单位力可加在基本结构上)(2) X1、X2、X3单独作用在基本结构上，产生的位移为M图与图图乘，即，。两部分叠加起来，得到温度变化时，超静定结构的位移计算公式为例7-8 作图示刚架M图，并求横梁中点K的竖向位移，已知，EI=C，材料结膨胀系数为a，横截面对称于形心轴，h=l/10。图7.25, , , , , 作出M图。 求DKy，单位力加在基本结构上，7-10 支座移动时超静定结构的计算超静定结构支座移动时，产生附加内力，当然还产生位移与变形。多余约束力 + 支座移动 作用在基本结构上 原结构, , 图7.26 力法典型方程为柔度系数与外界因素无关，计算与前面相同。自由项DiD为支座移动b单独作用在基本结构上，引起的沿Xi方向的位移，计算公式为如图示，有，, , 解出多余约束力X1、X2、X3，可作出M图。位移计算注意，多余约束力X1、X2、X3，与支座移动b共同作用下，与原结构等价第1项为多余约束力X1、X2、X3作用在基本结构上，产生的位移；第2项为基本结构上支座移动b产生的位移。例7-9 两端固定梁，A端转动角度j，试用力法求解。图7.27，因j与X1方向一致，故为正。, , 基本结构，无支座移动，故，D1D=0, D2D=0。解出，定义杆件的线刚度i为，则，这个结果，位移法中要经常用到。例7-10 两跨连续梁，中间支座为弹性支座，EI=C，试用力法求解，作出M图，并求D点竖向位移。图7.28选取基本结构(一)，有，计算较麻烦，主要是图乘运算时很麻烦，具体求解过程与结果见教材P157。对于连续梁结构，一般应选基本结构(二)，