南京航空航天大学《高等数学》12.4一阶线性微分方程.pdf

可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 举例举例 cxxdxy xxdxdyx 2 2 22 dx dy 1 积分两端对即 解 例回顾 积分两端对即 解 例回顾 积分含有未知函数 不好求 若两端积分 求解问题 积分含有未知函数 不好求 若两端积分 求解问题 dxxyy xy dx dy 2 2 2 2 一 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 量的微分方程 则原方程称为可分离变 能化成 或 若 量的微分方程 则原方程称为可分离变 能化成 或 若 2 1 0 1 dxxfdyyg dyyxNdxyxM yxfy 使方程变形为 解决 使方程变形为 解决 0 2 1 2 yxdxdy y 解 验证的确是原方程的通 两端积分 解 验证的确是原方程的通 两端积分 cx ycx y 2 2 11 2121 ygxfy dxyNxNdyyMxM 分变量方程 是不是可 分变量方程 是不是可 定义定义 2121 是不是可分变量方程是不是可分变量方程 ygxfy dxyNxNdyyMxM 思考 dx dy xy dx dy xy dx dy xdyyydxx yyxy yx 22 22 10 0tansectansec 0ln 得恒等式 的解 代入是若得恒等式 的解 代入是若 2 2 xyy 的通解 是验证 令 的通解 是验证 令 1 3 cdxxfdyygyxF 的解确定的隐函数就是反之 可验证由的解确定的隐函数就是反之 可验证由 1 3 的解满足 这说明方程 积分两端对 的解满足 这说明方程 积分两端对 32 3 0 ygcdxxfdyyg x dxxfdxxyxyg 的通解 故为含有任意常数由于 即 又 确定的隐函数设 的通解 故为含有任意常数由于 即 又 确定的隐函数设 1 0 0 0 cyxF dxxfdyyg yg yg xf F F dx dy xyyyxF y x 的通解确定的函数就是 两边求积分将 的通解确定的函数就是 两边求积分将 1 3 Cdxxfdyyg 解法解法 的特解满足求微分方程的特解满足求微分方程12 0 x yxy dx dy 0 2 yxdx y dy 方程分离变量后方程分离变量后 漏解是它的解显然满足方程漏解是它的解显然满足方程 0y 2 取任意常数取任意常数ccey x 22 1 可正可负可正可负cceeey xxc 2 11 2 1 2 ln xccx eeeycxy 二 举例二 举例 例例1 解解 的常数可正可负即可 只要记住最后就写成以后积分中 的常数可正可负即可 只要记住最后就写成以后积分中 lnln yy 注 0 22 dyyxydxxyx解微分方程解微分方程 例例2 0 22 dyyxydxxyx解微分方程解微分方程 0 1 1 22 dyxydxyx 原微分方程为 原微分方程为 dx x x dy y y 11 22 分离变量后 分离变量后 cxyln 1ln 1ln 22 0 1 1 22 cxcy 例例2 解解 0 0 tMMtM MMM t 的变化规律随 铀含量求已知成正比的含量 度与未衰变的原子放射性元素铀的衰变速 的变化规律随 铀含量求已知成正比的含量 度与未衰变的原子放射性元素铀的衰变速 这种现象称之 铀的含量就不断减少粒子而变成其它元素 有原子放射出微放射性元素由于不断地衰变 这种现象称之 铀的含量就不断减少粒子而变成其它元素 有原子放射出微放射性元素由于不断地衰变 dt dM v 初始条件 初始条件 2 0 0 MM t 1 kM dt dM 由题意 由题意 负号是由于称衰变常数 负号是由于称衰变常数 0 0 dt dM k 例例3 解解 积分得分离变量后方程积分得分离变量后方程 1 3 ln 1 tk ceMckM 即 即 0 3 2 Mc 得 中代入初始条件得 中代入初始条件 kt eMM 0 故故 dtk M dM 间的函数关系 求降落伞下落速度与时 成正比 离塔时速度为速度与力 所受空气阻设降落伞从跳伞塔下落 间的函数关系 求降落伞下落速度与时 成正比 离塔时速度为速度与力 所受空气阻设降落伞从跳伞塔下落 0 vR 比例系数阻力 降落伞受重力设下落速度为 比例系数阻力 降落伞受重力设下落速度为 kkv mgP tvv 0 0 t v kvmg dt dv m可分离变量 由牛顿第二定律 可分离变量 由牛顿第二定律 例例4 解解 通解 两端积分 分离变量 通解 两端积分 分离变量 ln 1 1 1 1 1 k e cce k mg v ekvmgc m t kvmg k dt mkvmg dv kc t m k kct M k k mg cv t 0 0 将初始条件将初始条件 1 t m k e k mg v 近似于匀速运动 以后逐渐先加速 近似于匀速运动 以后逐渐先加速 k mg v k mg vt 流尽所需要的时间 试求的小孔流出它底端的一个面积为 水从的半球形容器现有一盛满水而高为 流尽所需要的时间 试求的小孔流出它底端的一个面积为 水从的半球形容器现有一盛满水而高为 1 1 2 cm m 262 0 ghS dt dV Q Qcmh 为 的孔流出的流量为 水从距自由面深度根据水力学定律 为 的孔流出的流量为 水从距自由面深度根据水力学定律 的变化规律随离先求液面离孔中心的距 的变化规律随离先求液面离孔中心的距 thh th 流量系数流量系数 孔口截面面积孔口截面面积 例例5 解解 重力加速度重力加速度 cm100 h o r h dhh 1 262 0dtghdV 设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔 ttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 hh 2dh rdV 则则 200 100 100 222 hhhr 2 200 2 dhhhdV 比较比较 1 和和 2 得得 dhhh 200 2 262 0dtgh 1 S cm 2 微小增量分析法 之间的微分关系的方法与分析增量确定 介绍一种从律可遵循这里没有现成的物理规 微小增量分析法 之间的微分关系的方法与分析增量确定 介绍一种从律可遵循这里没有现成的物理规 th dhhh 200 2 262 0dtgh 即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程 可分离变量可分离变量 200 262 0 3 dhh