热力学_统计物理学答案第七章.pdf

第七章第七章第七章第七章 玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计 习题习题习题习题7 17 17 17 1 根据公式证明 对于非相对论粒子 l l l V aP 0 1 2 2 2 1 2 222 2 2 zyx nnn Lmm p s zyx nnn 有 上述结论对玻耳兹曼分布 玻色分布和费米分布都成立 V U p 3 2 证证证证 l l l V aP 2 2 1 222 2 zyx l l nnn LmV a 2 2 222 2 3 zyx l l nnn Lm L V a 其中 V a u ll V 3 L p 2 2 1 222 2 3 2 zyx l l nnn V mV a 对同一 l 222 zyx nnn m a l l 2 1 2 2 222 zyx nnn 3 2 3 5 V m a l l 2 1 2 222 2 2 L nnn zyx 3 2 3 5 3 2 VV V U 3 2 习题习题习题习题7 27 27 27 2 试根据公式证明 对于极端相对论粒子 l l l V aP 0 1 2 2 1 222 2 zyx nnn L ccp zyx nnn 有 上述结论对玻耳兹曼分布 玻色分布和费米分布都成立 V U p 3 1 证证证证 l l l V aP 课后答案网 对极端相对论粒子 2 1 222 2 zyx nnn L ccp 类似得 3 1 2 1 2 2 Vn V aP i l l V U VVa l ll 3 1 3 1 3 4 3 1 习题习题习题习题7 37 37 37 3 当选择不同的能量零点时 粒子第 个能级的能量可以取为 以l l l 或 表 示二者之差 试证明相应的配分函数存在以下关系 并 l l 11 ZeZ 讨论由 配分函数Z1和Z 1求得的热力学函数有何差别 证证证证 配分函数 l eZ l 1 11 1 ZeeeZ ll l 以内能 U 为例 对Z1 1 lnZNU 对Z1 UNeNZNU Z 1 lnln 1 习题习题习题习题7 47 47 47 4 试证明 对于遵从玻尔兹曼分布的系统 熵函数可以表示为 s PsPsNkSln 式中 Ps是总粒子处于量子态 s的概率 对粒子的所有量 1 Z e N e P ss s s 子态求和 证证证证法一 出现某状态几率为Ps s 设 S1 S2 Sk状态对应的能级 s 设 Sk 1 Sk 2 Sw状态对应的能级 s 类似 则出现某微观状态的几率可作如下计算 根据玻尔兹曼统计 N e P s S 显然NPs代表粒子处于某量子态 S 下的几率 于是 S eNPS 课后答案网 代表处于 S 状态下的粒子数 例如 对于能级 S e s K S S SS e 1 个粒子在上的 K 个微观状态的概率为 s k S SS s e SS PPSP 1 粒子数 类似写出 k S SS s e S PSP 1 等等 于是 N 个粒子出现某一微观状态的概率 S SS SPP k S SS s e S P 1 k S SS s e S P 1 一微观状态数 基于等概率原理 P 1 lnkS W S K SS S k S SS S e S e S PP kS 11 1 ln k KW K SS S S S S S S PePe 11 lnln 将带入 S eNPS S S S PPkNSln 习题习题习题习题7 57 57 57 5 固体含有 A B 两种原子 试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起 的混 合熵为 其中 N 是总原子数 xkS 1ln 1 ln 1 xxxxN xNN N x 是 A 原子的百分比 1 x 是 B 原子的百分比 注意 x 1 上式给出的熵为正值 证证证证 显然 1 21 xNNx N nn N S N k k 1ln 1 lnxxxx 1 1 ln xx xxNk 由于 1 故 原题得证 1 1 xx xx 0 S 习题习题习题习题7 67 67 67 6 晶体含有 N 个原子 原子在晶体中的正常位置如图中 O 所示 当原子 课后答案网 离开正 常位置而占据图中 位置时 晶体中就出现缺位和填隙原子 晶体这种缺陷 叫做弗伦克缺陷 1 假设正常位置和填隙位置数都是 N 试证明由于在晶体中形成 n 个缺位和 填隙原子而具有的熵等于 ln2 nNn N kS 2 设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u 试由自由能F nu Ts为极小 值证明 温度为T时 缺位和填隙原子数为n 设nN kT u Ne 2 证证证证 1 lnln nNn N nNn N kkS ln2 nNn N k 2 略 参见 ex7 7 习题习题习题习题7 77 77 77 7 如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置 构成新 的一 层 晶体将出现缺位 晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷 以N表示晶体中的原 子 数 n 表示晶体中的缺位数 如果忽略晶体中体积的变化 试由自由能为极 小的条件证明 温度为T时n 设nN 其中W为原子在表面位置与 kT W Ne 正常位置的能量差 证证证证 设原子皆未跳出到表面时 U 0 则形成 n 个空位需要能量TSUF 而在N个格点上形成 n 个空位 其可能的状态数nWU lnks nnN N 利用 ln ln lnlnnnNN 1 ln ln mmm 1 ln1 ln 1 lnln nnnNnNNN 1 ln 1 ln 1 ln nkTnnNnNkTNkTNnWF 利用自由能判据 0 n F 1 1 ln 1 1 1 ln 0 n kTnnkTn nN nNkTnkTW 0ln ln nkTnNkTW kT W enNn Nn kT W Nen 习题习题习题习题7 87 87 87 8 气体以恒定的速度沿方向作整体运动 试证明 在平衡状态下分子动 量的最 概然分布为 课后答案网 e 2 0 22 2 pppp m xyx 3 L dpdpVdp zyx 证证证证 设能级这样构成 同一中 P 相同 而 P 与 P 在变化 于是有 l l zxy 3 0 2 0 1 0 lzlz llll ll apapp aaE aaN 0 papp lz 参照教材玻耳兹曼分布证明 有 EN ln z p 其中 2 22 2 1 Z yxl ppp m 由 1 知 Ndpdpdpe h V zyx pz 3 将代入 并配方得 l zyx pp m dpdpdpe h Vzzyx 2 3 2 Ndpdpdpe h V zyx m p m m zyx 2 2 2 2 3 其中 m p m p y y x x 2 2 2 2 对比 page238 式 7 2 4 得 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 mkT h n mkT h V N e m 整个体积内 分布在内分子 zzzyyyxxx dpppdpppdppp 数为 zyxzyxzyx m p m dpdpdppppfdpdpdpe mkT N zyx 2 1 2 2 2 3 由条件 3 知 0 Npdpdpdppppfp zyxzyxz 计算得 课后答案网 z m p m zyx dpe mm pdpedpe mkT z y x 2 2 2 3 2 1 z m p m yx dpe m dpdpe mkT z yx 2 2 2 3 2 1 0 p N dpdpfdp m zyx 0 p m 代入得出分布 3 2 2 0 22 h dpdpVdp e zyx pppp m zyx 其中 2 2 m 0 p m 习题习题习题习题7 97 97 97 9 略 结合 7 8 求平均值 习题习题习题习题7 107 107 107 10 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动 可以看作二维理想气 体 试写出在二维理想中分子的速度分布和速率分布 并求平均速率 最概然速v 率和方均根速率 m v s v 解解解解 对于二维情形 2 1 22 yx pp m 准 连续能量下的简并度 面积 s h dpsdp yx 2 玻耳兹曼分布 利用 yx pp kTm dpdpe h syx 2 1 2 22 kTm N e h s N m e h s Ndpdpe h s yx pp m yx 2 2 4 22 2 2 22 yx vv kT m dvdve kT m N y x 2 22 2 速度分布率 进而推出速率分布 vdve kT Nm kT mv 2 2 习题习题习题习题7 117 117 117 11试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度和相对 12 vvvr 速率的概率分布 并求相对速率的平均值 rr vv r v 课后答案网 解解解解 两分子的相对速度在内的几率 r v rzryrx dvdvdv 2 1 22 111 2 3 211 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 kT m e dvdvdve kT m vVvVvdvV rx rzzryyrxxzyx v kT m zyx vvvvvvvvv kT m rr 同理可求得分量为和 zy vv 11 2 1 22 2 kT m e ry v kT m 2 1 22 2 kT m e r v kT m 222 3 2 3 3 22 22 8 1 2 rr v kT mv kT m rr e kT m kT m kT m evV 引进 速度分布变为 2 m rr v kT m dvve kT r 2 22 3 2 2 利用球极坐标系可求得速率分布为 rr v kT m dvve kT r 2 22 3 2 2 4 相对速率平均值v kT dvvev kT v rr v kT m rr r 2 8 2 4 2 2 0 2 3 2 习题习题习题习题7 127 127 127 12 试根据麦氏速度分布率证明 速度和平均动量的涨落为 2 22 2 3 8 3 kTee m kT vv 解解解解 略 2 2 2 22 2 vvvvvvvv 2 22 习题习题习题习题7 137 137 137 13 试证明 单位时间内碰到单位面积上 速率介于与之间的分vdvv 子数为 dvve kT m nd kT mv 3 2 2 3 2 2 证证证证 在斜圆柱体内 分速度为的方向的分子数为 z vv dtdsvVVvvvnfdn zzyx 圆柱 dsdtdvdvdvve kT m ndsdtnfvdn zyxz vvv kT m z zyx 2 2 3 222 2 课后答案网 对于 0 积分得从对从 zyx vvv 时间碰撞到面积上的分子数 dtdsdvvv 0 2 2 3 222 2 dsdtdvdvdvve kT m nn zyxz vvv kT m zyx dsdtddvdve kT m n kT mv cos 2 2 0 3 2 2 0 2 3 2 得到 若只计算介于分子数则为 只对积分 dvvv dvve kT m nn v kT m 3 2 2 3 2 2 1 2 2 dvve Tk m n kT mv 3 2 2 3 2 2 习题习题习题习题7 147 147 147 14 分子从器壁小孔射出 求在射出的分子束中 分子平均速度和方均 根速度 解解解解 变量代换 dvve kT m n dvve kT m n v kT nv v kT m 3 0 2 2 3 0 4 2 2 3 2 2 2 2 dx m kT dvxn kT m2 2 0 45 22 3 2 2 2 dxxe m kT kT m n x 8 3 2 2 2 52 3 m kT kT m n 0 322 33 0 2 2 3 2 2 2 2 2 dxxe m Tk kT m ndvve kT m n x Tk mv 2 1 2 2 22 3 m kT kT m n 略类似求 8 9 2 1 2 8 3 2 1 s v m kT m kT v 习题习题习题习题7 157 157 157 15 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布 其能量表达式为 其中是常数 求粒子的平均能量 bxaxppp m zyx 2222 2 1 ba 解解解解 a b a b a bx xa m p 4 4 2 2 2 2 2 2 课后答案网 4 2 2 1 2 2222 据均分律四个平方项 a b a b xappp m zyx a b kT a b Tk 4 2 4 2 1 4 22 习题习题习题习题7 167 167 167 16 气柱的高度为 截面为 在重力场中 试求解此气柱的内能和热HS 容量 解解解解 配分函数 zyx mgzppp m dpdpdxdydzdpe h Z zyx 2 3 222 1 dzedpe h S H mgz x p m x 0 3 2 3 2 mgH e mg m h S 1 1 2 2 52 3 3 设 mg m h S A 1 2 2 3 3 mgHeAZ 1lnln 2 5 lnln 1 2 5 1 1 2 5 ln kTmgHmgH mgH e mgH kT e mgHeZ 1 2 5 ln 0 略 Vv TkmgH T U C e NmgH NkT Z NUU 习题习题习题习题7 177 177 177 17 试求双原子理想气体的振动熵 解解解解 振动配分函数 e e Z V 1 2 1 代入式 7 6 1 1ln 2 ln 1 eZ e eZ 1 2 ln 1 代入熵计算式 VV kTNkNkS 其中 ln 习题习题习题习题7 187 187 187 18 对于双原子分子 常温下远大于转动的能级间距 试求双原子分kT 子理 想气体的转动熵 解解解解