同济大学的高等数学讲义 (12).pdf

第二单元第二单元 有理函数等一些特殊类型函数的积分有理函数等一些特殊类型函数的积分 本单元要点本单元要点 利用部分分式 求出有理函数的积分 将一些复杂的利用部分分式 求出有理函数的积分 将一些复杂的 三角函数的积分 经过适当的转换化为有理函数的积三角函数的积分 经过适当的转换化为有理函数的积 分 简单无理根式的积分 分 简单无理根式的积分 本单元教学要求本单元教学要求 1 掌握有理函数的部分分式分解方法 会将三角函数掌握有理函数的部分分式分解方法 会将三角函数 的有理式 简单无理根式化为有理函数 的有理式 简单无理根式化为有理函数 2 会求一些有理函数 三角函数的有理式 简单无理会求一些有理函数 三角函数的有理式 简单无理 根式的不定积分 根式的不定积分 本单元的重点与难点本单元的重点与难点 1 重点 有理函数的部分分式分解方法 重点 有理函数的部分分式分解方法 2难点 将三角函数的有理函数 简单无理根式化为有难点 将三角函数的有理函数 简单无理根式化为有 理函数的方法 理函数的方法 教学时数教学时数3 4学时 学时 一 有理函数的不定积分一 有理函数的不定积分 1 有理函数的部分分式分解方法有理函数的部分分式分解方法 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数 即具有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数 即具 有如下形式的函数 有如下形式的函数 12 0121 12 0121 nnn nn mmm mm P xa xa xa xaxa Q xb xb xb xbxb 其中为非零整数 都是实数 且其中为非零整数 都是实数 且 m n ij a b 00 0 0 ab 有理函数可以分解成多项式与若干个部分分式只和 有理函数可以分解成多项式与若干个部分分式只和 有理函数的原函数都是初等函数 它们一定可以通过有有理函数的原函数都是初等函数 它们一定可以通过有 理函数 对数函数 反正切函数表出 理函数 对数函数 反正切函数表出 假设多项式之间没有公因式 且的 次数小于的次数 此时称该有理函数为真分式 而的次数大于或等于的次数 此时称该有理 函数为假分式 利用多项式的除法 可将一个假分式化 为一个多项式之和的形式 假设多项式之间没有公因式 且的 次数小于的次数 此时称该有理函数为真分式 而的次数大于或等于的次数 此时称该有理 函数为假分式 利用多项式的除法 可将一个假分式化 为一个多项式之和的形式 P xQ x Q x P x P x Q x 由代数学知道 多项式总可以在实数范围内分 解成一次因式与二次因式的乘积 即 由代数学知道 多项式总可以在实数范围内分 解成一次因式与二次因式的乘积 即 Q x 22 0 Q xb xaxbxpxqxrxs 其中因此有理函数中的真分 式可以分解成若干个部分分式之和 其中因此有理函数中的真分 式可以分解成若干个部分分式之和 22 40 40 pqrs 12 1 1211 1 2 22 12 2 1122 12 22 P xAAA Q xxa xaxa B BBM xN xb xbxb xpxq M xNM xN xpxq xpxq R xS R xSR xS xrxs xrxsxrxs 其中等都是需要确定的常数 它们可以通过下面方法确定 其中等都是需要确定的常数 它们可以通过下面方法确定 ijijij AB M NR S 方法一 将部分分式通分后 再比较分子系数 通过解方法一 将部分分式通分后 再比较分子系数 通过解 方程组确定系数 例如方程组确定系数 例如 2 33 562323 3232 2323 xxAB xxxxxx A xB xAB xAB xxxx 比较分子系数 得方程组 比较分子系数 得方程组 1 5 6 323 AB AB AB 即 即 2 356 5623 x xxxx 方法二 部分分式通分后 在分子恒等式中代入特殊的 值从而确定常数 例如 方法二 部分分式通分后 在分子恒等式中代入特殊的 值从而确定常数 例如 2 222 111 1 111 A xBxCx xABC xx x xxx x 令得令得 令得 将 及代入上式得因此 令得 将 及代入上式得因此 0 1 1 1xAxB 1 1AB 2x 1 C 22 1111 1 11 xx x xx 2 部分分式的不定积分部分分式的不定积分 当有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和后 只出现多项式与下列形式的部分分式 故只需考虑下列 形式的部分分式的不定积分 当有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和后 只出现多项式与下列形式的部分分式 故只需考虑下列 形式的部分分式的不定积分 d A x xa d n A x xa 2 d MxN x xpxq 2 d n MxN x xpxq 具体解法如下 具体解法如下 dln A xAxaC xa 1 d 1 nn AA xC xanxa 22 2 2 2 2 22 2 2 dd 2 2d d 22 24 2 2 lnarctan 2 44 N xpp MxNM M xx xpxqxpxq MxpMpx xN xpxq pp xq Mp p N x M xpxqC pp qq 2 2 22 2 2 1 2 2 2 dd 2 2d d 22 24 2 2 1 nn nn n n N xpp MxNM M xx xpxq xpxq MxpMpx xN xpxq pp xq MMp NI nxpxq 其中其中 2 222 2 2 dd 24 24 n nn xppt Itxaq ta pp xq 而而 2 1 11 222222 2 11 222222 d 21d 1 21d n nnn nnn ttt Int tatata ta nt tatata 即 即 2 111 22 21 nnnn t InIa I ta 于是于是 1 12 22 1 23 2 3 21 nn n t InIn an ta 1 1 arctan t IC aa 总之 有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和总之 有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和 以后 各部分的不定积分都可以得到 以后 各部分的不定积分都可以得到 例例1 求积分求积分 2 3 d 56 x x xx 解因解因 见前面的分解见前面的分解 2 356 5623 x xxxx 故故 2 2dd d56 2323 5ln26ln3 xxx x xxxx xxC 例例2 求积分求积分 2 2 d 23 x x xx 解因解因 222 2 22211 3 22223 12 xx xxxx x 故故 222 2 2 22 2 2 2122d dd3 23223 12 d23 d11 3 2x23 12 131 ln22arctan 222 xxx xx xxxx x xx x x x x xxC 例例3 求积分求积分 2 d 1 x x x 解因解因 22 1111 1 11 xx x xx 故故 2 d1 ln 11 1 xx C xx x x 例例4 求积分求积分 2 1 d 121 x xx 解设解设 22 2 2 22 1 1 211 21 11 2 22 1 211 21 abxc xxxx axx bxc ab xbc xac xxxx 即有即有 20 421 20 555 1 ab bcabc a c 因此有因此有 22 141211 5 12551121 x xxxx 因而相应的积分为因而相应的积分为 222 2 1221211 dddd 5 125 15 1121 211 ln12ln 1arctan 555 x xxxx xxxxx xxxC 二 可化为有理函数的三角函数的积分二 可化为有理函数的三角函数的积分 考虑下列形式的不定积分 其中为有理函数 由于 考虑下列形式的不定积分 其中为有理函数 由于 sin cosdfxxx f 22 2tan2tan 22 sin2sincos 22 sec1tan 22 xx xx x xx 2 22 2 1tan 2 coscossin 22 1tan 2 x xx x x 令则 令则 tan 2 x ux 2 22 21 sin cos 11 uu xx uu 而即而即 2 1 dsecd 22 x ux 2 22 2d2d2d d 1 sec1 tan 22 uuu x xx u 故故 2 222 212d sin cosd 111 uuu fxxxf uuu 这里所用的变量代换对三角函数的有理式都 适用 故此代换又称为万能代换 这里所用的变量代换对三角函数的有理式都 适用 故此代换又称为万能代换 tan 2 x u 例例5 求积分求积分 1sin d sin1cos x x xx 解令 则解令 则tan 2 x u 22 2 22 2 22d 1 1sin11 d sin1cos21 1 11 111 2d2ln 222 uu xuu x xxuu uu u uuuuC u 2 11 tantanln tan 42222 xxx C 注除上述方法外 还有以下一些方法 注除上述方法外 还有以下一些方法 例例6 求积分其中不同求积分其中不同 sincos d sincos axbx x cxdx a b c d 时为零 且时为零 且0 adbc 解设解设 sincossincos sincos axbxA cxdx B cxdx 比较等式两边的系数 得到比较等式两边的系数 得到 sincossincos sincossincos cxdxaxbx AB cxdxcxdx sincossincos d sincossincos ln sincos cxdxaxbx xAB cxdxcxdx AxBcxdxC 例例7 求积分其中求积分其中 d sincos x axbx 0 ab 解因解因 22 2222 22 22 sincossincos sin sincos cos cos ab axbxabxx abab abxx abx 其中则其中则arctan a b 22 22 d11 d sincoscos 1 ln sectan x x axbxx ab xxC ab 例例8 求积分其中求积分其中 1 d sinsin x xaxb sin0 ab 解因解因 sinsinsincos cossin a bxaxbxaxb xaxb coscos11 sinsinsinsinsin x bx a x ax ba bx bx a coscos11 dd sinsinsinsinsin sin1 ln sinsin x bx a xx x ax ba bx bx a x a C a bx b 三 可化为有理函数的简单无理根式三 可化为有理函数的简单无理根式 考虑下列形式的简单无理根式的不定积分 考虑下列形式的简单无理根式的不定积分 d nm axbaxb fxx cxdcxd 令其中为的最小公倍数 这样上令其中为的最小公倍数 这样上 N axb t cxd Nn m 述形式的简单无理根式的不定积分可化为有理函数的不述形式的简单无理根式的不定积分可化为有理函数的不 定积分 定积分 例例8 求积分求积分 1 d x x x 解令即故 积分为解令即故 积分为 2 1 1 2 txxtdxtdt 2 22 2 1 d2 d2d 11 1 21d2arctan 1 xtt xt tt xtt tttC t 例例11 求积分求积分 3 d 12 x x 解令即解令即 332 2 2 3 txxtdst dt