量子力学.pdf

一 量子力学的建立一 量子力学的建立 量子力学本身是在 1923 1927 年一段时间中建立起来的 两个等价的理论 矩阵力学和波动力学几乎同时提出 矩阵力学的提出与 Bohr 的早期量子论 有很密切的关系 Heisenberg 一方面继承了早期量子论中合理的内核 如能量 量子化 定态 跃迁等概念 同时又摒弃了一些没有实验根据的概念 如电子轨 道的概念 Heisenberg Bohn 和 Jordan 的矩阵力学 从物理上可观测量 赋 予每一个物理量一个矩阵 它们的代数运算规则与经典物理量不同 遵守乘法不 可易的代数 波动力学来源于物质波的思想 Schr dinger 在物质波的启发下 找到一个量子体系物质波的运动方程 Schr dinger 方程 它是波动力学的核心 后来 Schr dinger 还证明 矩阵力学与波动力学完全等价 是同一种力学规律的 两种不同形式的表述 事实上 量子理论还可以更为普遍的表述出来 这是 Dirac 和 Jordan 的工作 量子物理学的建立是许多物理学家共同努力的结晶 它标志着物理学研究工 作第一次集体的胜利 二 量子力学产生发展二 量子力学产生发展 量子力学是描述微观世界结构 运动与变化规律的物理科学 它是 20 世纪 人类文明发展的一个重大飞跃 量子力学的发现引发了一系列划时代的科学发现 与技术发明 对人类社会的进步做出重要贡献 19 世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候 一系列经典理论无法 解释的现象一个接一个地发现了 德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现 的热辐射定理 德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设 在热辐射的产生与吸收过程中能量是以 hV 为最小单位 一份一份交换的 这个 能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性 而且与辐射能量和频率无 关由振幅确定的基本概念直接相矛盾 无法纳入任何一个经典范畴 当时只有少 数科学家认真研究这个问题 著名科学家爱因斯坦经过认真思考 于 1905 年提出了光量子说 1916 年 美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果 验证了爱因斯坦的光量子说 爱因斯坦 1913 年丹麦物理学家玻尔为解决卢瑟福原子行星模型的不稳定 按经典理论 原子中电子绕原子核作圆周运动要辐射能量 导致轨道半径缩小直到跌落进原子 核 与正电荷中和 提出定态假设 原子中的电子并不像行星一样可在任意经 典力学的轨道上运转 稳定轨道的作用量 fpdq 必须为 h 的整数倍 角动量量子 化 即 fpdq nh n 称之为量子数 玻尔又提出原子发光过程不是经典辐射 是电子在不同的稳定轨道态之间的不连续的跃迁过程 光的频率由轨道态之间的 能量差 AE hV 确定 即频率法则 这样 玻尔原子理论以它简单明晰的图像解 释了氢原子分立光谱线 并以电子轨道态直观地解释了化学元素周期表 导致了 72 号元素铪的发现 在随后的短短十多年内引发了一系列的重大科学进展 这 在物理学史上是空前的 由于量子论的深刻内涵 以玻尔为代表的哥本哈根学派对此进行了深入的研 究 他们对对应原理 矩阵力学 不相容原理 测不准关系 互补原理 量子力 学的几率解释等都做出了贡献 1923 年 4 月美国物理学家康普顿发表了 X 射线被电子散射所引起的频率变 小现象 即康普顿效应 按经典波动理论 静止物体对波的散射不会改变频率 而按爱因斯坦光量子说这是两个 粒子 碰撞的结果 光量子在碰撞时不仅将能 量传递而且也将动量传递给了电子 使光量子说得到了实验的证明 光不仅仅是电磁波 也是一种具有能量动量的粒子 1924 年美籍奥地利物 理学家泡利发表了 不相容原理 原子中不能有两个电子同时处于同一量子态 这一原理解释了原子中电子的壳层结构 这个原理对所有实体物质的基本粒子 通常称之为费米子 如质子 中子 夸克等 都适用 构成了量子统计力学 费米统计的基点 为解释光谱线的精细结构与反常塞曼效应 泡利建议对于 原于中的电子轨道态 除了已有的与经典力学量 能量 角动量及其分量 对应 的三个量子数之外应引进第四个量子数 这个量子数后来称为 自旋 是表述 基本粒子一种内在性质的物理量 1924 年 法国物理学家德布罗意提出了表达波粒二象性的爱因斯坦 德布罗意关系 E hV p h 入 将表征粒子性的物理量能量 动量与表征波性 的频率 波长通过一个常数 h 相等 1925 年 德国物理学家海森伯和玻尔 建立了量子理论第一个数学描述 矩阵力学 1926 年 奥地利科学家提出了描述物质波连续时空演化的偏微 分方程 薛定谔方程 给出了量子论的另一个数学描述 波动力学 1948 年 费曼创立了量子力学的路径积分形式 量子力学在高速 微观的现象范围内具有普遍适用的意义 它是现代物理学 基础之一 在现代科学技术中的表面物理 半导体物理 凝聚态物理 粒子物理 低温超导物理 量子化学以及分子生物学等学科的发展中 都有重要的理论意义 量子力学的产生和发展标志着人类认识自然实现了从宏观世界向微观世界的重 大飞跃 三 量子力学与黑洞理论互相矛盾三 量子力学与黑洞理论互相矛盾 对于黑洞 很多人都知道这样一种观点 任何物质都无法逃脱黑洞的可怕 引力 甚至包括光线在内 这是黑洞理论中最基本的一种观点 但在刊登于 8 月 2 日网络版 科学 杂志上的一篇论文中 美国新泽西州普林斯顿高等研究院 的理论物理学家爱德华 维特指出这一基本观点与量子力学理论相矛盾 绝大多数物理学家认为黑洞是一种密度令人难以置信的天体 能够扭曲时空 任何物质都无法逃脱它们的可怕引力 在刊登于同一期 科学 杂志上的另一篇 论文中 美国加利福尼亚州理工学院的理论物理学家基普 霍纳将黑洞描述为一 种完全由扭曲的时空构成的天体 然而 这一基本观点似乎与量子力学定律相抵触 后者用于解释宇宙内最微 小的元素 维特在论文中指出 根据广义相对论 黑洞会吸入附近的任何物质 同时不向外喷射任何物质 这是很多人眼中的黑洞一个基本特征 然而 如果根 据量子力学 这种天体不可能存在 维特解释说 根据量子力学 如果一种反应是可能的 相反的反应也是可能 的 过程是可逆的 也就是说 如果一个人被黑洞吞噬 增加这个黑洞的质量 也会存在黑洞将人喷出 质量减少的现象 然而 任何物质都无法逃脱黑洞的引 力 为了破解这个谜题 物理学家提出了 熵 的概念 即混乱和随机性的一个 量度 根据解释宏观层面的热力学定律 降低宇宙的熵值是不可能的 熵值只会 增加 如果一个人掉进黑洞 熵值会增加 如果一个人被黑洞喷出 宇宙的总熵 值便会减少 基于同样的原因 水只能从杯子溅到地板上 而不会从地板飞到杯 子里面 这能够解释物质掉进黑洞的过程为何无法逆转 但这只适用于宏观层面 著 名物理学家斯蒂芬 霍金指出 根据研究微观层面的量子力学 物质可以从黑洞 逃脱 根据他的预测 黑洞不断向外喷射物质 这一过程被他称之为 霍金辐射 量子力学与黑洞理论的基本观点 任务物质无法逃离黑洞 相抵触 维特说 虽然黑洞永远不会将吞噬的宇航员或者桌椅板凳喷出 但会向外喷射基本粒子 或者原子 不过 科学家至今没有观测到霍金辐射 维特在论文中指出 黑洞由恒星 爆炸形成 通常位于星系中央 可惜的是 黑洞通常质量很大并且距离地球很远 很难获得它们的微观细节 这一期的 科学 杂志刊登了 5 篇有关黑洞研究的 论文 维特的论文只是其中之一 四 物理意义四 物理意义 量子力学与经典力学的一个主要区别 在于测量过程在理论中的地位 在经 典力学中 一个物理系统的位置和动量 可以无限精确地被确定和被预言 至少 在理论上 测量对这个系统本身 并没有任何影响 并可以无限精确地进行 在 量子力学中 测量过程本身对系统造成影响 要描写一个可观察量的测量 需要将一个系统的状态 线性分解为该可观察 量的一组本征态的线性组合 测量过程可以看作是在这些本征态上的一个投影 测量结果是对应于被投影的本征态的本征值 假如 对这个系统的无限多个拷贝 每一个拷贝都进行一次测量的话 我们可以获得所有可能的测量值的机率分布 每个值的机率等于对应的本征态的系数的绝对值平方 由此可见 对于两个不同的物理量 A 和 B 的测量顺序 可能直接影响其测 量结果 事实上 不相容可观察量就是这样的 即 不确定性原理 最著名的不相容可观察量 是一个粒子的位置 x 和动量 p 它们的不确定性 x 和 p 的乘积 大于或等于普朗克常数的一半 海森堡由此得出结论 认为不确定性是由于测量过程的限制导致的 至于粒 子的特性是否真的不确定还未知 玻尔则将不确定性看作是物理系统的一个原理 今天的物理学见解基本上接受了玻尔的解释 不过 在今天的理论中 不确定性 不是单一粒子的属性 而是一个系综相同的粒子的属性 这可以视为一个统计问 题 不确定性是整个系综的不确定性 也就是说 对于整个系综来说 其总的位 置的不确定性 x 和总的动量的不确定性 p 不能小于一个特定的值 这个公 式被称为不确定性原理 它是由海森堡首先提出的 不确定的原因是位置和动量 的测量顺序 直接影响到其测量值 也就是说其测量顺序的交换 直接会影响其 测量值 机率 通过将一个状态分解为可观察量本征态 的线性组合 可以得到状态在每一个本征态的机率幅 ci 这机率幅的绝对值 平方 ci 2 就是测量到该本征值 ni 的概率 这也是该系统处于本征态的概率 ci 可以通过将投影到各本征态上计算出来 因此 对于一个系综的完全相同系统的某一可观察量 进行同样地测量 一 般获得的结果是不同的 除非 该系统已经处于该可观察量的本征态上了 通过 对系综内 每一个同一状态的系统 进行同样的测量 可以获得测量值 ni 的统 计分布 所有试验 都面临着这个测量值与量子力学的统计计算的问题 同样粒 子的不可区分性和泡利原理 由于从原则上 无法彻底确定一个量子物理系统的状态 因此在量子力学中 内在特性 比如质量 电荷等 完全相同的粒子之间的区分 失去了其意义 在 经典力学中 每个粒子的位置和动量 全部是完全可知的 它们的轨迹可以被预 言 通过一个测量 可以确定每一个粒子 在量子力学中 每个粒子的位置和动 量是由波函数表达 因此 当几个粒子的波函数互相重叠时 给每个粒子 挂上 一个标签 的做法失去了其意义 这个相同粒子 identicalparticles 的不可区分性 对状态的对称性 以及多粒 子系统的统计力学 有深远的影响 比如说 一个由相同粒子组成的多粒子系统 的状态 在交换两个粒子 1 和粒子 2 时 我们可以证明 不是对称的 就是反对称的 对称状态的粒子被称为玻色子 反对称状态的粒子被称为费米 子 此外自旋的对换也形成对称 自旋为半数的粒子 如电子 质子和中子 是 反对称的 因此是费米子 自旋为整数的粒子 如光子 是对称的 因此是玻色 子 这个深奥的粒子的自旋 对称和统计学之间关系 只有通过相对论量子场论 才能导出 但它也影响到了非相对论量子力学中的现象 费米子的反对称性的一 个结果是泡利不相容原理 即两个费米子无法占据同一状态 这个原理拥有极大 的实用意义 它表示在我们的由原子组成的物质世界里 电子无法同时占据同一 状态 因此在最低状态被占据后 下一个电子必须占据次低的状态 直到所有的 状态均被满足为止 这个现象决定了物质的物理和化学特性 费米子与玻色子的状态的热分布也相差很大 玻色子遵循玻色 爱因斯坦统 计 而费米子则遵循费米 狄拉克统计 量子纠缠 往往一个由多个粒子组成的系统的状态 无法被分离为其组成的单个粒子的 状态 在这种情况下 单个粒子的状态被称为是纠缠的 纠缠的粒子有惊人的特 性 这些特性违背一般的直觉 比如说 对一个粒子的测量 可以导致整个系统 的波包立刻塌缩 因此也影响到另一个 遥远的 与被测量的粒子纠缠的粒子 这个现象并不违背狭义相对论 因为在量子力学的层面上 在测量粒子前 你不 能定义它们 实际上它们仍是一个整体 不过在测量它们之后 它们就会脱离量 子纠缠这状态 量子脱散 作为一个基本理论 量子力学原则上 应该适用于任何大小的物理系统 也就是 说不仅限于微观系统 那么 它应该提供一个过渡到宏观 经典 物理的方法 量子现象的存在提出了一个问题 即怎样从量子力学的观点 解释宏观系统的经 典现象 尤其无法直接看出的是 量子力学中的叠加状态 如何应用到宏观世界 上来 1954 年 爱因斯坦在给马克斯 波恩的信中 就提出了怎样从量子力学 的角度 来解释宏观物体的定位的问题 他指出仅仅量子力学现象太 小 无法 解释这个问题 这个问题的另一个例子是由薛定谔提出的薛定谔的猫的思想实验 直到 1970 年左右 人们才开始真正领会到 上述的思想实验 实际上并不 实际 因为它们忽略了不可避免的与周围环境的相互作用 事实证明 叠加状态 非常容易受周围环境的影响 比如说 在双缝实验中 电子或光子与空气分子的 碰撞或者发射辐射 就可以影响到对形成衍射非常关键的各个状态 之间的相位的关系 在量子力学中这个现象 被称为量子脱散 它是由系统 状态与周围环境影响的相互作用导致的 这个相互作用可以表达为每个系统状态 与环境状态 的纠缠 其结果是只有在考虑整个系统时 即实验系统 环境系统 叠加才有效 而假如孤立地只考虑实验系统的系统状态的话 那么就只剩下这个 系统的 经典 分布了 量子脱散是今天量子力学解释宏观量子系统的经典性质 的主要方式 对于量子计算机来说 量子脱散也有实际意义 在一台量子计算机中 需要 多个量子状态尽可能地长时间保持叠加 脱散时间短是一个非常大的技术问题 五 五 应用应用 在许多现代技术装备中 量子物理学的效应起了重要的作用 从激光 电子 显微镜 原子钟到核磁共振的医学图像显示装置 都关键地依靠了量子力学的原 理和效应 对半导体的研究导致了二极管和三极管的发明 最后为现代的电子工 业铺平了道路 在核武器的发明过程中 量子力学的概念也起了一个关键的作用 在上述这些发明创造中 量子力学的概念和数学描述 往往很少直接起了一 个作用 而是固体物理学 化学 材料科学或者核物理学的概念和规则 起了主 要作用 但是 在所有这些学科中 量子力学均是其基础 这些学科的基本理论 全部是建立在量子力学之上的 以下仅能列举出一些最显著的量子力学的应用 而且 这些列出的例子 肯 定也非常不完全 实际上 在现代的技术中 量子力学无处不在 原子物理和化学 任何物质的化学特性 均是由其原子和分子的电子结构所决定的 通过解析 包括了所有相关的原子核和电子的多粒子薛定谔方程 可以计算出该原子或分子 的电子结构 在实践中 人们认识到 要计算这样的方程实在太复杂 而且在许 多情况下 只要使用简化的模型和规则 就足以确定物质的化学特性了 在建立 这样的简化的模型中 量子力学起了一个非常重要的作用 一个在化学中非常常用的模型是原子轨道 在这个模型中 分子的电子的多 粒子状态 通过将每个原子的电子单粒子状态加到一起形成 这个模型包含着许 多不同的近似 比如忽略电子之间的排斥力 电子运动与原子核运动脱离等等 但是它可以近似地 准确地描写原子的能级 除比较简单的计算过程外 这个模 型还可以直觉地给出电子排布以及轨道的图像描述 通过原子轨道 人们可以使用非常简单的原则 洪德定则 来区分电子排布 化学稳定性的规则 八隅律 幻数 也很容易从这个量子力学模型中推导出来 通过将数个原子轨道加在一起 可以将这个模型扩展为分子轨道 由于分子 一般不是球对称的 因此这个计算要比原子轨道要复杂得多 理论化学中的分支 量子化学和计算机化学 专门使用近似的薛定谔方程 来计算复杂的分子的结构 及其化学特性的学科 原子核物理学 原子核物理学是研究原子核性质的物理学分支 它主要有三大领域 研究各 类次原子粒子与它们之间的关系 分类与分析原子核的结构 带动相应的核子技 术进展 固体物理学 为什么金刚石硬 脆和透明 而同样由碳组成的石墨却软而不透明 为什么 金属导热 导电 有金属光泽 发光二极管 二极管和三极管的工作原理是什么 铁为什么有铁磁性 超导的原理是什么 以上这些例子 可以使人想象出固体物理有多么多样性 事实上 凝聚态物 理学是物理学中最大的分支 而所有凝聚态物理学中的现象 从微观角度上 都 只有通过量子力学 才能正确地被解释 使用经典物理 顶多只能从表面上和现 象上 提出一部分的解释 以下列出了一些量子效应特别强的现象 晶格现象 音子 热传导 静电现象 压电效应 电导 绝缘体 导体 磁性 铁磁性 低温态 玻色 维效应 量子线 量子点 量子信息学 目前研究的焦点在于一个可靠的 处理量子状态的方法 由于量子状态可以叠加 的特性 理论上 量子计算机可以高度平行运算 它可以应用在密码学中 理论 上 量子密码术可以产生完全可靠的密码 但是 实际上 目前这个技术还非常 不可靠 另一个当前的研究项目 是将量子状态传送到远处的量子隐形传送 处理微观体系的步骤 1 根据体系的物理条件 写出它的势能函数 进一步写出 Hamilton 算符及 Schrodingger 方程 2 解 Schrodinger 方程 根据边界条件求 n 和 En 3 描绘出 n n 等的图形 并讨论其分布特点 4 由上面求得的 进一步求出各个对应状态的各种力学量的数值 从中了 解体系的质 5 联系实际问题 对求得的结果加以应用 与其它物理理论的关系 与经典物理的界限 1923 年 尼尔斯 玻尔提出了对应原理 认为量子数 尤其是粒子数 高 到一定的极限后的量子系统 可以很精确地被经典理论描述 这个原理的背景是 事实上 许多宏观系统 可以非常精确地被经典理论 如经典力学和电磁学来描 写 因此一般认为在非常 大 的系统中 量子力学的特性 会逐渐退化到经典 物理的特性 两者并不相抵触 因此 对应原理是建立一个有效的量子力学模型 的重要辅助工具 量子力学的数学基础是非常广泛的 它仅要求状态空间是希尔 伯特空间 其可观察量是线性的算符 但是 它并没有规定在实际情况下 哪一 种希尔伯特空间 哪些算符应该被选择 因此 在实际情况下 必须选择相应的 希尔伯特空间和算符来描写一个特定的量子系统 而对应原理则是做出这个选择 的一个重要辅助工具 这个原理要求量子力学所做出的预言 在越来越大的系统 中 逐渐近似经典理论的预言 这个大系统的极限 被称为 经典极限 或者 对 应极限 因此可以使用启发法的手段 来建立一个量子力学的模型 而这个模 型的极限 就是相应的经典物理学的模型 与相对论的结合 量子力学在其发展初期 没有顾及到狭义相对论 比如说 在使用谐振子模 型的时候 特别使用了一个非相对论的谐振子 早期的将量子力学与狭义相对论 联系到一起的试图 包括使用相应的克莱因 高登方程 或者狄拉克方程 来取 代薛定谔方程 这些方程虽然在描写许多现象时已经很成功 但它们还有缺陷 尤其是它们无法描写相对论状态下 粒子的产生和消灭 通过量子场论的发展产 生了真正的相对论量子理论 量子场论不但将可观察量如能量或者动量量子化了 而且将媒介相互作用的场量子化了 第一个完整的量子场论是量子电动力学 它 可以完整地描写电磁相互作用 一般在描写电磁系统时 不需要完整的量子场论 一个比较简单的模型 是 将带电荷的粒子 当作一个处于经典电磁场中的量子力学物体 这个手段从量子 力学的一开始 就已经被使用了 比如说 氢原子的电子状态 可以近似地使用 经典的 1 r 电压场来计算 但是 在电磁场中的量子起伏起一个重要作用的情况 下 比如带电粒子发射一颗光子 这个近似方法就失效了 强弱相互作用 强相互作用的量子场论是量子色动力学 这个理论描述原子核所组成的粒子 夸克和胶子 之间的相互作用 弱相互作用与电磁相互作用结合在电弱相互作 用中 万有引力 至今为止 仅仅万有引力无法使用量子力学来描述 因此 在黑洞附近 或 者将整个宇宙作为整体来看的话 量子力学可能遇到了其适用边界 目前使用量 子力学 或者使用广义相对论 均无法解释 一个粒子到达黑洞的奇点时的物理 状况 广义相对论预言 该粒子会被压缩到密度无限大 而量子力学则预言 由 于粒子的位置无法被确定 因此 它无法达到密度无限大 而可以逃离黑洞 因 此 20 世纪最重要的两个新的物理理论 量子力学和广义相对论互相矛盾 寻求 解决这个矛盾的答案 是目前理论物理学的一个重要目标 量子引力 但是至 今为止 找到引力的量子理论的问题 显然非常困难 虽然 一些亚经典的近似 理论有所成就 比如对霍金辐射的预言 但是至今为止 无法找到一个整体的量 子引力的理论 目前 这个方面的研究包括弦理论等 解释和哲学观点 量子力学可以算作是被验证的最严密的物理理论之一了 至今为止 所有的 实验数据均无法推翻量子力学 大多数物理学家认为 它 几乎 在所有情况下 正确地描写能量和物质的物理性质 虽然如此 量子力学中 依然存在着概念上 的弱点和缺陷 除上述的万有引力的量子理论的缺乏外 至今为止对量子力学的 解释存在着争议 解释 假如 量子力学的数学模型 是它的适用范围内的完整的物理现象的描写的 话 那么 我们发现测量过程中 每次测量结果的机率性的意义 与经典统计理 论中的机率 意义不同 即使完全相同的系统的测量值 也会是随机的 这与经 典的统计力学中的机率结果不一样 在经典的统计力学中 测量结果的不同 是 由于实验者无法完全复制一个系统 而不是因为测量仪器无法精确地进行测量 在量子力学的标准解释中 测量的随机性是基本性的 是由量子力学的理论基础 获得的 由于量子力学尽管无法预言单一实验的结果 依然是一个完整的自然的 描写 使得人们不得不得出以下结论 世界上不存在通过单一测量可以获得的客 观的系统特性 一个量子力学状态的客观特性 只有在描写其整组实验所体现出 的统计分布中 才能获得 爱因斯坦 量子力学不完整 上帝不掷股子 与尼尔斯 玻尔是最早对这个问题进行争论的 玻尔维护不确定原理和互补原理 在多年的 激烈的讨论中 爱因斯坦不得