导数与微分10.doc

第二讲 导数与微分1 导数的概念一、内容提要1 导数的定义：(1) 几个等价形式(2) 存在与.(3) 函数在处右连续,且,则.函数在处左连续,且,则.2. 导数的几何意义:-曲线在点的切线斜率.曲线在点的切线:曲线在点的法线: 3. 导数的物理意义: 如果表示物理量,则导数表示该量的变化率.如设-直线运动,则-时刻的瞬时速度,-时刻时的加速度.4. 可导与连续的关系函数在处,可导连续极限存在;反之,极限存在不一定连续,连续不一定可导.5微分的定义及性质：(1) 微分的定义: 若，则称函数在点可微,称为在点处的微分，记作，即.当是自变量时, .(2) 微分与导数的关系: 可微可导,且二、典型例题分析1.1导数概念 (常见题型：概念、切线与法线、可导性与连续性的讨论)例1 单项选择题(1) 设，则在处可导的充要条件是( ) (B) （A）存在； （B）存在；（C）存在； （D）存在.(2) 设可导，则是在处可导的( ). (A) (A) 充分必要条件 (B) 必要但非充分条件 (C) 充分但非必要条件 (D) 既非充分也非必要条件.(3) 设,则在内不可导点的个数是( ) (C)(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.(4) 设，其中有界，则在处 ( ). （D） (A) 极限不存在； (B) 极限存在但不连续； (C) 连续但不可导； (D) 可导.例2 填空题(1) 设曲线在点处的切线与轴交点为,则 .(2) ,其导数在处连续,则的取值范围是 .(3)已知，则 . ()注此处：.此例说明，用定义求某些函数在某些点处的导数有时也相当方便.例3 已知是周期为5的连续函数,它在的某个邻域内满足关系式其中是时比高阶无穷小,且在处可导,求曲线在点处的切线方程.分析 关键:确定切点和切线斜率.因以5为周期,故,所以只需求出即可.例4 设,有二阶连续导数，且， （1）求；（2）讨论的连续性.注 研究分段函数可导性（连续性）时，分段点需特别考虑. 一般情形，分段点处的导数必须用导数的定义求；若分段点左右两边的表达式不同时，要按定义求左、右导数.1.2 函数的微分例1 单项选择题(1) 设函数满足:.若,则( ) (A)(A) (B) (C) (D) (2) 设函数可导,当自变量在处取得增量时,相应函数增量的线性主部为,则( ). (D) (A) (B) (C) (D) 例2 设满足，并且，对任意两点有，求证：（1），（2）f (x)可微；（3）求. 2 导数的计算一、内容与知识要点1.基本导数公式2. 求导法则(1)四则运算法则(和、差、积、商): ； ； ； ； ；(2) 复合函数求导法则 (3) 反函数的导数: .3. 一阶微分形式不变性: 当变换自变量时（即设为另一变量的可微函数时），微分形式并不改变.4. 高阶导数几个常用函数的高阶导数公式:; ; ,;.高阶求导法则; ; 5. 隐函数求导方程确定了一个隐函数.方法一: (两边求导法)方程两边分别对求导，记住是的函数,求出.方法二:(两边微分法)方程两边取微分（利用微分基本公式、法则及微分形式不变性），解出.方法三: (公式法) .6. 由参数方程所确定的函数求导, , 二、典型例题分析1 用四则运算求导法则和复合函数求导法则求导数例1 填空题(1) 设,则 . (2) 设,则 .(3) 设 由所确定，则曲线在处的法线方程为 . （）(4) 曲线上对应雨点处的切线方程为 . （）(5) 设,则 .例2 单项选择题(1) 设可微，则等于( ) (B) （A）； （B）；（C）； （D）.(2) 设有任意阶导数，则时为( ). (A) (A) ； (B) ； (C) ； (D) .例3 求下列函数的导数：(1) ，求; (2) ，求；(3) 设，有二阶导数，且，