数学建模思维方法论_李以渝.pdf

收稿日期 2005 11 22 第 23 卷第 5 期大 学 数 学Vol 23 5 2007 年 10月COLLEGE MATHEMATICSOct 2007 数学建模思维方法论 李以渝 四川工程职业技术学院 德阳 618000 摘 要 数学建模过程是一个复杂的思维过程 全国大学生数学建模竞赛又加以竞赛的形式 有其特殊 性 其中如何研究问题 如何做出成果 如何争取获奖 本文探讨其思维规律 方法技巧 关键词 数学模型 建模竞赛 方法论 中图分类号 O29 文献标识码 B 文章编号 1672 1454 2007 05 0124 05 1 思维过程 数学建模的思维过程顺序展开是 熟悉问题 分析问题 寻找思路 建立模型 求解模型 结果分析 1 1 熟悉问题 选好题目后 需要迅速弄清问题 熟悉问题 有下述两个要求与方法 1 1 1 情况清楚 方法是 回到实际 例如对于 2003 年 SARS 的传播 问题 一边阅读问题 资 料 一边回忆2003 年春 4 6 几个月北京等地 SARS 的实际传播情况 政府采取措施情况等等 常需要 到有关部门去实际调查 1 1 2 概念清楚 题目中必然涉及一些复杂概念 必须讨论 理解清楚 例 2002 年 赛程安排问 题 其中 各队每两场比赛中间隔的场次数的上限 究竟什么意思 会有不同理解 熟悉问题 概念清楚 是分析问题 解决问题的基础 1 2 分析问题 1 2 1 因素分析 可用鱼翅图法将问题涉及的因素整理 分析 如对于 2001 年 公交车调度 关 于 行车因素 有到站时间 停车时间 行车时间 行车周期等 类似 乘客因素 车站因素 等 也分别有 若干子因素 因素分析的要点 一是 条分缕析 理清各因素之间的逻辑关系 包括纵向关系与横向关系 二是 数学处理 即每个因素怎么看待 怎么处理 如确定是常量还是变量 有什么约束等等 还需要抓住特 殊因素 关键因素 1 2 2 目标分析 由题目要求入手进行目标分析 如 公交车调度 的目标具体是 发车时刻表 的 制定 需多少车 的计算 公司与乘客双方利益 的分析 如 煤矸石堆积 作目标分析如下 总费用 征地费 煤矸石数量 堆积方式 堆积面积 地价 涨幅 征地方式 耗电费 运输方式 运输路程 机械效率 电价 1 1 2 3 优化分析 大学生数学建模竞赛题目最多的要求是 优化 于是基于因素分析 目标分析需要 作优化分析 什么因素可以运筹优化 如何优化 如上例 总费用 如何优化 具体优化什么 通过分 析发现 耗电费用 其实是常量 而关键因素 可运筹因素是 征地方式 可以运筹优化 于是各种因素可以区分为 硬约束 与 软约束 两类 如上例 煤矸石年产量 堆积形状与体积 每年 用地量 每年耗电量等等都是确定的 都是 硬约束 而 征地方式 可各种各样是 软约束 我们总结出 一条基本方法 数学建模优化 硬约束计算 软约束优化 1 3 寻找思路 数学建模的首要难点是寻求 确定研究思路 研究方向 这也是数学建模区别与通常解数学题的一 个特点 因为对同一问题 不同的研究目的 研究思路会有不同的数学模型 有不同的结果 如何寻找思路 如 从关键因素 出发 例如 煤矸石堆积 基于问题分析 认识深入 紧紧抓住 征 地方式 进行试算 又如 回到实际 从实际中来确定研究方向 如 2003 年 SARS 传播 其困难在影响 因素多 因素间关系复杂 并已有较高起点 已有一个模型 等等 那么一个重点是确定研究方向 仅仅像 已有模型作已知数据的拟合 预测 难于深入 难于有较高价值 回到实际 以 2003 年上半年实际情 况 寻求研究目的 即由 SARS 的特殊性 如防控的主要手段是隔离措施 从众多影响因素中着重研究 控前时间 相应有警戒等级 这就得出一个式子 实际情况 实际意义 研究方向 再如 参考资料 数学建模重要的一环是查资料 寻找类似的问题 相关的理论等 例如对 2004 年 饮酒驾车问题 容易查到人体对药物吸收的基本理论与模型 1 4 建立模型 接下来沿研究的方向 思路如何 走下去 其关键是寻找方法 用合适的方法实现思路与研究目标 1 4 1 基本方法 抓住问题的特点 从平时准备的基本方法中寻找合适的方法 优化问题 最常用的是规划方法包括线性规划与各种非线性规划 其中又常用 0 1 规划 如 2005 年 DVD 租赁 有时间因素 考虑用微分方程 组 或偏微分方程 微分方程是作事物机理分析所谓 白箱法 相对有事物现象分析所谓 黑箱法 如回归分析 相 关分析 聚类分析等 随机因素突出 用概率与统计方法 此外还常用图论方法 计算机模拟 数据处理等方法 其中常用模拟方法 例如 DVD 租赁 对于 顾客 租 还 DVD 可作计算机随机模拟 事物有规律 有相似 可 套用例子 套用方法 1 4 2 特殊方法 解决复杂问题 往往需要有些 谋略 如常采取化简 转化等方法 以分类或分 步逐渐解决问题 或等价转化 如常用 离散化 方法 包括 实物离散化 如 2002 年 车灯线光源设计 可将光亮区曲面离散化为许多小方形 曲线离散为 点 数学离散化 如解微分方程用离散化方法 等价转化的例子如 2000 年 DNA 序列分类 如何分类 可由 DNA 碱基含量统计分析 而提取特 征代码分类 再就是发现任一 DNA 序列存在惟一一条结构曲线与之对应 由曲线几何特征来分类 常 用的转化法 特征转化 同构转化 同态转化这些是数学中重要的思想方法 1 4 3 建立模型 按建模思想 运用选择的数学方法 通过一定的假设具体建立模型 模型因素 参数 符号化表示 运用假设 各条假设中有一类是 方法假设 即是根据方法的需要而提出的假设 如煤矸石问题 假设 a 55 90 等 数学建模竞赛最常用的模型是线性规划模型 因而建模总要先往这方面考虑 其一般规律 由问 题建立 目标函数 由条件建立 约束条件 例如车灯线光源设计基本模型 125第 5 期 李以渝 数学建模思维方法论 minw 0 t t0 s t hB 1 w 2 hC 1 1 2 其中 w 为线光源总功率 hB 1 hC 1 为在测试屏上 B C 点反射光强度 此例形式上有典型性 1 5 求解模型 数学建模的主要困难包括 分析问题 建立模型 求解模型 模型往往只是一个形式化表示 如式 2 如何求解 笔者总结出线性规划模型具体求解有两种方法 一是 理论算法 如 1998 年 基金投 资问题 对其线性规划模型直接用 Lingo 软件 编程 算出解 但大多数线性规划模型参数多 关系复杂 或仅是形式化表示 不易或不能直接求解 于是常用的方法是 实际算法 如 穷举法 这是通过具体的计算 如分区间 获得最优或较优解 即这不是计算线性规划本身了 这里有一个重要的思维方法 许多参赛者习惯思维是寻求理论解 其实由于问题复杂 加之时间紧迫 在 计算机时代 更好的思维是用计算机试算 试验 模拟 求实际解包括数值解 图形解等 证明法 试算 猜察 归纳结论 然后证明 如解 车灯照明设计 模型 2 式 是归结出 W0 1 hC 10 2 hB 10 证明 w0即为问题的最优解 构造法 如 2000 赛程安排问题 对于 间隔场次数上限 的线性规划模型约束条件太复杂 则 可具体分参赛队数 n 为奇数与偶数进行构造性证明 即具体生成 优化变量 如 煤矸石堆积 求最优解可将线性规划目标函数中 Xi 第 i 年征地量 的所有系数 称为 决策变量 具体算出 i 1 2 20 的决策变量值 由此数列的单调性 递增 得结论 第一年征 得 20 年用地面积总费用最低 1 6 结果分析 数学建模竞赛是一项 小型 科学研究 需要自己对自己的模型及结果进行分析 包括正确性 可行 性 适应性 经济性 创新性等方面 正确性 结果的正确性可理论证明 也可通过实际证明 即符合条件 下满足题目要求 这也是可行性分析 适应性 是指分析实际某些因素 尤其关键因素 有若干变化对模 型的影响和结果可能的变化 理论性 可分析本模型及结果的理论意义 即理论上的发展 所用方法或公 式的复杂性估计 实践性 分析实际中的作用 改进与优化 及其经济性怎样 创新意义 即本文的创新 特色 2 思维原则 上述研究过程中有若干思维规律 思维原则 2 1 简化原则 这是基本思维原则 同样是解决问题 简单比复杂好 如 问题简化 包括改变对问题的表述形式 等 条件简化 如煤矸石问题将 55 合理简化为 55 将不规则的堆积形状简化为规则的棱形与圆 锥形 方法简化 如离散化 分区域 分时段 例如变力作功问题可分段处理变成常量问题 2 2 假说原则 这是科学的认识与方法论原则 科学是通过假说的形式来概括问题 建立模型 解决问题 说明 建 模不是 照像 而是有许多人的主观能动性 创造性 2 3 实际原则 充分了解实际情况 一切从实际出发 是数学建模的基础和基本思维路径 2 4 渐进原则 从特殊到一般 定性到定量 具体到抽象 部分到整体 简单到复杂 模仿到创造 3 思维方法 上述研究过程 思维过程中贯穿着运用各种思维方法去分析问题 解决问题 126大 学 数 学 第 23 卷 3 1 逻辑思维 数学建模如何思维 其基本思维方法 规律是 分析法 这就是贯穿在对条件 因素分析 之中的 由因导果 综合法 这就是贯穿于对结论 目标分析 之中的 执果索因 逻辑思维的要点 一是 严密性 二是 完备性 即在因素分析或目标分析中 从鱼翅图看如 1 式 纵向各因素之间 一环扣一环 的严密 横向各因素 不缺 不多 的完备 三是 比较法 因素 概念 的比较区分 如 煤矸石堆积 中重要的是分析比较出 用地量 与 征地量 不同概念 可见 逻辑思维是一张网 3 2 抽象思维 数学建模是做研究 做理论 这就要求抽象思维 其思维要点是从特殊到一般 从感性到理性 包括 将问题进行重新表述抽象出其数学实质 在抽象的层面 数学 上分析问题解决问题 将具体问题 因素 等上升为概念 定义 假设 将具体关系 结论上升为定理 3 3 形象思维 数学建模问题常常有图形 如 1998 灾情巡视路线 图 1999 煤矸石堆积 图 2000 钢管订购与运 输 图 空洞探测 图等等 理解问题 分析问题都需要形象思维 研究问题的一个技巧是尽量将问题直观化 即数学建模研究之初需要弄清问题的直观背景 建立直 观形象 便于认识问题 分析问题 进而再到抽象的图像 模型 又如层次分析法的树形图 鱼翅图等也是 较好的直观分析方法 有了直观化 进一步需要重视研究问题的直观特征 特殊性 如 煤矸石堆积 可从堆积图形中发现 其特殊性 是棱锥体与圆锥体的结合 直观分析还可用图论等较直观的方法 以及运用计算机模拟成像 的直观分析法 如 车灯线光源设计 对测试屏上反射光亮区及分布图的模拟研究 3 4 创新思维 数学建模竞赛一个显著特点是 非标准化 问题不标准 答案不唯一 使其内在地具有创造性 这 就要求参赛者首先要有创新意识 追求出新 数学建模出新的地方如研究角度新 思路新颖 理论出 新 方法创新运用或结果出新等等 创新思维 常用 发散思维 如要弄清问题必须回到实际 然后发散开来 找出尽量多的相关因素 又如相互讨论 启发的发散思维 常用 综合思维 将搜集的资料 自己的想法加以综合 联想思维 包 括横向的问题联想 寻求启示产生思路 方法联想 找到合适的方法 模型联想 模型有其一般性 规律 性 纵向的已知条件与结论之间关系联想 猜想 发挥想象力 如直观想象 特征想象 关系猜想 结果 猜想等 猜想是在已有的研究中孕育出来的 反向思维 从不同的角度研究问题 跳出定势 习惯 误区 研究问题 4 思维技巧 数学建模研究思维过程展开 思维方法运用中还有若干技巧 4 1 如何 入手 的技巧 研究问题如何入手 常有这样的思维技巧 从已知出发 从目标出发 从实际出发 和 从类似 例子出发 以及 从试算入手 等 我们特别强调 回到实际 即回到问题实际的场景 背景 时间 地点 等各种因素 关系 意义之中 包括实际调查 动手试验 例如 车灯线光源设计 可找一小车做光线投射 试验 实际化 还指数学建模的一个基本思维方法是 考虑实际 符合实际 如 煤矸石堆积问题 考虑 国家对征地现行政策 车灯线光源设计 考虑国家标准 规范 问题复杂 一个研究技巧是各个因素 各个问题尽量具体化 在寻求解题思路时 可先具体试算 如 煤矸石堆积 具体算一年的用地量 公交车调度 具体试算 6 00 到 7 00 的发车表 具体试算 易 于进行 以及从中熟悉问题 进而总结一般规律 4 2 提假设的技巧 按提假设的目的可将假设分为两类 情况假设 将实际问题 实际情况明确 这是进一步分析问题 127第 5 期 李以渝 数学建模思维方法论 解决问题的基础 方法假设 为模型方法的需要 基础 如 煤矸石堆积 假设 原煤年产量理解为去掉 矸石的净产量 20 年只堆一个矸石山 银行利息为复利 等等为 情况假设 而假设 55 90 等为 方法假设 如何提假设 由假设的上述规律 在研究中使各主要因素都确定 这就产生情况假设 再结合方法 需要产生方法假设 提假设要具有 实际性 提假设要符合实际情况 和 合理性 提假设要有依据 有道理 4 3 做理论的技巧 数学建模论文是一篇具有一定理论性的文章 这就需要 做出理论 这就要求克服 从特殊到特 殊 就事论事 的局限 而要 从特殊到一般 包括提出概念 理论分析 建立定理 加以证明等等 例如 车灯线光源设计 有论文提出 光照度分布函数 光迹追踪法 多曲面反射器 等新概念 新理论 新技术设想 要使文章富有理论性还有一个技巧是尽量运用已有的理论成果 通过上网等方法快速查找资料 是 研究问题出成果的重要技巧 如 车灯线光源 A 题 获全国一等奖的论文 其参考文献 汽车前照灯的 光学设计 全国照