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定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法难点：定积分换元条件的掌握重点：换元积分法与分部积分法由牛顿莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的1定积分换元法定理 假设(1) 函数在区间上连续；(2) 函数在区间上有连续且不变号的导数；(3) 当在变化时，的值在上变化，且，则有 (1)本定理证明从略在应用时必须注意变换应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分例1 计算解 令，则当时，；当时，于是 例2 计算aaOxy解 令，则当时，；当时，故 图58 显然，这个定积分的值就是圆在第一象限那部分的面积(图58)例3 计算解法一 令，则当时，；当时，于是解法二 也可以不明显地写出新变量，这样定积分的上、下限也不要改变即 此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限例4 计算解 注去绝对值时注意符号 =例5 计算解 设，则当时，；当时，= 例6 设在上连续，证明：(1) 若为奇函数，则；(2) 若为偶函数，则证 由于,对上式右端第一个积分作变换，有故(1) 当为奇函数时，故(2) 当为偶函数时，故利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值 例如2定积分的分部积分法设函数与均在区间上有连续的导数，由微分法则，可得等式两边同时在区间上积分，有 (2)公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中与是自变量的下限与上限例7 计算解 令，则故例8 计算解 例9 计算解 =例10 计算解 即 注移项得故 例11 计算解 先用换元法，令，则 当时，；当时， 于是再用分部积分法，得小结：1定积分换元积分定理：假设(1) 函数在区间上连续；(2) 函数在区间上有连续且不变号的导数；(3) 当在
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