多元非线性数据拟合模型的数学推论及其回归方程的计算机拟合.pdf

1 e一 第 7卷第 4 期 1 9 9 2年 1 2月 袭 楔挈 1 锄 懒毳 数 据 采 集 与 处 理 J o u r n a l o f Da t a Ac q u i s i t i o n P r o c e s s i n g 寺 叭合 V01 7 No 4 De c 1 99 2 多元非线性数据拟合模型的数学 推论及其 回归方程的计算机拟合 方 中行 南 昌航 空工业学 院 摘 耍 本文推论 了多元非线性 数据拟台的通用数学模型 利用精小二乘法和极值原理 导出求解多元 非线性 回归方程 的规 范方 程组 井用矩 阵形式对规 范方 程组进 行表述 在 所表述 的诸矩 阵 中 结构 矩 阵是其基础 用它可方便地转化出其他矩阵 这将大大简化程序的编制和规范方程组的解算 计算机 根据输入数据 自变量的个数和实验所作次数的多少 求解出相应的多元非线性回归方程爰其评估方 程质 量的 数据 一 前 言 根据科学实验和工程技术 实践 的需要 作者在近几年对课题 离散 数据分析及其 回归方程 的计算机 拟合 的研究 中 解决 了多元非线性 回归方程的拟合 问题 即对其 拟合模 型进行了推 导论证 建立 了多 元非线性通用的数学模型 利 用矩 阵理论对规范方程组进行 表述 和求 解 程 序简短 求解迅速 计算机在输出方程的同时输出方程的可信赖度和利用方程进行预测或预算 时的精确度 如果说课题 离散数据分析及其 回归方程的计算机 拟合 的研 究成果 是数理统 计理论 工 程实践和 计算技术 三者结合 的产物 则 多 元非 线性 回归 方程的拟合 乃 是其 中的主要 深 入部 分 二 数学模型 多个 自变量对固变量的影响是非线性 的 其数学模型可看成 由三部分组成 各 自变 量单十 变化 的影响 各 自变量 自乘方次的影响和各 自变量互相 组台的影 响之和 因此 其 数学模 型则 是 l 一 k b t j t z f z l1 z I t l c c 其中 m 自变量个数 也是 自变量的最高幂次 本文子 1 9 9 1 年 9月 1 2日收到 1 的2 年 1月 4日收到惨改稿 维普资讯 I 第 4期 方 中行 多 元非 线性数据 拟 台模型的 数学推论 厦其 回归方程 的计算 机拟舍 2 47 实验 所作次数 l 2 N 一 1 2 m 如果 不考虑各 自变量 自乘方次 的影响 其数字模型应该是 口 6 i l I 2 2 一 r 在前述课题研究中 曾用多种实验数据 采用上述两种不同的数学模型进行回归方程的拟 合 证 明式 1 更能准确地反应变量之间 的关 系 因而对多 元非线性 数据的拟合 应采用式 1 所示的数学模型 为好 但如实验次 数不多 不能满足 口 而 又符合 乞 l时 也 可采 用式 2 进行拟合 上述 Q为多元非线性 回归方程项数 且 口一 一m l 三 规 范方程 组 如有这样一组实验数据 矗 t i 一1 2 同时 N Q 毛 毛 为 自变量 为固变量 它们 之间的关系为非线性 的 采用式 1 模型来近似 表达数据间的变化关 系 一 r I l z I j l I t 它 与实验值之差 为 n 一 一 为了使差值最小 利用最小二乘法和极值原理 先去掉 6 和 6 的原下角和上角 再按各项 先后顺序命名为 6 o 然后 轮流对 6 I 求偏导数 并 使之等于零 则有 肼一 一 一1 i l r 一 一 壹 z 壹 壹 一 一 未 善暑 l t 一 2 b n o x 1 6 1 6 1 一 卸 矗 一l 2 6 o 毛 a 1 a 一 l a k l 2 a 1 6 J 1 6 毛 1 毛 6 1 砖 毛 6 2 l 2 2 就 J 2 6 I 1 2 一 蠹 毛 1 矗 一 l l b nz 6 f j l 6 卜 l 一 z 1 z 武 维普资讯 2 4 8 数据采集与处理 第 7 卷 再继续求导 可得规范方程 组 L 一 m 式中 L 一 2l 口 b 1 o 6 z 6 6 6 s l l l l i t 一 6 z i D 4 6 一 l 一 l 一 l 一 6 z 6 l t k 畦 一 I I 6 矗 I l 罐 6 矗 m m r 工 一 矗 2 新 一 一 Z i I Z i af 6 1 1 t l l I N 砖 葺 1 矗 1 z k l l l 毛 i 1 1 砝 z 畦 日 6 矗 1 Z i 2 h 一 t 一 叠 一 t I I l I I 圮 一 z 矗 s 硅 最 z l l 甩矩 阵对 规范方程组进行表 述 可 以看 出该矩阵为 一对称矩 阵 用 表 示 为 规范 方程组的 系数矩阵 t 一 6 最 6 r 一 6 Z Z Z Z 矗 Z Z Z 一 2 缸 Z 一 k 最 Z Z O 维普资讯 第 期 方 中行 多元 非线性 数据 报告 模型 的数学 推论 及其 回归方程 的计算机 报告 2 4 9 l A 2 i A s j A 6 i A 日 i A l i l a i 4 1 1 i i A i 2 3 i i 一 也 一 z z 一 一 一 蠢 一 e一 一 靠 一 一 一 A l s 一 m s 一 z I z 畦 最 一 z z z z l 矗 z l z t I o Z I m z 矗 N z m 一矗 I 畦 a 规 范方 程组 的结构矩 阵 x为 x一 i x x x s x x 5 i xl 3 x 式中 一 l J z l 如I 工 一 t J 噩 一 商 塌 一 L z l H x 5 l x 一 墙 墙 x t 轧 畦 矗 z xB 昌 xB j xl o i x l l i l l 1 z r 靠 瑞 l 玮 墙 r t Z Z rL l l 一 中 式 维普资讯 2 50 X 一 z i 一 l Xl o 一 X i l X i I 一 l a Xl 2 一 X l 3 l 2 I 数据采集与处理 z 一 zl XZ l Z Z 2 Z 2 1 Z I3 2 Z2 X1 一 Z l 2 o o z 2 2 h 根 据结构矩 阵 则系数矩阵 A为 一 F 一 规范 方程 组右边 的常数项 矩阵 G为 l l l z 0 l 一 一 l x t 1 2 I Xl l z l z l l 2 z z i l z l l r I l l l 一Fy l L I 2 蕾 回归方程的系数矩 阵 B为 1 l z f z l Xb l z 2 J X l I X I 2 l z 1 C NI E YZ z J 第 7卷 l J J 一 一 一 靠 碍 轴 卸 卸 卸 L J 卸 玮 l 维普资讯 第 4期 方 中行 多元 非线性 数据 拟 台模型 的数学推 论及 其 回归方 程的计 算机 拟台 2 5 1 肚 J 四 解算规范方程组 的程序框 图 程序框 图见第 2 5 2页 参 考 文 献 上 海师范 大学 概率统 计教研 室编 回归分析及 其试 验设计 上海 教 育出版 社 J 9 7 8 卜一 2 2 2白新桂 数据分 析与 试验优 化设计 清毕大 学 出版 社 1 9 8 6 5 9 1 3 0 3 洪再吉等译 非线性 回归模型统一的实用方法 南京大学出版杜 1 9 8 6 1 3 9 4 w a I p o I e R E My e r s R l P J 0 b a b i l c y a n d蚍a t t f o r e n e e r s a n d s c ie n t i s t s Ne w Yo r k Ma c Mi l l a n P u b l i s h i n g Co 280 3 33 5 程正兴 数据拟 台 西 安文通 大学 出版社 1 9 t 6 卜 9 6 9 西格荣德布兰特著 莫格生译 数据分析中的统计和计算方法 国防工业出版杜 9 8 3 7 7 1 8 7 I nf e r e n c e o f M a t h e ma t i c a l M o d e l o f Fi t t i ng M u l t i p l e No n l i n e a r Da t a a n d I t s Re g r e s s i o n Fi t t i n g b y Co m p u t e r F a n g Z H Na n c h a n g I n s t i t u t e o f Ae r o n a u t l c a l T e c h n o l o g y Ab s t r a c t I n t hi s p a p e r c o mmo n ma t he m a t i c al mo d e l of mu l t i p l e n o n l i ne a r d a t a f i 懈 n g j s i nf e r r e d A s e t o f no r ma l e q u at i o ns i s d e d uc e d f r o m us i n g t he me t h o d o f le a s t s q u ar e s a nd mi n i mum t h e o r y an d s o i s e x p r e s s e d i n a ma tri x f o r m Th e s t r uc t ur a l ma t r i x t r a ns f o r ms i nt o ot he r ma t r i x v e ry e a s i l y I t c a n b e u s e d C simp l i f y pr o g r a m d e s i g n a n d c a c ul a o n f t he g e t of no r mal e qu a t i o n s Ac c o r d i n g t h e n u m b e r of i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s t h