实矩阵正定性的简单判别方法.pdf

第2 l 卷第4 期 2 0 0 7 年8 月 高等函授学报 自然科学版 J o u r n a lo fH i g h e rC o r r e s p o n d e n c eE d u c a t i o n N a t u r a lS c i e n c e s V 0 1 2 1N o 4 A u g u s t2 0 0 7 文章编号 1 0 0 6 7 3 5 3 2 0 0 7 0 4 0 0 2 2 0 7 一0 3 实矩阵正定性的简单判别方法 白蒙蒙1 朱小琨2 1 北方工业大学理学院 北京1 0 0 0 4 1 2 华中师范大学学报编辑部 武汉4 3 0 0 7 9 摘要 对于实方阵的正定性的研究 已有多种方法 本文提出了一种判断实方阵 不一定对 称 正定性的简单方法 通过此方法 能有效的判别一个实方阵的正定性 关键词 实方阵 正定性 亚正定矩阵 中图分类号 0 1 5 1 2 l文献标识码 A 对于矩阵正定性的研究 无论是在理论上还 是在应用方面都有重要的价值 较早的研究主要集 中在对称矩阵的正定性上 随着一般非对称矩阵在 多方面应用的日益广泛 促使人们开始对实方阵 不一定对称 的正定性来进行研究 人们通过将非 对称阵加以 对称化 来解决与原来矩阵相关的问 题 1 9 3 6 年 K O J I N i F O P O B 用正定阵乘以原矩阵 使其乘积成为对称阵的方法 解决了概率论中的一 些问题 1 9 3 7 年 J o h n s o n 在其博士论文中研究了方 阵A 的对称化A A T 是正定阵的某些不等式 1 近 年来 使得A A T 为正定阵的这类实方阵A 称之 为亚正定阵 的重要性不仅在理论上 而且在应用 上 如投入产出的矩阵理论 现代经济管理等 日益 显示出来 并且引起越来越多学者的关注 2 屠 伯埙 3 李炯生 5 等人 对矩阵的亚正定性进行 了系统深入地讨论 给出了亚正定阵的基本性质 研究了它的行列式界限 特征值分布 讨论了它的 分解理论及标准型问题 并且指出一般实方阵亚正 定性的判断可以转化成对称实方阵正定性的判断 对称矩阵正定性的判断方法有很多 常用的有特征 值法 主子式法 惯性指数法 6 本文提出了一种判 断实方阵 不一定对称 正定性的简单方法 定义1 5 3 设A 是咒阶实方阵 如果对于任意 X 0 X R n 都有X T A x 0 则称A 是亚正定的 以下均设A 为7 阶实方阵 非必要时不另作 说明 显然 A 可以作如下分解 A R S 其中 R 一半 S A 下 A T R 称为矩阵A 的对称分量 s 称为A 的反对称分量 定理1矩阵A 亚正定的充分必要条件是A 的对称分量R 是正定的 证明 必要性 因为A 是亚正定的 所以对 任意非零的X R 均有 X T A x X 1 戤 X T S x 0 因为S T 一一S 所以 x T S x 一 x T S x T X T S T X 一一X T S x 即X T S x 0 所以对于任意非零的X R 有 X 1 R x X T I x X T S x X T A x 0 即对称矩阵R 为正定的 充分性 因为R 正定 所以对于任意非零的X R 有 X T I x 0 由上述必要性的证明可知 X T R x X T R x X T S x X A x 0 所以A 是亚正定的 证毕 定理2如果矩阵A 一 a 正定 则a 0 i 一1 2 以 证明因为A 正定 所以对任意的X 0 x 有X T A x 0 若存在某个a o 1 咒 取X 为第 个 收稿日期 2 0 0 7 0 6 0 6 作者简介 朱小琨 1 9 5 5 一 男 副教授 主要从事基础数学教学与研究工作 2 2 万方数据 第2 1 卷第4 期 2 0 0 7 年8 月 高等函授学报 自然科学版 J o u r n a lo fH i g h e rC o r r e s p o n d e n c eE d u c a t i o n N a t u r a lS c i e n c e s V 0 1 2 1N o 4 A u g u s t2 0 0 7 分量等于1 的单位向量 则有X T A x 一以西 0 与 A 正定矛盾 所以 i 0 i 一1 2 n 证毕 定理3设对称矩阵 A 一 a i i n n 甜 则A 正定的充分必要条件是A 卜 一型正定 且 a d 0 i 一1 2 咒 证明 若a 0 则存在可逆矩阵 c f 1 a 1 1 1 0E 卜 J a l l 0 使得P A c loA 一型l 显然P 为实对称矩阵 充分性 因为a o 所以a o 从而P 存在 因为A 什 一一S T 正定 所以存在可逆矩阵C l 使 研 A 一竺生 c i E 令C o 一 苫1 则有 簖 觚 一R 所以A 正定 必要性 由定理2 得 以i o i 一1 2 2 则P 存在 又因为A 正定 所以 a i l 0 11 C 一型a l lJ 正定 即对任意x 0 x R 都有 卜 哎b Io 一哎卜 0 取x 一 其中y y R 州时 上式成 立 则有 j 7 T A 一型 y o 所以A 卜 一堕正定 证毕 根据定理1 非对称矩阵的正定性问题可以转 化为对称矩阵 即对称分量的正定性问题 对于对 称矩阵A 根据定理2 当A 中存在某个a O 1 i 时 矩阵非正定 当a i 0 i l 2 时 判断A 的正定性可转化为判断比A 低一阶的矩阵 A 什 一竺 的正定性 同理 在A 一型中 当吼 1 l口1 1 0 时 矩阵A r 一型正定性的判断可以转化为一个 Z l l 挖一2 阶矩阵的正定性的判断 反复运用定理 直至矩 阵阶数为1 这种正定性的判断方法 不仅操作简单 而且节省计算量 比传统的判断方法更有优势 根据上述讨论 判断矩阵正定性的计算流程 图如下 初始化 给出n 阶方阵 忙 k 未 r 钆t l r i 1 其中征 1 鼠一l 是n 维向量 A 是凡 1 阶方阵 l 手 断 N 一 A T A I 冬 A o 用 2 覆孟A r Y t 1 1 名j N 网 絮 岁 7 世鉴广一 Y l N 囡 Y l 有n 一1 阶方阵 曰山一学 t 回 l 用口覆盖屯I 结束 例题判断下列矩阵的正定性 A 2 321 4 03 31 113 1 2 1 33 解A 的对称分量 R 一半 2 3 万方数据 第2 1 卷第4 期 2 0 0 7 年8 月 高等函授学报 自然科学版 J o u r n a lo fH i g h e rC o r r e s p o n d e n c eE d u c a t i o n N a t u r a lS c i e n c e s V 0 1 2 1N o 4 A u g u s t2 0 0 7 31 一1 因为R 正定 根据定理l 即有A 亚正定 13 1O 1 1 参考文献 一l O 3 1 J o h n s o nHR A ni n e q u a l i t yo fm a t r i c e sw h o s e 根据定理 3 s y m m e t r i cp a r ti s p o s i t i v ed e f i n i t e J L i nA l g A p p l 1 9 7 3 6 1 3 1 8 7 3 00 3l1 1 0 41 2 孙家昶 齐远伟 条件正定矩阵及其在多元插值计算 13 10 33 中的应用 J 计算数学 1 9 8 9 4 3 8 6 3 9 3 R 一 一 4B4一 3 屠伯埙 亚正定阵理论 I J 数学学报 1 9 9 0 1 131 O 一一0 33 3 3 4 4 6 2 4 7 1 一l O13 48 4 屠伯埙 亚正定阵理论 1 I J 数学学报 1 9 9 1 0 33 3 4 1 9 1 1 0 2 3000 5 李炯生 实方阵的正定性口 数学的实践与认识 3 00O 1 9 8 5 3 6 7 7 3 o O0 8 0OO 6 北京大学数学系几何与代数教研室 高等代数 M 3 OO 2 3 北京 高等教育出版社 2 0 0 3 一 9 002O 3及O0 o 萼 OO 28 上接第1 5 页 的严重影响 检查的时间间隔可临时缩短 但次数 应频繁 甚至每日进行检查或派员驻现场督阵 2 整理统计检查数据 收集到的施工项目实际进度数据 要进行必 要的整理 按计划控制的工作项目进行统计 形成 与计划进度具有可比性的数据 相同的量纲和形 象进度 一般可以按实物工程量 工作量和劳动消 耗量以及累计百分比整理和统计实际检查的数 据 以便与相应的计划完成量相对比 3 对比实际进度与计划进度 收集的资料整理和统计为具有与计划进度可 比性数据后 用施工项目实际进度与计划进度进 行比较 比较方法通常有 横道图比较法 S 型曲 线比较法和 香蕉 型曲线比较法 前锋线比较法 和列表比较法等 通过比较得出实际进度与计划 进度相一致 超前 拖后三种情况 4 施工项目进度检查结果的处理 施工项目进度检查的结果 按照检查报告制 度的规定 形成进度控制报告向有关主管人员和 部门汇报 进度控制报告是把检查比较的结果 有 关施工进度现状和发展趋势提供给项目经理及各 2 4 级业务职能负责人的最简单的书面形式报告 进 度控制报告是根据报告的对象不同 确定不同的 编制范围和内容而分别编写的 一般分为项目概 要级进度控制报告 项目管理级进度控制报告和 业务管理级进度控制报告 施工项目进度控制的程序如上图所示 当然 公路工程项目的进度控制是一个综合 动态的过程 需要时时地进行控制 其中的控制原 理 控制方法都有待于进一步研究和总结 以上只 是笔者所作的一些粗浅分析 目的是想更好地作 好公路工程项目施工进度控制 参考文献 1 陈传德 公路建设项目管理手册 M 北京 人民交通 出版社卫0 0 0 3 2 4 1 2 邬晓光 工程进度监理 M 北京 人民交通出版社 1 9 9 9 7 8 9 1 3 韩萧蔓 等 谈公路工程施工过程中的进度控制管理 J 山东交通科技 2 0 0 0 1 4 白宇飞 浅谈加强施工项目进度控制 J 建筑管理现 代化 2 0 0 3 3 3 5 万方数据 实矩阵正定性的简单判别方法实矩阵正定性的简单判别方法 作者 白蒙蒙 朱小琨 作者单位 白蒙蒙 北方工业大学 理学院 北京 100041 朱小琨 华中师范大学 学报编辑部 武汉 430079 刊名 高等函授学报 自然科学版 英文刊名 JOURNAL OF HIGHER CORRESPONDENCE EDUCATION NATURAL SCIENCE EDITION 年 卷 期 2007 21 4 被引用次数 0次 参考文献 6条 参考文献 6条 1 Johnson H R An inequality of matrices whose symmetric part is positive definite 1973 2 孙家昶 齐远伟 条件正定矩阵及其在多元插值计算中的应用 1989 04 3 屠伯埙 亚正定阵理论 1990 04 4 屠伯埙 亚正定阵理论 1991 01 5 李炯生 实方阵的正定性 1985 03 6 北京大学数学系几何与代数教研室 高等代数 2003 相似文献 7条 相似文献 7条 1 期刊论文 张纯根 米英 彭新峻 汪轩亭 实方阵的次正定性 铁道师院学报 自然科学版 2002 19 3 定义了实方阵的次正定性 给出实方阵的次正定性的一些性质 2 期刊论文 衡美芹 仓义玲 实方阵的半正定性 牡丹江教育学院学报2006 2 本文给出了实方阵半正定性的概念 并且讨论了它的一些性质及给出了一些充要条件 3 期刊论文 曹莉莉 CAO Li li 实方阵的次正定性 重庆师范学院学报 自然科学版 2001 18 1 设A为n阶实矩阵 不一定对称 若对任意非零向量X x1 x2 xn T Rn 均有XSTAX 0 其中XST表示X的次转置 1 则称A是次正定方阵 给出了实方阵 次正定性的几个充要条件 n阶实方阵是次正定的充分必要条件是 1 n阶实方阵JA正定 2 A的次对称分量S是次正定的 3 存在n阶可逆方阵P使PSTAP为次 对角行矩阵 4 存在n阶可逆矩阵P 使PSTSP J 4 期刊论文 吕智奇 伍彩云 LU Zhi qi WU Cai yun 利用实方阵判定二次型正定性的新方法 沈阳理工大学学报 2005 24 2 基于二次型与矩阵的密切关系 对一般实方阵的正定性 给出判断方阵正定性的一些充分必要条件 从而得到判断实二次型正定的简便方法 5 期刊论文 殷庆祥 YIN Qing xiang 关于实方阵的正定性 数学的实践与认识2001 31 2 本文研究一般实方阵的正定性 给出了方阵正定的一些充分必要条件 6 期刊论文 詹仕林 关于实方阵的正定性与规范性的进一步拓广 数学的实践与认识2004 34 7 对亚正定矩阵类与实规范矩阵类作进一步拓广 得到一个新的矩阵类 亚规范矩阵 研究了它的等价条件 合同下的标准形