列方程解决平面图形问题.doc

_列方程解平面图形问题一、引入。同学们，下面这道平面图形问题你会解答吗？已知图1中平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影三角形面积是多少平方厘米？1学生尝试解答。学生可能出现如下两种解法：根据平行四边形的面积是48平方厘米、高是6厘米，可以求出平行四边形的底；三角形的高和平行四边形相同，底比平行四边形少5厘米，所以求出平行四边形的底，就能求三角形的面积。486=8（厘米）（8- 5）62=9（平方厘米）这个三角形只给出了高，它的面积不能直接计算出来，可先把平行四边形分割成三部分（如图2），因为两边的两个三角形面积是相等的，中间的长方形面积又可求，所以阴影三角形面积等于（48-56）2=9（平方厘米）2引导学生用代数方法解决问题。第一种方法通过逆向思考，先求出平行四边形的底，再求出三角形的面积；第二种方法利用图形的特征，对图形进行巧妙地分割。解决这个问题还可以用代数方法，设三角形的底为a，根据平行四边形面积为48，高为6，可列出方程： （5+a）6=48解方程，求得 a=3所以三角形面积为362=9（平方厘米）这是一道比较简单的问题，用上述三种方法都能解决。如果是比较复杂的问题，用算术方法解决会非常困难，而代数方法会越来越有优势。这一单元我们就一起来研究列方程解平面图形问题。例1：长方形ABFE的宽是8厘米，如果长增加4.5厘米，得到新图形ABCD的面积是168平方厘米。如下图，求原长方形的面积。由于新图形的宽与原长方形相同，学生会逆向思考，求出新长方形的长，用算术方法解决问题。1688=21（厘米）（21-4.5）8=132（平方厘米）根据题意，新长方形的长比原长方形的长多4.5厘米，我们可以利用这一关系设未知数，利用新长方形的面积是168平方厘米列方程。解：设原长方形的长为x厘米，根据题意列方程得： （x4.5）8=168 x4.5=21 x=16.516.58=132（平方厘米）答：原长方形的面积为132平方厘米。由于长方形的长是未知的，用算术方法解决问题需要逆向思考，根据面积求出边长；而代数方法则是用字母表示未知数量，直接应用面积的计算方法列出方程。在解决复杂问题时，用代数的方法，正向思考会更简单。例2：在长方形ABCD中，放入6个形状、大小相同的小长方形（如图），求小长方形的宽。题目中大、小长方形长与宽的关系比较隐蔽，我们必须认真观察图形，找到数量之间的关系。请同学们认真观察图形，你发现小长方形的长、宽，大长方形长、宽与已知数据之间有哪些关系？通过观察，引导学生发现：小长方形的长+3个小长方形的宽=大长方形的长=14厘米，小长方形的长+小长方形的宽=大长方形的宽，2个小长方形的宽+6厘米=大长方形的宽。如果设小长方形的宽为x厘米，根据上面的关系式你能找到相等的关系吗？由小长方形的长+3个小长方形的宽=大长方形的长=14厘米可以表示出小长方形长为143x厘米，再根据小长方形的长+小长方形的宽=大长方形的宽，可以表示出大长方形的宽为143xx=142x厘米；根据2个小长方形的宽+6厘米=大长方形的宽，大长方形的宽还可以表示为2x6厘米。利用宽相等可以列出方程。解：设小长方形的宽为x厘米，根据题意列方程为：142x=2x6 4x=8 x=2答：小长方形的宽为2厘米。题目给的条件比较少，同学们要注意从图中挖掘隐蔽条件，从图形中分析出大长方形的宽可以用142x和2x6两种方式表示，根据这一等量关系列方程解答。例3：如图，将一个三角形纸片折叠一下（如下图），原来三角形的面积是现在纸片盖住面积的1.5倍。如果阴影部分的面积是1平方厘米，那么这个三角形的面积是多少平方厘米？折叠后图形中出现了重叠部分（四边形DEFG），所以图形的面积变小了。观察图形，你能发现变化前、后图形面积之间的关系吗？三角形ABC面积=阴影面积+2个重叠部分的面积，折叠后图形的面积=阴影面积+1个重叠部分的面积。解：设四边形DEFG的面积为x平方厘米。Xx1=（x1）1.50.5x=0.5 X=1三角形ABC的面积为：111=3（平方厘米）答：三角形的面积为3平方厘米。用代数方法解决问题，发现图形面积之间的关系，寻找到等量关系是解决问题的关键。而这些关系往往隐藏在图形之中，需要我们认真观察图形，挖掘出隐蔽的数量关系。例4：在直角三角形中截出一个面积最大的正方形（如图1）。求这个正方形的面积。（单位：厘米）直接观察图形，我们很难发现三角形与正方形之间的关系。在这种情况下，我们需要考虑添加辅助线，沟通图形之间的联系。连接BD后，就可以把大三角形分成两部分，即三角形ABD和三角形BDC，这两部分都与正方形有直接联系，正方形的边长是每个三角形的高，只要用字母表示正方形的边长，就能表示出每个三角形的面积。这样题目的等量关系就显现出来了：三角形ABC的面积等于三角形ABD与三角形BCD的面积和。解：设正方形的边长为x米。3x27x2=372x=2.12.12.1=4.41（平方厘米）答：这个正方形的面积是4.41平方厘米。直接观察图形，我们只知道正方形在三角形之内，他们之间的关系却很难发现。添加辅助线后，正方形与三角形之间就有了直接联系，等量关系也显现出来。用代数方法解决比较复杂的平面图形问题，添加辅助线是我们经常采用的方法。例5：如下图，梯形ABCD的面积是45平方厘米，下底AB长10厘米，高EF长6厘米，三角形DOC的面积为5平方厘米，求三角形ABO的面积是多少平方厘米？通过分析，学生可能会用算术方法解决问题。要想求出三角形ABO的面积，需要求出高OF，因为已知梯形的高EF为6厘米，所以只要求出三角形DOC的高OE即可。三角形DOC的面积已知，求它的高，需先求出DC的长度，而DC的长度可由梯形的面积公式求出。4526=15（厘米）52（15-10）=2（厘米）10（6-2）2=20（平方厘米）如果设梯形的上底DC长x厘米，你会列方程解决问题吗？解：设DC边长x厘米（x+10）62=45解方程得x=5根据三角形DOC面积为5平方厘米，由三角形面积公式可以求出OE的长：525=2（厘米）所以OF=62=4（厘米）三角形ABO面积=1042=20（平方厘米）如果设三角形ABO的面积为x平方厘米，你会列方程解决问题吗？整体观察图形可以发现，三角形ABC与三角形ABD是等高同底的三角形，它们的面积必相等。在这两个三角形中，显然三角形ABO“重叠”一次，如果加上已知的三角形DOC的面积，正好是梯形ABCD的面积又多了一个三角形ABO的面积。所以：三角形ABO面积+梯形ABCD面积=三角形ABD面积三角形ABC面积三角形DOC面积解：设三角形ABO的面积为x平方厘米。X+45=10622+5X=20所以，三角形ABO的面积为20平方厘米。本题用算术方法解答，需要逆向思考，两次运用面积公式计算边的长度，用代数方法解答就可以回避逆向思考带来的麻烦。我们介绍了两种代数方法，第二种方法更简单，需要我们有整体观察发现图形面积之间关系的能力。例6：如下图，在三角形ABC中,D为BC边中点,BF= AB,已知四边形BDEF的面积是35cm2。求三角形ABC的面积。 通过以前的学习，我们知道如果两个三角形的底、高有关系，它们的面积之间就有关系。为了便于比较图形面积之间的关系，我们连接BE。通过观察比较，你能发现哪些三角形面积之间的关系？ 因为D是BC的中点，所以三角形BDE的面积=三角形CDE的面积，三角形BDA的面积=三角形CDA的面积；因为F是点，所以三角形AEF的面积=2倍三角形BEF的面积。连接BE，设三角形BDE的面积为a，设三角形BFE的面积为b。因为BF= AB，所以SAEF=2SBEF=2b因为D为BC边中点，所以SBDE=SCDE=aSBDA=SCDA=a3bSBAE=SCAE （等量减等量差相等）设三角形ABC的面积为 “1”思路一：2b+3b=2（2a+b） 5b=4a+2b3b=4a SABC=10a a= b= a+b= 35=150cm2按照思路一也可以列出如下方程组思路二：（2a+b）3=（3b+a）2按照思路二也可以列出如下方程组答：三角形ABC的面积为 150平方厘米。在本题的分析中，通过添加辅助线，观察、比较图形的面积，我们发现了很多面积之间的关系，用代数的方法能够清楚地表示这些关系。在比较中我们主要应用了两个三角形高相同时，它们面积间的关系与底之间的关系相同。练习应用。1把一个正方形的两组对边分别减少5厘米和8厘米后，得到一个长方形，已知长方形的面积比正方形的面积少220平方厘米（如下图）。求正方形的面积多少？2如下图所示，有9张相同的小长方形卡片摆成一个大长方形.已知每个小长方形的周长为18厘米，短边长为4厘米，求大长方形面积是多少平方厘米？3下图中，梯形ABCD的面积为24平方厘米，AD=5厘米，BC=7厘米，求三角形ABD的面积是多少平方厘米？4如图，直角三角形ABC内有一个正方形BDEF。已知AB=3厘米，BC=4厘米，AC=5厘米，EG垂直于AC，且EG=0.3厘米，求正方形BDEF的面积。5六张大、小不同的正方形纸片A、B、C、D、E、F，拼成如右图所示的图形。已知正方形F（阴影部分）面积是256平方厘米，正方形A的面积是多少平方厘米？6如下图，正方形ABCD的面积是1，BF=AB，EC=BC。求阴影部分的面积。A B C D F E O 四、趣味驿站。完美长方形一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。下面长方形是由9个小正方形组成的完美长方形。已知正方形A和B的边长分别是7和4，你能算出这个完美长方形的面积吗？ 观察图形可以知道，完美长方形中相邻正方形的边长之间有着紧密的联系，若能用两种不同的形式表示同一个正方形的边长，或表示出完美长方形的长或宽，即可顺利列方程求解。为了叙述方便,我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如下图)。设最小的正方形边长为X，因为小正方形A的边长为7，小正方形B的边长为4，所以小正方形C的边长可以表示为7X小正方形D的边长可以表示为7XX=72X小正方形E的边长可以表示为7X4=11X小正方形F的边长可以表示为11X4=15X小正方形G的边长可以表示为15X4=19X小正方形H的边长可以表示为7X7=14X观察大长方形可知：