克莱因-戈登方程和狄拉克方程-黄鹏辉.pdf

1 目目 录录 1 摘 要 11 摘 要 1 2 光波和物质波方程的算符代换形式 12 光波和物质波方程的算符代换形式 1 一 一次光波方程一 一次光波方程 2 二 二次光波方程二 二次光波方程 2 三 薛定谔方程三 薛定谔方程 2 四 克莱因四 克莱因 戈登方程戈登方程 2 五 狄拉克方程五 狄拉克方程 3 六 相对论近似方程六 相对论近似方程 3 3 克莱因 戈登方程 43 克莱因 戈登方程 4 4 狄拉克方程 54 狄拉克方程 5 第一步 建立相对论方程的条件第一步 建立相对论方程的条件 5 第二步 待定系数能量动量关系第二步 待定系数能量动量关系 6 第三步 克朗内克第三步 克朗内克 函数函数 7 第四步 泡利矩阵第四步 泡利矩阵 7 第五步 狄拉克矩阵第五步 狄拉克矩阵 7 第六步 自由粒子狄拉克方程第六步 自由粒子狄拉克方程 9 第七步 力场中的狄拉克方程第七步 力场中的狄拉克方程 9 第八步 狄拉克方程的代数形式第八步 狄拉克方程的代数形式 10 第九步 负能量预言正电子第九步 负能量预言正电子 9 12 5 相对论波动方程的四维时空表示 135 相对论波动方程的四维时空表示 13 6 讨 论 156 讨 论 15 克莱因 戈登方程和狄拉克方程 克莱因 戈登方程和狄拉克方程 量子力学基础问题研究 二 量子力学基础问题研究 二 北京黄鹏辉 中山大学何纯挺 西安交大李伟校对 QQ及邮箱 644537151 QQ群 69657010 1 摘 要 1 摘 要 本文首先采用源自薛定谔方程的能量 动量算符代换方法 列出了所有可能的光波和 物质波方程 其中 一次光波方程 和 相对论近似方程 可能是作者第一次提出 作者 期望它们能有一些实际应用价值 而能量 动量算符的正负号成对出现 则是本文的重要 特色之一 本文首先采用源自薛定谔方程的能量 动量算符代换方法 列出了所有可能的光波和 物质波方程 其中 一次光波方程 和 相对论近似方程 可能是作者第一次提出 作者 期望它们能有一些实际应用价值 而能量 动量算符的正负号成对出现 则是本文的重要 特色之一 然后介绍了克莱因 戈登方程和狄拉克方程这两个相对论的物质波方程 其 中重点介绍了采用待定系数法推导相对论能量动量关系 并建立狄拉克方程的过程 以及 狄拉克把相对论中的负能量处理成正电子的思路 然后介绍了克莱因 戈登方程和狄拉克方程这两个相对论的物质波方程 其 中重点介绍了采用待定系数法推导相对论能量动量关系 并建立狄拉克方程的过程 以及 狄拉克把相对论中的负能量处理成正电子的思路 最后介绍了相对论波动方程的四维 时空表示形式 这通常是量子电动力学和量子场论的主要表示形式 最后介绍了相对论波动方程的四维 时空表示形式 这通常是量子电动力学和量子场论的主要表示形式 2 光波和物质波方程的算符代换形式 光波和物质波方程的算符代换形式 为了统一描述光波方程和物质波方程 这里首先引入两个最基本的算符 能量算符 E 动量算符及其分量算符 p xyzxyz pppppp i t E i p i x x x p p i y y p i z z p 2 1 然后对于任何一种可能得到的能量动量关系 用 E代换能量E 用代换动量 或 者用 代换动量分量 p p xyzxyz pppppp xyz ppp 这种算符代换方法可以很快得到如下方程 2 一 一次光波方程一 一次光波方程 光子的能量动量关系为Epc 可以写成 E cp 进行算符代换 就得到第一个光 波方程 这里 是否适用于麦克斯韦方程组的电场强度或磁场强度 还是个问题 EB 1 c t 2 2 这个方程在以前的光学或电磁学中没有介绍过 暂且称之为 一次光波方程 利用 波函数公式 sin Atkr c和关系式 k 可以验证 2 2 式是成立的 也 就是说 至少 sin Atkr 是 2 2 式的一个解 此方程的物理意义还有待于探索 作者在这里先提出三种猜测思路 第一 现在有一种观点认为 由一次能量动量关系得到的如薛定谔方程和狄拉克方程 是描述单个粒子行为的 而由二次能量动量关系得到的如 二次光波方程 和克莱因 戈登 方程是描述某种场的 是场方程 16 如果从这个角度理解 一次光波方程 就有可能是 描述单个粒子行为的 如果考虑到每一个波动方程其实都代表着一种粒子存在 即使是声 波方程 现在也创造了一个声子模型 这一点极富启发性 那么 一次光波方程 描述 某种新的粒子就是很有可能的 至于它描述的究竟是哪种粒子 则有待于探索 第二 这种粒子也有可能就是中微子 现在 有两个方程被看作是中微子波动方程的 候选者 1 一个是静止质量 0 0m 的狄拉克方程 另一个是 Weyl 方程 或许 一次光波 方程 也可以作为一个不错的候选者 第三 这个方程也有可能描述的是光或电磁波某种新的状态 当然 这些观点都只是猜测 具体情况还有待于理论的深入探讨和实验的验证 二 二次光波方程二 二次光波方程 光子的能量动量关系写成平方形式 222 Ecp 再进行算符代换 就得到第二个光 波方程 这个方程就是以前经典物理中介绍的标准波动方程 即亥姆霍兹方程 它是麦克 斯韦方程组的核心方程 也叫做光学标准波动方程 或许称之为 二次光波方程 更合理 其中的 可以是麦克斯韦方程组中的两个波函数 电场强度E或磁场强度B 2 2 22 1 ct 或写成 2 2 22 1 0 ct 2 3 三 薛定谔方程三 薛定谔方程 自由粒子的非相对论能量动量关系为 2 2 p E m 哈密顿算符为 2 2 2 m H 算符代换 得到自由粒子薛定谔方程 2 2 2tm i 2 4 如果用能量算符 E和哈密顿算符 表示 这种形式称为量子力学标准波动方程 H HE 2 5 力场中粒子的能量动量关系为 2 2 p E m V 对应的哈密顿算符为 2 2 2 V m H 因此 力场中的一般薛定谔方程 含时薛定谔方程 为 2 2 2 V tm i 2 6 四 克莱因四 克莱因 戈登方程戈登方程 3 由相对论的质能公式 2222 0 1v cEmcm c 和动量公式 22 0 1v vv cpmm 可 以得到自由粒子的相对论能量动量关系 2222 0 4 Ep cm c 2 7 算符代换就得到克莱因 戈登方程 222 2 0 222 1 m c ct 2 8 五 狄拉克方程五 狄拉克方程 薛定谔方程中的哈密顿算符换成 2 0 cm c iHa p 就得到相对论自由粒子狄拉克 方程 2 0 cm c iEa p 2 9 其中和 123 a a aa 是4 4 的狄拉克矩阵 哈密顿算符中再加入势能项V 就得到力 场中的狄拉克方程 2 0 cm cV iEa p 2 10 六 相对论近似方程六 相对论近似方程 当m不是正整数时 二项式 可在 m x 1 1 1 x 区间内展开为无穷级数 2 1 1 2 1 1 1 2 mn m mm mmmn xmxxx n 2 11 当 且 时 由 2 11 式可以得到 1 2m 0 1 x 2323 111 31 3 5135 11 22 42 4 628161 xxxxxx x 2 12 对于相对论质能公式 2222 0 1v cEmcm c 显然有 因此质能公式符 合 2 12 式的展开条件 可以展开为 22 v 0 1 c 24 22 00 00 24 22 vv135 v 2816 1v m cmm Em cm cc c 6 0 v 2 13 再结合动量公式 第一次数学近似 就可得到能量动量关系展开式 0 vpmm 2246 2 0 0 3254 22 000 135 2816 1v m cppp Em c mm cm c c 2 14 取前面两项 应该就是自由粒子相对论能量动量关系的一级近似 第二次数学近似 2 2 0 0 2 p Em c m 2 15 与自由粒子薛定谔方程的能量动量关系比较 可以发现这里多了一个 再进行算 符代换 就可以得到一个新的自由粒子相对论近似波动方程 2 0 m c 2 22 0 0 2 m c tm i 2 16 如果在力场中 那么相应的波动方程为 2 22 0 0 2 m cV tm i 2 17 4 2 17 式与一般薛定谔方程 2 6 式比较 也是多了一个项 当静止质量时 2 17 式就过渡到一般薛定谔方程 从方程的精确度来讲 因为薛定谔方程采用的是经典能 量动量关系 而 2 17 式采用的是相对论能量动量关系的一级近似 所以 2 17 式应该是 比一般薛定谔方程更精确的波动方程 从这个角度来讲 一般薛定谔方程似乎应该全面被 2 17 式替代 2 0 m c 0 0m 如果是这样 就有可能引出一个大的研究方向 即所有涉及到薛定谔方程的应用课题 都可以考虑用 2 17 式去替代 看能不能得到新的或精度更高的结果 更进一步 所有这些 涉及到薛定谔方程的应用课题 我们还可以考虑用狄拉克方程去替代 或许能够得到更多 意想不到的结果 不过 2 17 式还必须面对几个大问题 第一 2 17 式经历了两次数学近似 这可能 是它最大的问题 第二 薛定谔方程在其精度范围内的实际应用非常成功 2 17 式要想全 面替代薛定谔方程 还需要在实际应用中体现出其重大价值 第三 具有完全相对论精度 的狄拉克方程已经在实际应用中体现出了重大价值 这也给 2 17 式存在的必要性带来了疑 问和挑战 第四 在数学上看起来很合理的公式 在物理应用方面是否有重大价值 还须 经受多方面的检验 第五 还有一个挑战来自于这种 算符代换方法 的合理性 如果 2 17 式确实能够全面替代薛定谔方程 那么就说明这种方法是合理的 反之 可能就要谨慎使 用这种方法 这也正好是对这种 算符代换方法 的一个很好检验 当然 这些问题掩盖不了 2 17 式的优势 比薛定谔方程精度高 比狄拉克方程应用方 便 因为只要做代数运算 而不必做繁琐的矩阵运算 因此 2 17 式仍有存在的价值 3 克莱因 戈登方程 3 克莱因 戈登方程 克莱因 戈登方程和狄拉克方程都是采用的相对论能量动量关系 因此属于相对论的波 动方程 但是 现在关于克莱因 戈登方程的资料不仅少 而且都很简略 这表明克莱因 戈登方程的研究不够深入 其应用没有被充分开发 这里作者也只能简略地介绍几点 第一 薛定谔曾经用克莱因 戈登方程计算氢原子中的电子 结果不对 现在发现克莱 因 戈登方程是用来描述自由介子的 倪光炯和陈苏卿在 高等量子力学 357 页有对 介 子原子的相关计算 3 第二 由相对论性的能量动量关系 2 7 式可以得到 22 0 Ecpm c 2 3 1 于是就出现了负能量的状态 负能态不仅在克莱因 戈登方程中出现 在狄拉克方程中 也会出现 而且负能量还会导致克莱因 戈登方程出现负概率情况 负能态和负概率曾经造 成了量子力学的巨大解释困难 以致克莱因 戈登方程在 1926 年提出来后 被搁置了 10 年 之久 直到 1936 年 泡利和韦斯科夫用场论的方法 把负能态和负概率应用于反粒子 克 莱因 戈登方程才得到合理解释 这种解释显然受到了狄拉克处理负能量方法的启发 不过 因为作者至今没有看到泡利和韦斯科夫的原始著作 暂时还无法进行深入分析 2 第三 克莱因 戈登方程与薛定谔方程的第一个重要差别在于 薛定谔方程的能量动量 是一次关系 而克莱因 戈登方程的能量动量是二次关系 二次关系的问题在于做算符代换 时 会出现波函数对时间的二阶偏微分 而求解对时间的二阶偏微分方程 除了需要指定 起始时刻 的值外 还需要指定 t 的值作为初始条件 这样才能确定运动状态 这使得 克莱因 戈登方程不方便描述粒子的状态 4 7 第四 正因为克莱因 戈登方程的能量动量是二次关系 这就导致了它在处理有外场势 能V存在时比较麻烦 现在一般讨论的克莱因 戈登方程都是自由粒子方程 针对外场中的 波动方程情况 作者将在后续的论文中 专门对电磁场中的薛定谔方程 克莱因 戈登方程 和狄拉克方程做一个全面的比较分析 第五 作者还没有查到直接对克莱因 戈登方程求解的资料 现有资料在介绍克莱因 5 戈登方程的解时 一般都是直接沿用薛定谔方程的如下复指数解形式 其中A为振幅 3 i pr E t i krt AAee 3 2 第六 与定态薛定谔方程类似 定态克莱因 戈登方程是否具有价值呢 22 22 0 2 m c E 3 3 第七 刘希明和苏汝铿在他们的书中都推导了克莱因 戈登方程向薛定谔方程的过渡 不过作者认为这种过渡很勉强 不自然 2 5 罗马尼亚的康斯坦丁内斯库在他的 量子力 学习题与解答 中 则尝试了把克莱因 戈登方程转化为 2 5 式这样的量子力学标准波动方 程形式 11 这种探索也许有价值 因为有可能把克莱因 戈登方程纳入到量子力学标准波 动方程中来 我们看到 一次光波方程 是符合量子力学标准波动方程形式的 如果我们 也能够以某种方式把 二次光波方程 转化为量子力学标准波动方程形式 那么就有可能 以最简单的数学形式来描述所有的波动方程 第八 当静止质量 0 0m 时 克莱因 戈登方程 2 8 式过渡为麦克斯韦方程组中的二次 光波方程 2 3 式 由于麦克斯韦方程组是描写电磁场的方程 而薛定谔方程是描写单个粒 子的方程 这启发我们 很可能克莱因 戈登方程本质上也是个场方程 由于光子是自旋为 1 的粒子 所以麦克斯韦方程组描述的是自旋为 1 的场方程 而克莱因 戈登方程描述的是 自旋为 0 的场方程 这是克莱因 戈登方程与薛定谔方程的第二个重要差别 16 这里也存在另外两个问题 一 既然二次光波方程 2 3 式是描写电磁场的方程 那会 不会一次光波方程 2 2 式是描写单个光子的方程呢 二 既然薛定谔方程是描写单个粒子 的方程 那是不是还应该有描写电子场的方程呢 古普塔的 量子电动力学 73 页 就直 接把狄拉克方程看成是描述电子场的方程 不知是否合理 12 因为狄拉克方程与薛定谔 方程在形式上完全一样 只是哈密顿算符不一样 似乎狄拉克方程也应该是描述单个粒子 的方程 这样的问题值得探讨 因为可以揭示场与粒子的关系 4 狄拉克方程 4 狄拉克方程 薛定谔方程因为不是相对论性的 它必然要向相对论扩展 克莱因 戈登方程就是第一 个相对论性的波动方程 然而却不能计算氢原子 且一直为负能态和负概率所困扰 所以 长期不被物理学家所接受 狄拉克方程正是在这种困境中应运而生的 它融合了狭义相对 论 海森伯矩阵力学 薛定谔波动力学三方理论 能够计算氢原子光谱的精细结构 并且 自动产生电子的自旋量子数 更巧妙的是 狄拉克认为负能态对应着一种电子的反粒子 由此预言了正电子的存在 并避免了负概率的困难 下面详细介绍狄拉克方程的建立过程 第一步 建立相对论方程的条件第一步 建立相对论方程的条件 与建立薛定谔方程类似 我们也是先建立自由粒子的狄拉克方程 然后建立力场中的 狄拉克方程 这里先列出建立狄拉克方程的两个假设条件 第一 方程具有量子力学标准波动方程 2 5 式形式 仅哈密顿算符不一样 H 第二 方程必须满足相对论的一次能量动量关系 所以应该是 3 1 式 而不是 2 7 式 这两个条件归结为要确定一个合适的 满足相对论能量动量关系的哈密顿算符 这 是建立狄拉克方程的关键 因为 2 5 式左边是能量算符 所以右边的哈密顿算符中就应 该包含动量算符 H H p 因为量子力学标准波动方程要求的是能量的一次项 3 1 式 但是 3 1 式包含有根号 如果直接作算符代换 动量算符将出现在根号内 22 0 cm Ep 2 c 4 1 对自由粒子 有 6 2222 0 cm c t i 4 2 对力场中的粒子 有 注意 因为有势能项 光速 不能放到等号左边 Vc 2222 0 cm c t i V 4 3 与薛定谔方程相比 4 2 式和 4 3 式的潜在问题是动量算符在根号内 这不是量子力 学标准波动方程 2 5 式形式 不过 作者现在还没有查到有关证据 表明动量算符一定不 能出现在根号内 因此 带根号的 4 2 式和 4 3 式是否能够直接应用 值得探讨 第二步 待定系数能量动量关系第二步 待定系数能量动量关系 为了去掉根号 狄拉克采用了一种很巧妙的思路 实际上就是一种待定系数法 对自由粒子 可以把相对论能量动量关系 3 1 式写成如下形式 222222 0 xyz Ecpm ccpppm c 2 0 4 4 狄拉克假定自由粒子的能量E与动量分量 xyz ppp 质量之间存在最简单的一次 线性关系 这样 对应于 4 4 式 可以拼凑出一个去掉根号的待定系数方程 0 m 1230 xyz Ecpppaaam c 4 5 其中和 123 a a aa 是待定系数 不过它们不是一般的系数 因为一般的系数很难满 足 4 4 式 狄拉克后来从泡利矩阵得到启发 它们如果是4 4 的矩阵 那么就有可能满足 4 4 式 比较 4 4 式和 4 5 式 可以得到如下对应关系 2222 0123 xyzxyz pppm cpppaaam 0c 4 6 4 6 式两边平方 右边写成乘式 是考虑到矩阵的不可对易性 2222 01230123 xyzxyzxyz pppm cppppppaaam caaam c 0 4 7 展开 4 7 式右边乘式 注意 展开时 动量各分量之间可以对易 但矩阵 123 a a a 之间不可对易 也就是 xyy p pp px 但是 1221 a aa a 矩阵乘法一般不满足交换律 2222222222222 01230 xyzxyz pppm cpppm caaa 122113312332 xyxzyz p pp pp pa aa aa aa aa aa a 4 8 110220330 xyz ppaa m caa m caa m cp 要保证 4 8 式成立 可以让系数 123 a a a 满足如下关系 2222 123 aaa 1 122113312332 0 0 0a aa aa aa aa aa a 4 9 112233 0 0 0aaaaaa 从 4 9 式可以看出 这四个系数 123 a a a 的位置关系是完全对称的 类似这样的四 个系数关系称为彼此 反对易 它们每一个的平方都是 1 可以这么理解对易和反对易 称为彼此可对易 称为彼此反对易 狄拉克在量子力学中取得的 第一个进展 是借用了泊松括号 1221 a aa a 1221 a aa a A BABBA 来表示两个量的对易关系 表 示两个量可对易 0A B 0A B 表示两个量不可对易 反对易关系属于不可对易的特殊情况 不过泊松括号好象不能表示反对易关系 如果把 4 9 式看成一个方程组 然后在整个实数和复数范围内求解 它是没有实数或 复数解的 因为平方为 1 与相加为 0 的方程彼此是矛盾的 因此 要得到满足 4 9 式的解 7 只能寻找实数和复数以外的数学工具 狄拉克找到的是泡利矩阵 这提醒我们 任何没有实数或复数解的方程 很可能都是我们没有找到合适的数学工 具 这种思路将是创造新数学工具的重要源泉 也正是因为这个原因 狄拉克通常也被看 作是一个重要的数学家 第三步 克朗内克 函数第三步 克朗内克 函数 为了简洁和统一描述 4 9 式 狄拉克采用了克朗内克 函数 Kronecker 其定义为 6 0 1 ij ij ij 4 10 克朗内克 函数常用来描述矩阵 通俗地理解就是 如果i和 j 表示矩阵的行列序号 那么克朗内克 函数描述的就是一个对角元素全部为 1 其余元素全部为 0 的单位矩阵 如果令 4 a 则全部 4 9 式都可以用下式统一描述 2 1 2 3 4 ijjiij a aa ai j 4 11 4 11 式表明 当i时 有 当jj 1 22 ij aa i 时 有0 ijji a aa a 也就是说 4 11 式与 4 9 式完全等价 待求的这四个系数必须满足 4 11 式或 4 9 式 1234 a a a a 必须说明的一点是 因为 4 11 式与 4 9 式等价 因此这里采用克朗内克 函数得到 4 11 式 主要是形式上的意义 其实 4 11 式比 4 9 式更加抽象和难以理解 去掉 4 11 式和 克朗内克 函数丝毫不影响我们对狄拉克方程的学习 但是 狄拉克是从克朗内克 函数得 到重要的启发后 才提出狄拉克 函数的 而且 克朗内克 函数本身就很适合描述矩阵 这对于狄拉克最后想到用矩阵表示 4 9 式 很可能也有启发作用 由此可以想见 狄拉克 为何要在这里 多此一举 引入克朗内克 函数 因此 在物理或数学中 即使只有形式上的意义 也有可能起到意想不到的作用 这 有助于我们理解物理中看起来 多余的数学形式 这里的克朗内克 函数就是 多余的数 学形式 狭义相对论中的矩阵表示也是 多余的数学形式 任何一个物理现象或实验结 果 多寻求一种数学表示方法 总是会有某种潜在价值的 第四步 泡利矩阵第四步 泡利矩阵 为了最终确定这四个系数 狄拉克从泡利矩阵入手进行分析 最初 电子 的自旋是作为假设提出来的 泡利就是为了描述电子的自旋角动量而创建的三个的矩 阵 123 a a a a 4 3 2 2 12 有时为了表示方便 还可以加入两个辅助矩阵 单位矩阵和 0 矩阵O I 1 01 10 2 0 0 i i 4 12 3 10 01 10 01 I 00 00 O 泡利矩阵满足如下关系 可以直接验证 或者说有如下一些性质 222 123 1 4 13 23321 31132 12213 i i i 4 14 这与 4 9 式非常相似 说明用类似泡利矩阵这样的数学工具来构造狄拉克方程是非常 合理和自然的 这就是狄拉克会想到系数可能是矩阵的原因 也是狄拉克在数学和物理上 的巨大突破 第五步 狄拉克矩阵第五步 狄拉克矩阵 狄拉克认为 如果把这四个系数看成矩阵 那么它们应该具有与泡利矩阵 123 a a a a 4 8 类似的性质 但是 基于两个理由 它们应该是4 4 的矩阵 而不是的矩阵 第一 的矩阵无法描述超过三个以上的反对易量 为什么 而现在有四个反对易量 第 二 原来假设的电子自旋只要求波函数有两个分量 但是现在因为出现了负能量的状态 波动方程解的数目必定是以前的两倍 即波函数必须要有四个分量 2 2 2 2 为了得到一组矩阵系数 狄拉克介绍了一种方法 他先把2 2 的泡利矩阵扩展为如下 的矩阵 用 4 4 12 3 表示 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 O O 2 2 2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 i Oi Oi i 4 15 3 3 3 1 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 0 0 01 O O 然后 狄拉克参照这三个4 4 的泡利矩阵 又拼凑出了三个类似的4 4 矩阵 12 3 12 3 不是从 12 3 43 变过来的 是狄拉克凭经验拼凑出来的 两者没有关系 123 00100001000 00010000100 10000000010 01000000001 i i i i 4 16 最后 所求的四个矩阵系数就由 123 a aaa 12 和 12 3 组合出来 组合 的公式和结果为 比较 4 15 式和 4 17 式两种泡利矩阵的扩展方式 312 11121231343 312 123 0 0 0 10 0 00 0 1 0 0 0 1 00 000 0 01 0 1 0 000 01 0 0 0 1 0 0 00 0 001 0 0 OOOIO OOOOI i i i i aaaa aaa 4 1 0 00 0 1 00 0 01 0 0 0 01 a 4 4 17 这就是狄拉克构造出来的满足 4 9 式或 4 11 式的一组矩阵系数 所有满足这种关系的 四个矩阵都称为狄拉克矩阵 不过 4 17 式并不是唯一的狄拉克矩阵 它们一般被称为 泡 利组 因为它们是2泡利矩阵的最简扩展形式 费米也介绍过另外一种从泡利矩 阵扩展出不同狄拉克矩阵的方法 费米称之为 标准组 现在也称为矩阵 它在量子 场论中有着广泛的应用 8 2 2 2 312 1234 312 123 0 0 00 0 010 00 0 000 0 1 00 0 0 00 00 1 0 00 0 0 0 0 01 0 0 000 0 OOOIO OOOO ii ii ii ii iii iiiI 4 1 0 00 0 1 00 0 01 0 0 0 01 4 18 费米还介绍了 标准组 与 泡利组 之间的关系 在本文后面推导狄拉克方程的四 维时空表示形式时 我们将看到这组关系和矩阵的方便之处 1412423434 iiiaaaa 4 19 作者现在查到的 且经过了直接验算的狄拉克矩阵只有两组 即 泡利组 和 标准 组 当然可能还存在其他的狄拉克矩阵 因此 如何穷尽所有的狄拉克矩阵 这应该是个 值得探讨的问题 然而 狄拉克矩阵不唯一也可能带来其他问题 比如 由不同的狄拉克 矩阵所得到的狄拉克方程是不是相同呢 本文后面将予以讨论 9 既然 4 9 式或 4 11 式就是狄拉克矩阵必须要满足的条件 因此 也可以说它们就是狄 拉克矩阵最重要的性质 当然 狄拉克矩阵还有其他一些性质 在此不作描述 第六步 自由粒子狄拉克方程第六步 自由粒子狄拉克方程 得到狄拉克矩阵后 实际上 4 5 式的待定系数和 123 a a aa 4 a 就求出来了 这样 去掉根号的自由粒子相对论能量动量关系也就得到了 其一般形式就是 1230 xyz Ecpppaaam c 4 20 利用 2 1 式的能量和动量算符 i t E i x x x p p i y y p i z z p 进行代换 并作用于波函数 就得到了自由粒子的狄拉克方程 2 1230 i c txyz aaam ci 4 21 其中方括号内的部分就是自由粒子的哈密顿算符 这里要注意两点 第一 等式右 边动量算符的号不能省略 第二 能量 动量算符的 H 号不能自由组合出四个方程 而 只能组合出两个方程 因为能量 动量算符都源于薛定谔方程的两个解 每个解对应着一 组能量和动量算符 第一组 i t E 第二组 i p i t E 下面 4 22 式中的第一个方程就是原来的狄拉克方程 只是这里多了第二个方程 这与以往介绍的狄 拉克方程有差别 i p 2 1230 2 1230 i c txyz i c txyz aaam c aaam c i i 4 22 矢量的点积 或点乘 结果为标量 利用如下矢量点积公式 123123 xyz i xyz a pa pa paaa ia p 4 23 还可以把 4 21 式写成更简洁 更容易记忆的形式 2 0 cm c iEa p 4 24 4 21 式 4 22 式或 4 24 式都是自由粒子狄拉克方程的合理表示形式 第七步 力场中的狄拉克方程第七步 力场中的狄拉克方程 在自由粒子狄拉克方程的哈密顿算符 2 0 cm c iHa p中加入势能项V 就得到了 力场中的狄拉克方程 2 0 cm cV iEa p 4 25 当然也可以写成 4 21 式的形式 2 1230 i c txyz aaam cVi 4 26 或者如 4 22 式写成两个方程形式 2 1230 2 1230 i c txyz i c txyz aaam cV aaam cV i i 4 27 10 与定态薛定谔方程类似 如果用字母E代替能量算符 就得到定态狄拉克方程 2 1230 2 1230 Ei c xyz Ei c xyz aaam cV aaam cV 4 28 虽然看起来力场中的狄拉克方程只是加入了势能项V 但是狄拉克方程应用于电磁场 中的电子时 却没有这么简单 不仅有具体的势能项 电子的动量和动量算符也都有变化 具体情况将在后续的论文中介绍 这里不深入讨论 第八步 狄拉克方程的代数形式第八步 狄拉克方程的代数形式 考虑力场中狄拉克方程 4 26 式的解 因为系数 123 a aa 都是4 4 的矩阵 所以波 函数 不可能象薛定谔方程那样是单个函数 而必定是如下形式的4 1 矩阵 通常称之为 狄拉克旋量 这其实也就是狄拉克方程解的形式 它表明 描述电子状态的狄拉克方程有 4 个波函数 至于每个波函数的物理意义 则还有待于探讨 1 2 3 4 4 29 把矩阵系数 泡利组 4 17 式和狄拉克旋量 4 29 式代入 4 26 式 那么将得到如下矩 阵形式的狄拉克方程 1 2 3 4 1 22 0 3 4 0001000 0010000 0100000 1000000 00101000 00010100 10000010 01000001 i i i c itx i z m c i y 1 2 3 4 V 4 30 根据矩阵的加法运算规则 两个同型矩阵相加 新矩阵的元素为两个同型矩阵对应元 素的和 方括号内的部分将变成一个4的矩阵 4 2 0 1112 0 222 2 33 0 44 2 0 0 0 0 0 i i ci c zxy i i ci c xyz V it i ci c zxy i i ci c xyz m c m c m c m c i 3 4 4 31 根据矩阵的乘法运算规则 第一个矩阵每行的各元素与第二个矩阵每列的各对应元素 相乘后再相加 所得算式成为新矩阵相应行的一个元素 还可以进行简化 简化后 4 31 式中一个4的矩阵与一个4 4 1 的矩阵相乘 结果成为一个4 1 的矩阵 11 2 0134 112 0234 22 2 33 0312 44 2 0412 i ci zxy i ci xyz V t i ci zxy i ci xyz m c m c m c m c i 4 32 采用与 4 22 式类似的能量 动量算符 号组合方式 其实就是能量 动量算符正负号 互反 还可以把 4 32 式写成两组关于 123 4 代数方程组的形式 2 101341 2 20234 2 303123 2 40412 i ciV tzxy i ciV txyz i ciV tzxy i ciV txyz m c m c m c m c i i i i 2 4 4 33 和 2 101341 2 20234 2 303123 2 40412 i ciV tzxy i ciV txyz i ciV tzxy i ciV txyz m c m c m c m c i i i i 2 4 4 4 34 其中 4 33 式正是以往介绍的狄拉克方程 这里也多出了一个方程组 4 34 式 必须要说明的是 这里是采用 泡利组 4 17 式作为矩阵系数得到 4 30 式的 由于 狄拉克矩阵组不是唯一的 对于不同的矩阵组 关于 123 的方程组形式是不是都 一样呢 费米认为采用不同的矩阵组得到的 物理结果 都一样 8 不过作者在验算了 标 准组 矩阵后发现 采用不同的矩阵组得到的狄拉克方程是有差别的 至于这种差别是 怎么形成的 会带来什么影响 这还有待于观察 把 标准组 矩阵系数 4 18 式和狄拉克旋量 4 29 式代入 4 26 式 1 2 3 4 1 22 0 3 4 0000001 0000010 0000100 0001000 0001000 0000100 0000010 0000001 i i i c itx i i i iz i m c i 1 2 3 4 V y 4 35 矩阵相加 12 2 0 112 0 22 2 33 0 44 2 0 0 0 0 0 ii i ci c zxy i i ci c xyz V iit i ci c zxy ii i ci c xyz m c m c m c m c i 1 2 3 4 4 36 再矩阵相乘 2 0134 112 0234 22 2 33 0312 44 2 0412 ii i c zxy i i c xyz V iit i c zxy i i c xyz m c m c m c m c i 4 37 这就是矩阵对应的狄拉克方程最简矩阵形式 当然也可以写成 4 33 式和 4 34 式的形 式 仔细比较 4 37 式和 4 32 式将会发现 两者之间虽然很相似 但是却存在正负号和复 数单位之间的差别 这种差别带来的一个困惑是 因为不同的矩阵组对应的狄拉克方程不 一样 那么 有多少个狄拉克矩阵 就会有多少个不同的狄拉克方程 这会给我们带来理 解上的困难 费米说的 物理结果 都一样 究竟是指狄拉克方程的形式一样呢 还是指 狄拉克方程的解一样呢 作者从 4 30 式和 4 35 式的矩阵相加判断 似乎应该是指解一样 因为不同的狄拉克 矩阵相加 其结果很可能就是不一样的 从前面 4 4 式和 4 5 式也可以看出 狄拉克方程 所要满足的条件应该是下式 2222 0123 xyzxyz Ecpppm ccpppaaam c 0 4 38 等式最右边其实就是自由粒子的哈密顿算符 做算符代换即可得到应满足的条件 H 222 2222222 222 00 222 xyz cm cm cc xyz Hppp 4 39 对于 4 36 式和 4 31 式 其实矩阵相加得到的大矩阵就是自由粒子的哈密顿算符 因此 狄拉克方程须满足的条件就是这个大矩阵符合 4 39 式 而并不是要求最终形式一样 经验算 4 36 式和 4 31 式大矩阵平方后 所得新矩阵的对角本征值确实符合 4 39 式 H 另外 薛定谔方程的解与机械波和光波一样 都是正弦函数 余弦函数或复指数形式 那么 狄拉克方程的解是什么形式呢 虽然似乎也应该认为是复指数形式 不过因为狄拉 克方程有4个波函数 其解的验算将是一个比较困难的过程 这个问题也留待以后处理 一个更加艰难的问题是 如果 二次光波方程 薛定谔方程 克莱因 戈登方程 狄 拉克方程直接通过方程求解 而不是预先假设存在 复指数解 那么是否能够求解 得 到的解将是什么形式呢 寻找复杂方程的求解方法 也是物理或数学创新的重要方式 第九步 负能量预言正电子第九步 负能量预言正电子 9 狄拉克在处理相对论的负能量问题时 从理论上预言了正电子的存在 这是狄拉克方 程的一个重大成就 狄拉克对于负能量考虑了一下几点 第一 负能量是相对论能量动量关系 3 1 式的必然结果 是相对论固有的属性 13 第二 在经典力学中 因为能量守恒 如果粒子的初始能量为正 那么粒子将始终保 持正能量 而不可能由正能量变成负能量 但在量子力学中 电子却有可能从正能态跃迁 到负能态 因此 不能轻易忽略负能态 第三 原先狄拉克方程只有一个 在列出了电磁场中的狄拉克方程后 狄拉克认为 如果以代换e就可得到波动方程正能量解的共轭复量 这个共轭复量就代表着带电荷为 的电子的运动 这种新粒子的质量等于电子的质量 电荷符号与电子相反 称为正电 子 现在因为狄拉克方程有了两个 很可能负能量算符对应的就是正电子波动方程 如果 是这样 那正电子的狄拉克方程与电子的狄拉克方程 在电磁场中会表现出什么样的对称 性呢 通过代换的方法是否可以彼此互换呢 这些问题将留待后续的论文讨论 e e e e 第四 但是 不能简单地说 正电子具有负能量 因为这样会使力学关系不对 狄拉 克假定 几乎所有的负能态都被占据 这就是狄拉克负能 电子海 按照泡利不相容 原理 每个态上有一个电子 这时是不存在跃迁的 如果出现了一个未被占据的负能态 这就是狄拉克负能电子 空穴 或正电子 空穴 要填充这个负能态 必须加上一 个具有负能量的电子 也就是说 这个未被占据的负能态其实就是正电子 第五 如果一个电子落到未被占据的负能态 那么应该有一个电子与一个正电子同时 消失 它们的能量以电磁辐射的形式放出来 其逆过程就是从高能电磁辐射产生一个电子 与一个正电子 这就是正 负电子对的 湮灭和产生 第六 现有的理论 比如麦克斯韦电磁理论或洛伦兹电子理论 在正负电荷之间是对 称的 新的理论在电子与正电子之间也应该基本上是对称的 以上几点就是狄拉克最初对负能量的处理和对正电子的理论预言 随着正电子的发现 以及实验证明了正 负电子对的 湮灭和产生 这些惊人的预言一一得到了验证 这是可 以与哈雷彗星 海王星 电磁波等相提并论的伟大预言 充分显示出理论物理的巨大威力 不仅如此 狄拉克所提出的 空穴 概念 也被人应用到固体物理方面 对半导体等技术 的发展起到了重要作用 不知道后来超导理论中提出的 库珀电子对 是否受到正 负 电子对的启发 把这两者进行对比研究应该会有价值 如果从另一个角度分析 狄拉克预言正电子其实是发现了一个庞大的反粒子家族 类 似的重大发现还有 瑞利与同事拉姆塞精诚合作 发现了门捷列夫元素周期表中漏掉的整 整一个惰性气体元素家族氦 氖 氩 氪 氙等 汤川秀树通过理论计算 预言了传递核 力的介子存在 由此也发现了粒子世界的介子家族 这是三个重大的 家族 发现 现在 一般认为粒子世界的大综合是盖尔曼的夸克理论 作者略表怀疑 因为夸克理论似乎没有 显示出一种类似于门捷列夫元素周期表这样简单 清晰的物理或数学图像 当然 狄拉克对负能量的处理也不是没有问题的 令人困惑的主要有下面两个问题 问题一 狄拉克设想的负能 电子海 并非可以观测的东西 后来在此基础上又进一 步提出了 真空态 和 真空激发态 的概念 这样的概念与物理实在性描述之间可能存 在冲突 一个必然的问题是 这样的东西是真实存在的吗 令人生疑 问题二 虽然狄拉克认为正电子对应着负能量的情况 但是 他又提到 不能说正电 子具有负能量 因为这会使力学关系不对 如果正电子的能量不能是负的 那就会出现实 验事实与数学理论不符合的问题 因为非常明确的几点是 实验上发现了正电子 狭义 相对论从数学上出现了负能量 电子对应着正能量部分且电子的能量是正的 狄拉克认为 正电子对应着负能量部分 但是 不能说 正电子的能量是负的 这种不对称性确实 令人困惑 负能量的理论处理似乎仍有很多工作要做 正是因为存在这样的问题 有人甚至认为狄拉克预言正电子的理由是 诡辩 不过 历史已经表明 狄拉克的物理直觉能力和数学技巧的确是非同寻常的 5 相对论波动方程的四维时空表示 5 相对论波动方程的四维时空表示 如果引入参数 四维时空坐标 0 m c x y z ictr 四维时空算符 对应于三维 14 劈形算符 四维达朗贝尔算符 对应于三维拉普拉斯算符 2 2 22222 222 2222222 11 xyzictict xyzctct 5 1 这里四维时空坐标 x y z ictr 是依据洛伦兹变换的形式不变方程引入的 22222222 0 xyzctxyzct 5 2 此方程可以改写为以下形式 从而得到四维时空坐标 22222222 0 xyzictxyzict 5 3 这样 克莱因 戈登方程 2 8 式可以简化为如下形式 22 0 5 4 对于狄拉克方程的简化形式 推导过程要复杂一些 如果采用 4 18 式的四个 矩阵做 系数 那么把矩阵与 泡利组 的关系式 4 19 式 代入自由粒子的狄拉克方程 4 22 式 中 用矩阵代替 泡利组 为了推导过程更清晰和避免 号的干扰 这里代入的是 4 22 式 而不是 4 21 式 2 41424304 2 41424304 i c iii txyz i c iii txyz m c m c i i 5 5 根据 可以在等式左边放置一个 2 4 1 2 4 而把右边的复数单位提出来 22 44142430 22 44142430 c txyz c txyz m c m c i i 4 4 5 6 等式两边都除以 4 c 04 123 04 123 ctxyz ctxyz m c m c i i 5 7 调整一下形式 0 4123 0 4123 ictxyz ictxyz m c m c 5 8 合并两式写成 0 1234 xyzict m c 0 z ict 5 9 最后 狄拉克方程可以简化为 2 14 1 2 3 40 i ix y 5 10 这里狄拉克方程的简化形式也有两个 带正号的是原来的方程 带负号的是新增加的 方程 这种简化充分体现了 矩阵的方便性 也可以理解为何费米要称之为 标准组 克莱因 戈登方程和狄拉克方程的这种简化形式在量子电动力学和量子场论中经常出 15 现 广义相对论中也有类似做法 不过这种形式主义的做法导致了广义相对论 量子电动 力学和量子场论这三个分支的理解困难 直接后果就是 这三个分支的学习入门相当艰难 以致极少有人能够完整 流畅地从数学上把这三个分支走通 更加过分的是 量子场论中甚至采用这种过度追求形式的做法 这不仅造成了 理解困难 而且很容易掩盖公式的物理本质 必须要记住的是 当初麦克斯韦之所以认为 光是一种电磁波 就是因为从实验和公式上发现两者的速度都是光速 这就是一种物理本 质 从这个角度判断 量子场论中采用不是 好的数学 形式 1c 1c 有鉴于此 作者一直希望能够避开这种简化形式 而采用更好理解的常规形式来构建 量子电动力学 量子场论和广义相对论 这种做法的好处是显而易见的 比如 上面 5 9 式肯定比 5 10 式好理解一些 当然 作者也建议学习者在入门时不要采用简化形式 入门 之后再理解这种简化形式要更好一些 6 讨 论 6 讨 论 本文有这么几个重点 第一 采用算符代换方法 把所有可能的光波或物质波方程全 部列举出来 进行对比分析 第二 采用一种合理的方法推导狄拉克方程 第三 给出克 莱因 戈登方程和狄拉克方程的相对论四维时空表示 为量子电动力学和量子场论的深入学 习打好基础 全部波动方程的对比分析还有许多工作可做 作者在这里列出一些具有启发性的观点 1 采用算符代换方法轻易得到所有的光波和物质波方程 这是本文的主要特色之一 根据现有的能量动量关系 作者目前只能拼出六个 其中两个光波方程 四个物质波方程 其中的 一次光波方程 和 相对论近似方程 可能是作者第一次提出 算是本文的重要 发现 但是 这两个新的方程有什么应用价值 以及如何发现和穷尽所有可能的光波或物 质波方程 这都是有待于探索的问题 2 新的 一次光波方程 与 二次光波方程 有什么物理本质差别 这是 一次光波 方程 必须面对的问题 考虑到不同的波动方程可能代表着不同的波动介质和粒子 每一 个新的方程都可能对应着一种新的粒子 一次光波方程 也就有可能对应着一种新的粒子 这是值得期待的 不仅如此 从对称性考虑 反过来也应该成立 即每一种粒子应该都对 应着一个波动方程 这一点尤其值得期待 如此看来 中微子应该有它对应的波动方程 不知道是不是就是 一次光波方程 之所以薛定谔方程和狄拉克方程都对应着电子 是 因为薛定谔方程本质上是狄拉克方程的经典近似 3 与薛定谔方程和狄拉克方程相比 克莱因 戈登方程的能量动量关系中包含有能量E 的二次项 所以它不是量子力学标准波动方程形式 不能成为薛定谔方程的相对论扩展形 式 不过光学的情况则反过来了 光学标准波动方程是包含能量二次项的 二次光波方程 而不是包含能量一次项的 一次光波方程 为何有这种差别 这种差别会带来什么启示 4 能量算符 i t E 动量算符 i p 都有 号 这与以往资料不一样 也是 本文的主要特色之一 算符的 号来源于薛定谔方程严格推导过程的两个解 号在能量 算符和动量算符之间的组合只有两种 即 i t E i p 和 i t E 这两种组合使