行列式矩阵.doc

第一讲 行列式与矩阵一、内容提要（一）n阶行列式的定义（二）行列式的性质1行列式与它的转置行列式相等，即；2交换行列式的两行（列），行列式变号；3行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来；4行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零；6若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即，则7将行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。（三）行列式依行（列）展开1余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n阶行列式D中元素所在的第i行和第j列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素的余子式，记为（2）代数余子式的定义的代数余子式的记为2n阶行列式D依行（列）展开（1）按行展开公式（2）按列展开公式（四）范德蒙行列式（五）矩阵的概念1矩阵的定义由mn个数组成的m行n列的矩形数表称为mn矩阵，记为2特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。3矩阵的相等设若 ，则称A与B相等，记为A=B。（六）矩阵的运算1加法（1）定义：设，则（2）运算规律A+B=B+A；（A+B）+C=A+（B+C）A+O=AA+（-A）=0， A是A的负矩阵2数与矩阵的乘法（1）定义：设k为常数，则（2）运算规律 K(A+B)=KA+KB, (K+L)A=KA+LA, (KL)A=K(LA)3矩阵的乘法（1）定义：设则其中（2）运算规律；（3）方阵的幂定义：A，则运算规律：；（4）矩阵乘法运算与数的运算不同之处。4矩阵的转置（1）定义：设矩阵A=，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵A的转置，记为，（2）运算规律；。（3）对称矩阵与反对称矩阵若则称A为对称阵；，则称A为反对称阵。5逆矩阵（1）定义：设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作。（2）A可逆的充要条件：A可逆.（3）可逆阵的性质若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1=A；若A可逆，k0，则kA可逆，且；若A可逆，则AT也可逆，且；若A，B均可逆，则AB也可逆，且。（4）伴随矩阵定义：，其中为的代数余子式，性质：i）；ii）；iii）；iv）若A可逆，则也可逆，且用伴随矩阵求逆矩阵公式：（七）方阵的行列式1定义：由n阶方阵A的元素构成的n阶行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A的行列式，记为或detA。2性质：（1），（2），（3），（4）（八）特殊矩阵的行列式及逆矩阵1单位阵E：；2数量矩阵kE：当3对角阵：若，则4上（下）三角阵设若，则仍为上（下）三角阵（九）矩阵的初等变换与初等矩阵1矩阵的初等变换（1）定义：以下三种变换交换两行（列）；某行（列）乘一个不为零的常数k；某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。2初等矩阵（1）定义：将n阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等阵；交换i,j两行（列），记为E(i, j)；第i行（列）乘不为零的常数k记为为E(i(k);第j行的k倍加到第i行上去，记为E(j(k)i;（2）初等阵性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；而（3）方阵A可逆与初等阵的关系若方阵A可逆，则存在有限个初等阵，使，（4）初等阵的行列式（5）初等阵的作用：对矩阵A进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A，且3矩阵的等价（1）定义：若矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵B，则称A与B等价，（2）A与B等价的三种等价说法，A经过一系列初等变换变到B；存在一些初等阵，使得存在可逆阵P，Q，使得PAQ=B（十）分块矩阵1分块矩阵的定义以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。2分块矩阵的运算（1）设A，B为同型矩阵，采用相同的分法有则（2）（3）设分块成其中的列数分别等于的行数，则，其中3准对角阵（1）定义：形如 Ai为ni阶方阵的矩阵称为准对角阵。（2）准对角阵的行列式及逆矩阵设，则；若每个Ai可逆，则A可逆，且（3）特殊的准对角阵（i），若A1, A2可逆，则（ii），若A1, A2可逆，则（iii）是且（iv），则二、重点（一）计算行列式；（二）矩阵的乘法；（三）矩阵的逆；（四）矩阵的初等变换。1、对数的概念：复习已经学习过的运算指出：加法、减法，乘法、除法均为互逆运算，指数运算与对数运算也为互逆运算：若 ，则 叫做以 为底 的对数。记作：（）2、对数的性质（1） 零和负数没有对数，即 中N必须大于零；（2） 1的对数为0，即（3） 底数的对数为1，即3、对数恒等式：4、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，记为：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式一：，其中诱导公