法+兼顾巧解巧法——对一道公开课例题的解法分析与.pdf

3 6 中学数学教学2 0 1 4 年第4 期 立足通性通法兼顾巧解巧法 对一道公开课例题的解法分析与拓展 安徽省寿县第一中学梁昌金 邮编 2 3 2 2 0 0 最近 我有幸聆听了我校一位资深教师的数 学公开课 主讲内容是高三第二轮复习解析几何 专题 授课教师力求对解析几何问题求解的常见 方法与思想进行梳理 让学生体会到 直线与圆 锥曲线位置关系 有关综合问题常用的数学思想 与方法 解题的基本规律与技巧等 从而提高综 合分析问题和解决问题的能力 其中一道解析几 何题引起了我的极大兴趣 课后在评课时才知 道 这道解析几何题选自安徽省合肥市2 0 1 3 届高 三第三次教学质量检测理科数学第2 0 题 1 原题再现 解法分析 题目 平面内定点F 1 O 定直线Z z 4 P 为平面内动点 作P QJ z 垂足为Q 且 I P Ql 一2P F1 1 求动点P 的轨迹方程 2 过点F 与坐标轴不垂直的直线 交动点 P 的轨迹于A B 线段A B 的垂直平分线交z 轴 F p 于点R 试判断 是否为定值 f D 分析 第 1 问属于常规题 第 2 问考查 了解析几何的通性通法 并考查了函数与方程的 思想 数形结合的思想 化归与转化的思想 特殊 与一般的思想 本题是圆锥曲线的一个性质 带 有数学探究的意味 在分析问题时要充分挖掘试 题的本质 揭示数学问题的精髓 有意识地让学 生从特殊到一般去发现结论 推厂命题 既司以 使学生享受学习成功的喜悦 也循序渐进地撩开 了数学试题的真实面纱 逐渐使学生达到融会贯 通的学习境界 解 1 点P 的轨迹方程为兰 荽一1 4J 2 证法1 由条件 直线A B 的斜率必存在 且不为o 可设A B y 愚 z 一1 忌 0 b 愚 z 一1 联立方程组 z z y z 消去y 得 3 43 4 忌2 z2 8 点2 z 4 忌2 1 2 O 设A z l y i B z2 y2 则z 1 z2 8 愚24 忌2 1 2 丽埘一2 i 而矿 设A B 中点为D z y 知z 苎L 垒 羔蜘酬一 一番 所以线段A B 的垂直平分线方程为 y 一蒜一 c z 一羔 y 一了干i 矿 一io z 一丁丽几 令y 0 得z R 者 l 职I 一嘉I 一等等 西o 0 7 0 b o c o o o c o t o K 艺 c o o o t c o o o o o o o c h o 0 9 0 c c t o o 心 t c c c o 心 c o c o 上接第3 6 页 最小值 最大值 s i s 靠一N I62 优 N 口 扫 若口上6 则s i 与l l 无关 s 一s 一是I 口I2 咒I62 2 优一是 n 6 卅 愚时 S 和口与6 的夹角有关 S 一S i 一N 一6 2 提出问题已知两个不相等的非零向量n 移 向量 x x 2 x 由m 个口和n 个b 排列而 成 向量y yz y 中的每一个向量均可以 是口和6 某一个 记S x 1 J 1 x 2 J 2 x y 问S 有哪些特征 收稿日期 2 0 1 4 一0 6 1 2 万方数据 2 0 1 4 年第4 期中学数学教学 3 7 而lA BI 1 足2z 一z 一 1 愚2 厄忑了五i 筹 故哥一 为触 评析从证明过程看 利用的是弦长公式求 解直线与圆锥曲线相交所得的弦长 这是最普 通 最常见的一种代数方法 但计算量非常大 而 此题由于弦A B 过椭圆的焦点 那我们的求解是 否可以简化呢 利用椭圆第二定义可得过焦点 弦长公式 lA BI lP z z 一2 口I 其中P 为 离心率 口为长半轴长 可以优化上述证法 于是 有了下述的证法2 证法2前同证法1 故lA BI lP z 训 2 nI 等 y 一志 z 一1 志 兰L 翌一1 丁芊 台 又线段A B 的垂直平分线方程为 y y 一丢 z z 令y o 得z R 一是y o zo 故IF RI Iz R 一 1 I 慨圳出y 警I 等等澈 哥 丢为触 评析 证法2 计算量小了许多 除了选用焦 点弦长公式外 另一个小技巧在于垂直平分线的 设法 以及求IF RI 时增加了新的中间参数z y 而没有直接像证法1 始终以斜率忌为参数 证法3 点差法 以斜率点为参数 设A B 方程为y 一是 z 一1 量 0 A zl y 1 B z2 y2 A B 中点D z y o 则 荨 誓 譬 警 两式相减 得 c z z2 z l z2 3 l y 2 y l y2 o 因为z l z2 2 zo y l y2 2 yo 所以詈亏一警愚 因为D z y 在A B 上 所以了 一是 zo 一1 由 解得z 一F 等 y 丁i 釜 故 线段A B 的垂直平分线方程为 一3 愚1 4 愚2 y 一丁丽一一i z 一丁干百矿 3 4 忌2 忌 一 3 4 忌2 令y o 得z R 矿等杀 故I F Rl l f 等等 因IA BI IP z l z2 一2 口I I2 P z o 一2 口 l 等等澈哥一 为触 评析 点差法 适合于 中点弦 问题 难 点在于求弦长IA BI 若选用一般弦长公式IA B l 1 志2z 一z I 必须用韦达定理法 此处 选择过焦点弦长公式lA Bl I2 P z 一2 口I 其 中P 为离心率 z 为A B 中点的横坐标 口为长半 轴长 可以使点差法顺利进行 但以惫为参数 计 算量亦然很大 证法4 点差法 以中点坐标为参数 由证法3 式知志A B 一一导 又线段A B 的 鼍y o 垂直平分线方程为y y 一 z z 令y o 得z R 一志A B y o zo 一 zo zo 丢z 所以IF RI Iz R 一1I l z 一1I I z o 一41 又IA BI I2 P z 一2 口I Iz 一4I 故 盟 为触 评析此证法比证法3 计算量明显小很多 技巧在于选择点坐标为参数 解析几何问题选择 参数不同 计算量也不一样 上述方法我们都要 求出线段A B 的垂直平分线方程 其实我们求垂 直平分线的方程 无非就是为了求出R 点的坐 标 那我们能否利用垂直平分线的几何性质直接 求出R 点的坐标 证法5 定义法 利用垂直平分线的性 质 设A z l y 1 B z2 yz R z O 则y 3 1 一等m 3 1 一孚 A BH 如 训 一2 口 一 Iz z2 8I 万方数据 3 8 中学数学教学2 0 1 4 年第4 期 由IA RI 一 B Rf 得 z z 2 y 一 z z2 2 y 即2 zl zz z z 一z y 一y 一 z 一 z 一丢 z 一z i 一丢 z 一z 号z 一丢 z z2 故lF R Iz 一1l I 言 z zz 一1I 一言 旧忆剖澈 惴 为定值 2 内化知识 揭示本质 对于试题的探究 我们可以引导学生对题目进 行变式探究 如条件的探究 增加 减少或变更条 件 结论的探究 结论是否唯一 拓展探究 命题是 否可以拓展 类比探究等 可使学生形成知识网络 化 方法系统化 做到举一反三 培养学生运用数学 思想方法去分析问题和解决问题的能力 探究创新 的能力以及灵活多变的思维能力 这是一道耐人寻味的好题 在圆满解决了这 个问题后 我并没有放弃对该题第 2 问的思考 椭圆荨 等一 脯心率P 一丢 胬一丢 其 中 一号 这是椭圆等 等一1 独有 还是所有 椭圆 共有 于是我将椭圆推广到一般情况 得 到如下的一个椭圆的优美定理 定理1已知椭圆 鲁一1 n 6 o 下 V 的离心率为P A B 为过焦点F 而不垂直于z 轴的 弦 且A B 的垂直平分线交z 轴于点R 则 尉 为定值 证明与上述题目证法完全类似 此处从略 3 逆向拓展 深化试题 对于定理1 如果A B 不是过椭圆的焦点 也 能得到一样的结论吗 即改为过焦点F 为z 轴 上一点c m 还能得到 斜一号吗 经过 思考 发现点C 必定是焦点F 于是得到 定理2已知椭圆与 缶一1 n 6 o 的离心率为P A B 为过点C m o 而不垂直于z 轴的弦 且A B 的垂直平分线交z 轴于点R 则 酱一号的充要条件是点c 为椭圆焦点 4 抓住本质 类比拓展 得到定理1 定理2 后 我沉浸在幸福的喜悦 中 趁胜追击 双曲线 抛物线都是圆锥曲线 考 虑到圆锥曲线性质上的一致性 有了椭圆中的结 论 作为对问题的深入探究 我考虑是否可以将 该命题推广 拓展到双曲线与抛物线上 经过一 番鏖战 我又有了惊喜的发现 一2 1 2 定理3 已知双曲线与一鲁一1 n o 6 o 的离心率为已 A B 为过点C m o 而不垂直于 z 轴的弦 且A B 的垂直平分线交z 轴于点R 则 科一号的充要条件是c 点为双曲线焦点 定理4 已知抛物线y2 2 户z p o A B 为过点C m O 而不垂直于z 轴的弦 且A B 的 垂直平分线交z 轴于点R 则 斜一号的充要 条件是C 点为抛物线焦点 定理3 定理4 的证法类似于定理1 定理2 此处不再赘述 值得说明的是 上述四个定理可统一叙 述为 定理5 圆锥曲线统一定理 记圆锥曲线E 的离心率为P A B 为过E 的对称轴 焦点所在的 对称轴 上一点C 而不垂直于该对称轴的弦 且 A B 的垂直平分线交该对称轴于点R 则 耕 一 的充要条件是c 点为圆锥曲线E 的焦点 5 教学感想 在高三数学第二轮复习中 如何发挥一节课 的最大效果 迅速全面地掌握各种题型的求解方 法 是众多高三教师的追求 一题多解 一题多变 正是高三二轮复习课有效教学的重要方式 这样 就可以让学生在探究数学问题的过程中 领悟重 要的数学思想与方法 灵活高效地解决数学问 题 在求解过程中我们既要提倡和重视 通性通 下接第5 2 页 万方数据 5 2 中学数学教学2 0 1 4 年第4 期 一s l n F s i 一一s l n i 一 o o s i 一 s i n 会c c o t 导 o o t 导 c o t 会 B C c o t 可o o 可 湎t 和导叫2 A B C D 二 竺二二 二 一n s i n 会湎t 导 c o t 导 c o t 会叽 同理可证d2 的系数也等于零 所以当B C 7 r 时 成立 由变化的连 续性知当B C 7 r 时 也成立 命题获证 另外 由等式 c t 会 c t 导 c t 导 c t 导 A B A C B C 8 1 n 丁8 mT 8 1 nT A B t D s l n 虿s l n 虿S 1 n 虿S 1 n 虿 t a n 会 t a n 导 t a n 导 t a n 詈 8 1 n T 8 1 n T8 1 n T 万 1 厂 百 矿 c 0 8 虿c 0 8 虿c 0 8 虿c 0 5 虿 厶厶厶 可以得到其等价式 s i n 会s i n 导s i n 导s i n 导 口 6 c d 2 s m 虿8 m 虿5 1 n 虿s m 虿 口十D 十c 十d 门1 厂 r 订F 百F 丁 一一 8 m 丁8 mT 8 mT o 一 c 今c 导c 导 导 口一6 一d z c 0 8 虿c 0 8 虿c 0 8 虿 0 8 虿 口一6 十6 一d F 口r r 订 虿F 丁 8 1 nT 8 m T 5 m T 一 J J 由四边形面积公式 我们得到一个有趣的不 等式 4 s 等等岛 c o 虿 c o 虿 c o 虿 c o i 当且仅当四边形A B C D 为圆外切四边形时 取等号 o o Z 卜 7 7 7 7 0 7 o 扫0 7 c Z o c o o c 7 o 7 0 c o c o h 7 0 c o o c h c 艺h 7 C C C o K 上接第3 8 页 问题的认识 提炼出解决一类问题的统一性思路 方 法 又要适应学生个性发展 兼顾 巧解巧法 法 在不断的研究中也能带来很多意外的收获 在探 努力使每位学生都获得相应的发展 究的过程中 不仅能让学生体验探索的快乐 而且能 同时要引导学生进行反思探究 启迪学生思使学生加深对问题的认识 并且在平时的解题中有 维 引发解题创新 这实质是解