第5章6 多元函数微分学的几何应用(打印版).pdf

请双面打印 复印 节约纸张 272365083 1 主讲主讲 张小向 高等数学高等数学 第五章 多元函数微分学及其应用 第一节 预备知识 第二节 极限与连续 第三节 偏导数与全微分 第四节 微分运算法则 第五节 方向导数与梯度 第六节 多元函数微分学的几何应用 第七节 第一节 预备知识 第二节 极限与连续 第三节 偏导数与全微分 第四节 微分运算法则 第五节 方向导数与梯度 第六节 多元函数微分学的几何应用 第七节 Taylor公式与极值 第八节 向量值函数的微分法 第九节 复变函数的导数与解析函数 公式与极值 第八节 向量值函数的微分法 第九节 复变函数的导数与解析函数 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 5 6 多元函数微分学的几何应用 一 多元函数微分学的几何应用 一 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 M0 M 切线切线 M0 法平面法平面 1 定义定义 x x0 x t0 y y0 y t0 z z0 z t0 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 2 切线方程与法平面方程切线方程与法平面方程 M0 x t0 y t0 z t0 M x x t y y t z z t x t0 t y t0 t z t0 t x x0 x y y0 y z z0 z x x t0 x t0 t x t0 y y t0 y t0 t y t0 z z t0 z t0 t z t0 x x0 x t y y0 y t z z0 z t 1 x x0 x t0 y y0 y t0 z z0 z t0 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 2 切线方程与法平面方程切线方程与法平面方程 M0 M x x t y y t z z t 切线切线 x t0 x x0 y t0 y y0 z t0 z z0 0 法平面法平面 切向量切向量 a x t0 y t0 z t0 例例1 求螺线 在 求螺线 在t0 3和和t1 对应 的点处的切线方程和法平面方程 对应 的点处的切线方程和法平面方程 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 x acost y asint z bt z y O x a a x t0 y t0 z t0 t0对应点处的切线方程为 解 对应点处的切线方程为 解 t0对应的点为对应的点为M0 a 2 3a 2 b 3 asint acost b t 3 3a 2 a 2 b z b 3 b x a 2 3a 2 y 3a 2 a 2 请双面打印 复印 节约纸张 272365083 2 例例1 求螺线 在 求螺线 在t0 3和和t1 对应 的点处的切线方程和法平面方程 对应 的点处的切线方程和法平面方程 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 x acost y asint z bt x t0 y t0 z t0 t0对应点处的法平面方程 为 解 对应点处的法平面方程 为 解 t0对应的点为对应的点为M0 a 2 3a 2 b 3 asint acost b t 3 3a 2 a 2 b b 3 a x y a b z 0 3 2 a 2 3 2 a 2 ax y bz 0 3 2 a 2 b2 3 z y O x a a 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 x t1 y t1 z t1 t1对应点处的切线方程为 解 对应点处的切线方程为 解 t1对应的点为对应的点为M1 a 0 b asint acost b t 0 a b z b b x a 0 y 0 a z y O x a a 即即 t1对应点处的法平面方程为对应点处的法平面方程为 即即ay bz b2 0 x a 0 by az ab 0 ay b z b 0 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 2 由由 1 可得点可得点M0 x0 y x0 z x0 处的切线方 程为 法平面方程为 处的切线方 程为 法平面方程为 x x0 y x0 y y x0 z t0 z z x0 0 y y x z z x x t y y t z z t x x0 1 y y x0 y x0 z z x0 z x0 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 它确定它确定 3 F x y z 0 G x y z 0 y y x z z x dz dx FxFy GxGy FyFz GyGz dy dx FzFx GzGx FyFz GyGz 由由 2 可得点可得点M0 x0 y0 z0 处的切线方程为处的切线方程为 x x0 1 y y x0 y x0 z z x0 z x0 x x0 y y0 z z0 FyFz GyGz M0 FzFx GzGx M0M0 FxFy GxGy 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 它确定它确定 3 F x y z 0 G x y z 0 y y x z z x dz dx FxFy GxGy FyFz GyGz dy dx FzFx GzGx FyFz GyGz 点点M0 x0 y x0 z x0 处的法平面方程为处的法平面方程为 x x0 FyFz GyGz M0 FzFx GzGx M0M0 FxFy GxGy y y0 z z0 0 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 例例2 求 求 在点在点M0 3 5 4 5 9 25 处 的切线方程和法平面方程 处 的切线方程和法平面方程 解解 x t0 y t0 z t0 所求的切线方程为 即 所求的切线方程为 即 z x2 x2 y2 1 z x2 x2 y2 1 x cost y sint z cos2t t0 arccos 3 5 4 5 3 5 24 25 M0对应于对应于 z 9 25 24 25 x 3 5 4 5 y 4 5 3 5 z 9 25 24 x 3 5 20 y 4 5 15 请双面打印 复印 节约纸张 272365083 3 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 例例2 求 求 在点在点M0 3 5 4 5 9 25 处 的切线方程和法平面方程 处 的切线方程和法平面方程 解解 x t0 y t0 z t0 所求的法平面方程为 即 所求的法平面方程为 即500 x 375y 600z 216 0 z x2 x2 y2 1 z x2 x2 y2 1 x cost y sint z cos2t t0 arccos 3 5 4 5 3 5 24 25 M0对应于对应于 0 25 9 25 24 5 4 5 3 5 3 5 4 zyx 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 把把x0 3 5 y0 4 5 z0 9 25代入上式解得 故所求的切线方程为 例 代入上式解得 故所求的切线方程为 例2 求 求 在点在点M0 3 5 4 5 9 25 处 的切线方程和法平面方程 处 的切线方程和法平面方程 解解 法二法二 方程组中每个等式两边对方程组中每个等式两边对x求导得求导得 z x2 x2 y2 1 z 2x 2x 2yy 0 y x0 3 4 z x0 6 5 即即 z 9 25 6 5 x 3 5 1 y 4 5 3 4 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 把把x0 3 5 y0 4 5 z0 9 25代入上式解得 故所求的法平面方程为 例 代入上式解得 故所求的法平面方程为 例2 求 求 在点在点M0 3 5 4 5 9 25 处 的切线方程和法平面方程 处 的切线方程和法平面方程 解解 法二法二 方程组中每个等式两边对方程组中每个等式两边对x求导得求导得 z x2 x2 y2 1 z 2x 2x 2yy 0 y x0 3 4 z x0 6 5 即即 x y z 0 3 5 3 4 4 5 6 5 9 25 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用 解 多元函数微分学的几何应用 解 法三法三 令令 F x y z z x2 G x y z x2 y2 1 则 故所求的切线方程为 则 故所求的切线方程为 FzFx GzGx M0 6 5 FxFy GxGy M0 48 25 FyFz GyGz M0 8 5 即即 z 9 25 48 25 x 3 5 8 5 y 4 5 6 5 z 9 25 24 x 3 5 20 y 4 5 15 即即500 x 375y 600z 216 0 所求的法平面方程为 所求的法平面方程为 20 x 3 5 15 y 4 5 24 z 9 25 0 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用 注 多元函数微分学的几何应用 注 由前面的讨论可知由前面的讨论可知 设曲线 由参数方程 给出 设曲线 由参数方程 给出 若若x t y t z t 连续连续 且不同时为零且不同时为零 则曲 线 上每一点处都有切线 则曲 线 上每一点处都有切线 并且切线随着切点的 移动而连续地移动 并且切线随着切点的 移动而连续地移动 这样的曲线 为光滑曲线这样的曲线 为光滑曲线 若 由一般方程 曲线的条件是 若 由一般方程 曲线的条件是F G有连续的偏导数有连续的偏导数 且 给出 且 给出 则 为光滑则 为光滑 x x t y y t z z t F x y z 0 G x y z 0 不全为零不全为零 FxFy GxGy FzFx GzGx FyFz GyGz 二二 空间曲面的切平面与法线空间曲面的切平面与法线 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 1 定义定义 切平面切平面 法线法线 若曲面 上过点若曲面 上过点M0的任意一条光滑曲线 在该点的切线都在同一个平面上 的任意一条光滑曲线 在该点的切线都在同一个平面上 则称 这个平面为曲面 在点 则称 这个平面为曲面 在点M0处的切平面处的切平面 过点过点M0与切平面垂直的直线称为曲面 在点 与切平面垂直的直线称为曲面 在点M0处的法线处的法线 请双面打印 复印 节约纸张 272365083 4 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 2 切平面方程与法线方程 切平面方程与法线方程 F x t y t z t 0 Fx M0 x t0 Fy M0 y t0 Fz M0 z t0 0 x t0 y t0 z t0 垂直垂直 Fx M0 Fy M0 Fz M0 与 的切向量与 的切向量 M0处的切平面的法向量处的切平面的法向量 Fx M0 Fy M0 Fz M0 就是 在点就是 在点 1 F x y z 0在点在点M0 x0 y0 z0 处处 x x t y y t z z t 为 上过点为 上过点M0的光滑曲线的光滑曲线 注注 M0 t0 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 法线方程为法线方程为 Fx M0 x x0 Fy M0 y y0 Fz M0 z z0 0 2 切平面方程与法线方程切平面方程与法线方程 1 F x y z 0在点在点M0 x0 y0 z0 处的切 平面方程为 处的切 平面方程为 x x0 Fx M0 y y0 Fy M0 z z0 Fz M0 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用 例 多元函数微分学的几何应用 例3 求曲面 求曲面 x2 2y2 3z2 21平行于平面 平行于平面 0 x 4y 6z 0的切平面方程的切平面方程 解解 平面平面 0 x 4y 6z 0的法向量为的法向量为 1 4 6 于是 在点于是 在点M0 x0 y0 z0 处的切平面 的 处的切平面 的 0 2x0 4y0 6z0 1 4 6 代入 的方程得代入 的方程得x0 1 所以点所以点M0的坐标为的坐标为 1 2 2 或或 1 2 2 因而所求的切平面的方程为因而所求的切平面的方程为x 4y 6z 21 令令F x y z x2 2y2 3z2 21 则则Fx 2x Fy 4y Fz 6z y0 z0 2x0 法向量为法向量为 2x0 4y0 6z0 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 2 z f x y 在点在点M0 x0 y0 z0 处 令 处 令F x y z f x y z 则 由 则 由 1 得 在得 在M0处的切平面方程为处的切平面方程为 Fy M0 fy x0 y0 Fx M0 fx x0 y0 Fz M0 1 法线方程为法线方程为 fx x0 y0 x x0 fy x0 y0 y y0 z z0 0 x x0 fx x0 y0 y y0 fy x0 y0 z z0 1 第五章 多元函数微分学及其应用第五章 多元函数微分学及其应用 5 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 注注 由 由 z f x y 在在M0处的切平面方程 可见 处的切平面方程 可见z f x y 在在M0 x0 y0 处的全微分在几何上表示 该点的切平面竖直坐标的 增量 处的全微分在几何上表示 该点的切平面竖直坐标的 增量 得得z z0 fx x0 y0 x x0 fy x0 y0 y y0 fx x0 y0 x x0 fy x0 y0 y y0 z z0 0 例例4 求曲面 求曲面 z x2 y2 1在点在点 2 1 4 处切 平面方程与法线方程 处切 平面方程与法线方程 解解 zx