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文档简介

对流扩散方程网格比 ， 而它们的比值是一个无量纲量，称为网格雷诺数，也就是以网格尺寸 为特征长度的雷诺数，通常记作 。（1） 显式中心差分格式即精度：稳定性分析：设 ，则 ， ，代入差分格式令 ，可求出增长因子所以因此我们来考虑函数的极值。为此，需求出其驻点，即 。实际计算，知除非 ，否则应该有 或者 。当 时， ， ，当 时， ， ，所以，显式中心差分格式的稳定性条件是 ， 即 ， 其中的第一个不等式可以用网格雷诺数表示成因此，稳定性条件可写成如果再注意到上述稳定性条件化为对时间步长的限制条件对于高雷诺数的情形， 。此时网格雷诺数也很大，稳定性对时间步长的限制还是相当苛刻的。特别是，在 的情况下，原方程和差分格式分别退化成对流方程和中心差分格式，而稳定性条件也变得无法满足（）。于是我们重新得到了“对流方程的显式中心差分格式是不稳定的”这一结论。另一方面，当 时，原方程和格式分别退化成热传导方程及其显式格式，而稳定性条件变成 ，这也是我们前面已经得到过的结果。（2） 显式迎风格式 （） （）注意到所以格式可以改写成 （） （）或统一写成即精度：稳定性分析：这一格式与显式中心差分格式的区别就在于格式右端最后一项的系数由 变成了 。因此，格式的稳定性条件是 ， 即 ， 但是，如果第二个不等式成立，则所以，第一个不等式也成立。于是格式的稳定性条件只需是在 的情况下，原方程和差分格式分别退化成对流方程和迎风格式，而稳定性条件就是 。同样地，当 时，原方程和格式再次退化成热传导方程及其显式格式。此时，稳定性条件变成 。这些都是已知的结论。由于故上述不等式也可以用网格雷诺数写成最后，由稳定性条件对时间步长的限制就是（3） 平均隐式格式即精度：稳定性分析：由于所以 ，平均隐式格式是无条件稳定的。（4） 完全隐式格式即精度：稳定性分析：所以，完全隐式格式也是无条件稳定的。（5） 分裂算法如果借鉴时间分裂或者空间分裂的思路，搞一个“先对流，后扩散”的“物理分裂”，即：将对流扩散方程分裂成两个方程 ， 则相应的“预估-校正”显式
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