概率论第八章-1.pdf

概率论与数理统计概率论与数理统计 1 随机地从一批零件中抽取 随机地从一批零件中抽取16个 测得长度个 测得长度 cm 为 为 2 14 2 10 2 13 2 15 2 13 2 12 2 13 2 10 2 15 2 12 2 14 2 10 2 13 2 11 2 14 2 11 设零件长度分布为正态分布 试求总体 设零件长度分布为正态分布 试求总体 的的90 的置信区间 的置信区间 1 若若 2 若若未知 未知 0 01cm 解解 1 1 0 01 已已知知置信区间为置信区间为 2 Xz n 2 125 16 0 01 0 10 xn 而而 0 05 2 1 645zz 2 0 004z n 故故置信区间为置信区间为 2 121 2 129 课堂练习 课堂练习 2 解解 2 2 未未知知置信区间为置信区间为 2 1 S Xtn n 2 0 0044 2 125 16 0 10 15 xnS 而而 0 05 2 1 15 1 7531tnt 2 1 0 0075 S tn n 故故 置信区间为置信区间为 2 1175 2 1325 3 2 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱 分别以 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱 分别以 两条流水线上抽取样本 两条流水线上抽取样本 及及 算出算出 假设这 假设这 两条流水线上灌装的番茄酱的重量都服从正态分布 两条流水线上灌装的番茄酱的重量都服从正态分布 且相互独立 其均值分别为且相互独立 其均值分别为 1 设两总体方 设两总体方 差差 求 求置信度为置信度为95 的置信区间 的置信区间 2 求求的置信度为的置信度为95 的置信区间 的置信区间 1212 XXX 1217 Y YY 22 12 10 6 9 5 2 4 4 7Xg Yg SS 12 22 12 12 22 12 解解 1 1 经过分析可知 置信区间为经过分析可知 置信区间为 12 2 12 11 2 XYStnn nn 4 0 05 120 025 2 2 27 2 0518 tnnt 置信区间为置信区间为 0 401 2 601 22 1122 12 1 1 2 nSnS S nn 其其中中 22 12 10 6 9 5 2 4 4 7Xg Yg SS 1212 12 17 227 nnnn 1 1 XY 12 2 12 11 2 1 501Stnn nn 5 解解 2 2 经过分析可知 置信区间为 经过分析可知 置信区间为 22 11 22 212212 1 22 11 1 1 1 1 SS SFnnSFnn 0 05 120 025 2 1 1 11 16 2 94FnnF 22 12 2 4 4 7SS 1212 12 17 111 116 nnnn 12 1 2 210 025 2 111 1 1 1 1 16 11 3 33 Fnn FnnF 置信区间为置信区间为 0 1737 1 7004 6 第八章第八章 假设检验假设检验 假设检验假设检验 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验 置信区间与假设检验之间的关系置信区间与假设检验之间的关系 样本容量的选取样本容量的选取 分布拟合检验分布拟合检验 秩和检验秩和检验 7 若对参数若对参数 一无所知一无所知 用参数估计用参数估计 的方法处理的方法处理 若对若对 参数参数 有所有所 了解了解 但有怀但有怀 疑猜测疑猜测 需要证需要证 实之时实之时 用假设用假设 检验的检验的 方法来方法来 处理处理 假设检验问题是统计推断的另一类重要问题假设检验问题是统计推断的另一类重要问题 8 假设检验是指施加于一个或多个总体的概率分布或假设检验是指施加于一个或多个总体的概率分布或 参数的假设参数的假设 所作假设可以是正确的所作假设可以是正确的 也可以是错误的也可以是错误的 为判断所作的假设是否正确为判断所作的假设是否正确 从总体中抽取样本从总体中抽取样本 根根 据样本的取值据样本的取值 按一定原则进行检验按一定原则进行检验 然后作出接受或然后作出接受或 拒绝所作假设的决定拒绝所作假设的决定 何为假设检验何为假设检验 9 假设检验所以可行假设检验所以可行 其理论背景为实际推断原理其理论背景为实际推断原理 即即 小概率原理 小概率原理 假设检验的内容假设检验的内容 参数检验参数检验 8 2 8 3 非参数检验非参数检验 总体均值总体均值 均值差的检验均值差的检验 总体方差总体方差 方差比的检验方差比的检验 分布拟合检验 分布拟合检验 8 6 秩和检验 秩和检验 8 7 假设检验的理论依据假设检验的理论依据 10 1 假设检验假设检验 假设检验的基本思想和方法假设检验的基本思想和方法 假设检验的相关概念和一般步骤假设检验的相关概念和一般步骤 11 假设检验假设检验 参数假设检验参数假设检验 非参数假设检验非参数假设检验 这类问题称作假设检验问题这类问题称作假设检验问题 总体分布已总体分布已 知 检验关知 检验关 于未知参数于未知参数 的某个假设的某个假设 总体分布未知时的假设检验问题总体分布未知时的假设检验问题 在本节中在本节中 我们将讨论不同于参数估计的另一我们将讨论不同于参数估计的另一 类重要的统计推断问题类重要的统计推断问题 这就是这就是根据样本的信息检验根据样本的信息检验 关于总体的某个假设是否正确关于总体的某个假设是否正确 一 假设检验的基本思想和方法一 假设检验的基本思想和方法 12 让我们先看一个引例让我们先看一个引例 这一章我们讨论对参数的假设检验这一章我们讨论对参数的假设检验 13 生产流水线上罐装可乐不生产流水线上罐装可乐不 断地封装 然后装箱外运断地封装 然后装箱外运 怎怎 么知道这批罐装可乐的容量是么知道这批罐装可乐的容量是 否合格呢 否合格呢 把每一罐都打开倒入量杯把每一罐都打开倒入量杯 看看 看容量是否合于标准看容量是否合于标准 这样做显然不这样做显然不 行 行 罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在 350毫升和毫升和360毫升之间毫升之间 14 每隔一定时间 抽查若干罐每隔一定时间 抽查若干罐 如每隔如每隔1小时 小时 抽查抽查5罐 得罐 得5个容量的值个容量的值X1 X5 根据这些 根据这些 值来判断生产是否正常值来判断生产是否正常 如发现不正常 就应停产 找出原因 排除如发现不正常 就应停产 找出原因 排除 故障 然后再生产 如没有问题 就继续按规定故障 然后再生产 如没有问题 就继续按规定 时间再抽样 以此监督生产 保证质量时间再抽样 以此监督生产 保证质量 通常的办法是进行抽样检查通常的办法是进行抽样检查 15 很明显 不能由很明显 不能由5罐容量的数据 在把握不大罐容量的数据 在把握不大 的情况下就判断生产的情况下就判断生产 不正常 因为停产的损失是不正常 因为停产的损失是 很大的很大的 当然也不能总认为正常 有了问题不能及时发当然也不能总认为正常 有了问题不能及时发 现 这也要造成损失现 这也要造成损失 如何处理这两者的关系 假设检验面对的就如何处理这两者的关系 假设检验面对的就 是这种矛盾是这种矛盾 16 在正常生产条件下 由于种种随机因素的影响 在正常生产条件下 由于种种随机因素的影响 每罐可乐的容量应在每罐可乐的容量应在355毫升上下波动毫升上下波动 这些因素这些因素 中没有哪一个占有特殊重要的地位中没有哪一个占有特殊重要的地位 因此 根据中因此 根据中 心极限定理 假定每罐容量服从正态分布是合理的心极限定理 假定每罐容量服从正态分布是合理的 现在我们就来讨论这个问题现在我们就来讨论这个问题 罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在 350毫升和毫升和360毫升之间毫升之间 17 它的对立假设是 它的对立假设是 称称H0为原假设为原假设 或零假设 或零假设 称称H1为备择假设为备择假设 或对立假设 或对立假设 在实际工作中 在实际工作中 往往把不轻易往往把不轻易 否定的命题作否定的命题作 为原假设为原假设 0 H0 355 0 H1 0 这样 我们可以认为这样 我们可以认为X1 X5是取自正态是取自正态 总体总体的样本 的样本 2 N 是一个常数是一个常数 2 当生产比较稳定时 当生产比较稳定时 现在要检验的假设是 现在要检验的假设是 18 那么 如何判断原假设那么 如何判断原假设H0是否成立呢 是否成立呢 较大 较小是一个相对的概念 合理的界限在何较大 较小是一个相对的概念 合理的界限在何 处 应由什么原则来确定 处 应由什么原则来确定 由于由于是正态分布的期望值 它的估计量是样本是正态分布的期望值 它的估计量是样本 均值均值 因此 因此可以根据可以根据与与的差距的差距X X 0 来判断来判断H0是否成立是否成立 X 0 较小时 可以认为较小时 可以认为H0是成立的 是成立的 当当X 0 生产已不正常生产已不正常 当当较大时 应认为较大时 应认为H0不成立 即不成立 即 X 0 19 问题归结为对差异作定量的分析 以确定其性质问题归结为对差异作定量的分析 以确定其性质 差异可能是由抽样的随机性引起的 称为差异可能是由抽样的随机性引起的 称为 抽样误差 或抽样误差 或 随机误差随机误差 这种误差反映偶然 非本质的因素所引起的随机这种误差反映偶然 非本质的因素所引起的随机 波动波动 20 然而 这种随机性的波动是有一定限度的 然而 这种随机性的波动是有一定限度的 如果差异超过了这个限度 则我们就不能用抽样如果差异超过了这个限度 则我们就不能用抽样 的随机性来解释了的随机性来解释了 必须认为这个差异反映了事物的本质差别 即必须认为这个差异反映了事物的本质差别 即 反映了生产已不正常反映了生产已不正常 这种差异称作这种差异称作 系统误差 系统误差 21 问题是 根据所观察到的差异 如何判断它问题是 根据所观察到的差异 如何判断它 究竟是由于偶然性在起作用 还是生产确实不究竟是由于偶然性在起作用 还是生产确实不 正常 正常 即差异是 抽样误差 还是 系统误差 所引即差异是 抽样误差 还是 系统误差 所引 起的 起的 这里需要给出一个量的界限这里需要给出一个量的界限 22 问题是 如何给出这个量的界限 问题是 如何给出这个量的界限 这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则 这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则 小概率事件在一次试验中基小概率事件在一次试验中基 本上不会发生本上不会发生 23 现在回到我们前面罐装可乐的例中 现在回到我们前面罐装可乐的例中 在提出原假设在提出原假设H0后 如何作出接受和拒绝后 如何作出接受和拒绝H0的结的结 论呢 论呢 在假设检验中 我们称这个小概率为在假设检验中 我们称这个小概率为显著性水显著性水 平平 用 用表示表示 常取常取 的选择要根据实际情况而定 的选择要根据实际情况而定 05 0 01 0 1 0 24 罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在350毫升和毫升和360毫毫 升之间升之间 一批可乐出厂前应进行抽样检查 现抽一批可乐出厂前应进行抽样检查 现抽 查了查了n 罐 测得容量为罐 测得容量为 X1 X2 Xn 问这一批可问这一批可 乐的容量是否合格 乐的容量是否合格 25 提出假设提出假设 选检验统计量选检验统计量 0 X Z n N 0 1 2 PZz H0 355H1 355 由于由于已知 已知 它能衡量差异它能衡量差异大小且分布已知大小且分布已知 0 X 对给定的显著性水平对给定的显著性水平 可以在 可以在N 0 1 表中查到表中查到 分位点的值分位点的值 使 使 2 z 26 故我们可以取拒绝域为 故我们可以取拒绝域为 也就是说也就是说 2 Zz 是一个小概率事件是一个小概率事件 W 2 Zz 如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域 W 则拒绝 则拒绝H0 否则 不能拒绝 否则 不能拒绝H0 2 PZz 27 如果如果H0是对的 那么衡量差异大小的某个统计是对的 那么衡量差异大小的某个统计 量落入区域量落入区域 W 拒绝域拒绝域 是个小概率事件是个小概率事件 如果该统如果该统 计量的实测值落入计量的实测值落入W 也就是说 也就是说 H0 成立下的小概成立下的小概 率事件发生了 那么就认为率事件发生了 那么就认为H0不可信而否定它不可信而否定它 否否 则我们就不能否定则我们就不能否定H0 只好接受它 只好接受它 这里所依据的逻辑是 这里所依据的逻辑是 28 不否定不否定H0并不是肯定并不是肯定H0一定对 而只是一定对 而只是 说差异还不够显著 还没有达到足以否定说差异还不够显著 还没有达到足以否定H0 的程度的程度 所以假设检验又叫所以假设检验又叫 显著性检验显著性检验 29 如果显著性水平如果显著性水平取得很小 则拒绝域取得很小 则拒绝域 也会比较小也会比较小 其产生的后果是 其产生的后果是 H0难于被拒绝难于被拒绝 如果在如果在很小的情况下很小的情况下H0仍仍 被拒绝了 则说明实际情况被拒绝了 则说明实际情况 很可能与之有显著差异很可能与之有显著差异 01 0 基于这个理由 人们常把基于这个理由 人们常把时拒绝时拒绝H0称为称为 是是显著显著的 而把在的 而把在时拒绝时拒绝H0称为是称为是高度高度 显著显著的的 05 0 30 在上面的例子的叙述中 我们已经初步介绍在上面的例子的叙述中 我们已经初步介绍 了假设检验的基本思想和方法了假设检验的基本思想和方法 下面 我们再结合另一个例子 进一步说明假下面 我们再结合另一个例子 进一步说明假 设检验的一般步骤设检验的一般步骤 二 假设检验的基本概念和一般步骤二 假设检验的基本概念和一般步骤 31 例例 1 某车间用一台包装机包装葡萄糖某车间用一台包装机包装葡萄糖 包得的袋装糖包得的袋装糖 重是一个随机变量重是一个随机变量 它服从正态分布它服从正态分布 当机器正常时当机器正常时 其均值为其均值为0 5千克千克 标准差为标准差为0 015千克千克 某日开工后为检某日开工后为检 验包装机是否正常验包装机是否正常 随机地抽取它所包装的糖随机地抽取它所包装的糖9袋袋 称称 得净重为得净重为 千克千克 0 497 0 506 0 518 0 524 0 498 0 511 0 520 0 515 0 512 问机器是否正常问机器是否正常 和标准差和标准差 的均值的均值重总体重总体分别表示这一天袋装糖分别表示这一天袋装糖和和用用X 分析分析 由长期实践可知由长期实践可知 标准差较稳定标准差较稳定 015 0 设设 015 0 2 NX则则 未知未知其中其中 32 问题问题 根据样本值判断根据样本值判断提出两个提出两个 对立假设对立假设再利用已知再利用已知 样本作出判断是接受假设样本作出判断是接受假设 H0 拒绝假设拒绝假设 H1 还是拒还是拒 绝假设绝假设 H0 接受假设接受假设 H1 如果作出的判断是接受如果作出的判断是接受 H0 即认为机器工作是正常的即认为机器工作是正常的 否则否则 认为是不认为是不 正常的正常的 0 5 0 5 还是还是 5 0 0100 HH和和 0 则则 由于要检验的假设涉及总体均值由于要检验的假设涉及总体均值 故可借助于样本均故可借助于样本均 值来判断值来判断 X 的无偏估计量的无偏估计量是是因为因为 00 Hx 所所以以若若为为真 真 则则 不不应应太太大大 33 1 0 0 N n X 考虑考虑 0 的大小可归结的大小可归结衡量衡量 x 于是可以选定一个适当的正数于是可以选定一个适当的正数k 为衡量为衡量 0 的大小的大小 n x 0 0 Hk n x x拒绝假设拒绝假设时时满足满足当观察值当观察值 0 0 Hk n x x接受假设接受假设时时满足满足当观察值当观察值反之反之 1 0 0 0 N n X ZH 为真时为真时因为当因为当 34 0 05 在实例中若取定在实例中若取定 96 1 025 02 zzk 则则 0 015 9 n又已知又已知 0 511 x由样本算得由样本算得 于是拒绝假设于是拒绝假设H0 认为包装机工作不正常认为包装机工作不正常 假设检验过程如下假设检验过程如下 1 96 2 2 0 n x 即有即有 由标准正态分布分位点的定义得由标准正态分布分位点的定义得 2 zk 00 20 20 xx zHzH nn 当时 拒绝时接受 35 以上所采取的检验法是符合实际推断原理的以上所采取的检验法是符合实际推断原理的 0 01 0 05 由于通常 总是取得很小 一般取等 0 00 2 0 0 2 X Hz n H x zx n 因而当为真 即时是一个小概率事件 根据实际推断原理 就可以认为如果为真 由一次试验得到满足不等式 的观察值几乎是不会发生的 0 20 0 x xzH n H 若出现观察值满足不等式则没有理由拒绝假设 因而只能接受 0 2 00 x zx n HH 在一次试验中 得到了满足不等式的观察值 则我们有理由怀疑原来的假设的正确性 因而拒绝 36 假设检验假设检验的相关概念的相关概念 1 显著性水平显著性水平 0 k x Zkk n 当样本容量固定时 选定 后 数就可以确定 然后按照统计 量的观察值的绝对值大于等于还是小于来作决定 00 0 Hxk n x z则我们拒绝则我们拒绝的差异是显著的的差异是显著的与与则称则称如果如果 00 0 Hxk n x z则我们接受则我们接受的差异是不显著的的差异是不显著的与与则称则称如果如果反之反之 0 x 上述关于 与有无显著差异的判断是在显著性水平之下作出的 称为显著性水平称为显著性水平数数 37 2 检验统计量检验统计量 0 称为检验统计量称为检验统计量统计量统计量 n X Z 3 原假设与备择假设原假设与备择假设 假设检验问题通常叙述为假设检验问题通常叙述为 下下在显著性水平在显著性水平 01 检验检验针对针对下下或称为 在显著性水平或称为 在显著性水平HH 10 称为备择假设称为备择假设称为原假设或零假设称为原假设或零假设 HH 0100 HH检验假设检验假设 4 拒绝域与临界点拒绝域与临界点 当检验统计量取某个区域当检验统计量取某个区域C中的值时中的值时 我们拒绝原假我们拒绝原假 设设H0 则称区域则称区域C为为拒绝域拒绝域 拒绝域的边界点称为拒绝域的边界点称为临界点临界点 如在前面实例中如在前面实例中 2 zz 拒绝域为拒绝域为 2 2 zzzz 临界点为临界点为 38 5 两类错误及记号两类错误及记号 假设检验的依据是假设检验的依据是 小概率事件在一次试验中很难发小概率事件在一次试验中很难发 生生 但很难发生不等于不发生但很难发生不等于不发生 因而假设检验所作出的结因而假设检验所作出的结 论有可能是错误的论有可能是错误的 这种错误有两类这种错误有两类 1 当原假设当原假设H0为真为真 观察值却落入拒绝域观察值却落入拒绝域 而作出了拒而作出了拒 绝绝H0的判断的判断 称做称做第一类错误第一类错误 又叫又叫弃真错误弃真错误 这类错误这类错误 是 以真为假 是 以真为假 犯第一类错误的概率是显著性水平犯第一类错误的概率是显著性水平 2 当原假设当原假设 H0 不真不真 而观察值却落入接受域而观察值却落入接受域 而作出了而作出了 接受接受 H0 的判断的判断 称做称做第二类错误第二类错误 又叫又叫取伪错误取伪错误 这类错这类错 误是 以假为真 误是 以假为真 39 000 1 HPHHP H 接受接受或或不真接受不真接受当当 当样本容量当样本容量 n 一定时一定时 若减少犯第一类错误的概率若减少犯第一类错误的概率 则犯第二类错误的概率往往增大则犯第二类错误的概率往往增大 犯第二类错误的概率记为犯第二类错误的概率记为 若要使犯两类错误的概率都减小若要使犯两类错误的概率都减小 除非增加样本容量除非增加样本容量 6 显著性检验显著性检验 只对只对犯第一类错误的概率加以控制犯第一类错误的概率加以控制 而不考虑犯第二而不考虑犯第二 类错误的概率的检验类错误的概率的检验 称为称为显著性检验显著性检验 40 00101 00 0010 HHH HH 在和中 备择假设表示 可能大于也可能小于称为双边备择假设 形如 的假设检验称为双边假设检验 7 双边备择假设与双边假设检验 双边备择假设与双边假设检验 8 右边检验与左边检验 右边检验与左边检验 0010 HH 形如的假设检验 称为右边检验 0010 HH 形如的假设检验 称为左边检验 右边检验与左边检验统称为右边检验与左边检验统称为单边检验单边检验 41 9 单边检验的拒绝域单边检验的拒绝域 21 2 给定显著性水平给定显著性水平的样本的样本是来自总体是来自总体 为已知为已知设总体设总体 X XXXNX n 0 0 z n x z z n x z 左边检验的拒绝域为左边检验的拒绝域为 右边检验的拒绝域为右边检验的拒绝域为则则 证明证明 1 右边检验右边检验 0 n X Z 取检验统计量取检验统计量 0100 HH 中中都比都比中的全部中的全部因因 10 HH 1 往往偏大往往偏大观察值观察值为真时为真时当当xH 为待定正常数为待定正常数因此拒绝域的形式为因此拒绝域的形式为kkx 要小要小的的 42 00 HHP为真拒绝为真拒绝由由 kXP H 0 n k n X P 00 0 n k n X P 0 0 上式不等号成立的原因上式不等号成立的原因 0 因为因为 0 n X n X 所以所以 000 n k n X n k n X 事件事件 00 HHP为真拒绝为真拒绝要控制要控制 0 0 n k n X P只需令只需令 43 故右边检验的拒绝域为故右边检验的拒绝域为 1 0 N n X 因为因为 0 z n k 所以所以 0 z n k 0 z n x z 即即 0 z n x 2 0 z n x z 绝域为绝域为类似可得左边检验的拒类似可得左边检验的拒 44 假设检验假设检验的一般步骤的一般步骤 1 1 0 H H 假设假设 及备择及备择提出原假设提出原假设根据实际问题的要求根据实际问题的要求 2n以及样本容量以及样本容量给定显著性水平给定显著性水平 3 确定检验统计量以及拒绝域形式确定检验统计量以及拒绝域形式 4 00 求出拒绝域求出拒绝域为真拒绝为真拒绝按按 HHP 5 0 H受还是拒绝受还是拒绝根据样本观察值确定接根据样本观察值确定接取样取样 45 例例2 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从 正态分布正态分布 2 40 2 scmscmN 现在用新方法生产了一批推进器 从中随机取现在用新方法生产了一批推进器 从中随机取 n 25只 测得燃烧率的样本均值为只 测得燃烧率的样本均值为 25 41scmx 设在新方法下总体均方差仍为设在新方法下总体均方差仍为 2cm s 问这批推 问这批推 进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率 有显著的提高 取显著性水平有显著的提高 取显著性水平 05 0 46 代入代入 2 n 25 并由样本值计算得并由样本值计算得统计统计 量量Z 的实测值的实测值 Z 3 125 1 645 故拒绝故拒绝H0 即认为这批推进器的燃料率较以往生 即认为这批推进器的燃料率较以往生 产的有显著的提高 产的有显著的提高 落入拒绝域落入拒绝域 解解 提出假设提出假设 0 0 05 1 645 x zz n 取统计量取统计量 拒绝域为拒绝域为 1 645 0010 40 HH 0 05 zz 47 例例3 某工厂生产的一种螺钉 标准要求长度是某工厂生产的一种螺钉 标准要求长度是32 5 毫米毫米 实际生产的产品 其长度实际生产的产品 其长度X 假定服从正态分布假定服从正态分布 未知 现从该厂生产的一批产品中抽未知 现从该厂生产的一批