数学竞赛中的三次函数图象问题.pdf

数学竞赛中的 刘康 宁 陕西省西安铁一 中 在文献 1 中 笔者 主要对三次函数 的零点 问题 进 行 了多 角度 全 方 位 的探 究 给 出 了 组 结 论 本 文拟通过竞赛题 谈谈有关三次 函数图象问题 的解题 思路 仅供 参考 例 1 2 0 1 0年 山东省 高 中数 学预赛题 函数 厂 z 一 2 x 3 x 4的 图象 的对称 中心 为 解 析 我们 知道 三 次 函数 y z a x c z a O 都是奇函数 它们 的图象是 中心对称 图形 对称 中心是坐标原点 而一般 的三次函数 一a x b x c n 0 不一定是奇函数 但是可以通过平移 将其转化为奇函数 我们还知道 一个 函数 Y 一厂 z 的图象关于点 是 成中心对称 图形 的充要条件是 对任意 z R 者 B 有 z f h z 一2 k 方法 1 设函数 图象的对称 中心为 尼 则 将 的图象按向量 l 矗 尼 平移后所得函数为 g z 一 z h 2 3 z h 4 一k z 3 h 2 z 3 h 4 h 3 Iz h 2 h 3 4 一 是 又 函数 g z 为奇 函数 的充要 条件 是 3 h 2 0 1 h 3 2 h 2 3 h 4 k 一 0 r 2 h 一一专 解 得 7 0 宠 一 故 函 数 厂 z 图 象 的 对 称 中 心 为 号 7 O 方 法 2 假 设 函数 厂 z 图象 的对 称 中心 为 忌 则存在 m R 使得对任意 z R 都有 z 一 z z一 即 2 x 3 x 4 lz 一 3 h x 3 h m z h 一 尼 f 一 3 2 所 以 3 h m一3 一h 一mh 忌 一4 吾 解得 m一昔 l 70 故 函 数 厂 z 图 象 的 对 称 中 心 为 2 7 0 方法 3 设 函数 厂 z 图象 的对称 中心 为 尼 则 对任意 z R 有 厂 矗 z 厂 矗 x 一2 k 即 z 一z 2 矗 x 3 r z 一z 8 2 k 亦 即 3 h 2 z h 2 h 3 h 4 一k 所以t l 3 h 2 2 o 3 4一 尼 说 明 方法 3所应 用 的结论 对 于 图象 成 中心 对称 图形的任意函数都适用 对 于三次函数 f x 一 z b x f z d a O 还 有 如下两 个结 论 1 厂 z 的 图象 是 中心对 称 图形 对 称 中心 必在 其 图 象 上 且 为 一 b 厂 一 2 z 的拐点 z 一一 b 使二阶导数 厂 z 一 的点 恰好是它的图象的对称 中心的横坐标 例 2 设 函数 z 一z a 2 c b x c的图象与 z轴 自左 至右依 次交 于不 同的三 点 A M B 过 点 A B分别作 曲线 y一 厂 的切线 切点分别为 P Q 且 点 P 与 A 不 重合 点 Q与 B 不重 合 设 点 P Q在 z 轴上的射影分别为 P Q 求证 当实数 a b c变化 时 为定值 解析 依题意 可将 厂 z 用其零点式表示 设 A O M m O B 9 0 a 0 其图象与 z轴 即直线 z 的另一个交点为 B t 0 由 g 3 X 2 2 得 z 一 警 所 以 点 c 在 新 坐 标 系 中 的 坐 标 为 警 一 设直线 z 与函数 g z 图象的另一个交点 D 的 坐 标 为 a 一 等 则 是 方 程 g z 一 一 万4 t3 明 根 因为方程 z x t 一一 有重根 所 以 z 一z 一 2 t 所 以 由韦达定 理 得 z z a 一 一 4 ff 则 a 一 寺 所 以 点 D 在 新 坐 标 系 中 的 坐 标 为 一 寺 一 于是 I AB J f C D J t 所 以 四边形 ABC D 是平行 四边形 其 面积 为 S A BC D 一 筹 所 以 当 且 仅 当 l A B l I A D I 即 3 1 6 8 1 一 时 四边形 AB C D为菱形 由 寺 得 一 此 时 S 口 A B c 一石4 t 4 6 故四边形 ABC D 是 菱形 的充要 条件 是其 面积 为 6 说 明 由于 平 移变 换 不 改 变 图形 的形 状 和 大 小 所以本题通过坐标 轴 的平移 简化 了解题过程 另 外 要注 意 从 四边 形到 平行 四边 形 从 平行 四边形 到 菱形 的解题 层次 例 4 设 函数 厂 z 一z a x b x f的 图象 为 曲线c 若对任意不等于一等的实数 z 曲线 C与其 在点 P z f 3 2 处 的切 线交 于另一 点 P z 3 2 z f x 曲线 c与其在 点 P 处 的切线交 于另 一点 P z 厂 设 线段 P P P z P 与 曲线 C所 围 成 的封 闭 图形 的面 积分 别 为 S S z 证 明 是 与 n b c 无关 的常数 解析 根据题意 可利用定积分的几何意义 分别 计算面积 S s z 因为 f 1z 一3 x 2 a x b 所 以 曲线 C在点 P 处 的切线 方程 为 y f x1 3 x 2 a x l 6 z 2 C 1 即 一 3 x 2 a x l 6 z 一2 z a 2 c f 与 z a x 6 z c 联立 消去 y得 a x 一 3 x 2 a x 1 z 2 z z 一0 因为直 线 P P 与 曲线 C相 切于 点 P 所 以方 程 有 二 重根 5 C z 由韦达 定理 得 2 z z 一 一n 则 z 2 一 一2 x 1 一以 S 一I I z 口 z z 一 3 z 2 a z 2 x l n x d x I 一 丢 z a x 3 专 3 z 2 a x 1 3c 2 2 z z I I l I 一 3 x1 a 一 同理 z 一2 x 2 a S 所 一 一 故 一 为定值 说明 本题也可 以平移坐标轴 使 曲线 c的中心 一 号 一 号 为 坐 标 原 点 在 新 坐 标 系 中 利 用 定 积求 S s 可减少运算量 读者不妨一试 例 5 2 0 1 3年四川省 高中数 学预赛题 若实数 3 7 满 足 f x z 则 称 z z 为 厂 z 的不 动 点 已知函数 厂 z 一z a x 3 其中 口 b为常数 I 若 a 0 求 函数 z 的单调递增区间 1 1 若 n 0时 存在一个实数 X 使得 z X 既是 厂 的不动点 又是 z 的极值点 求实数 b的 值 m 求证 不存在实数对 口 6 使得 厂 z 互异 的两个极值皆为不动点 解 析 第 I 问 是 一 个 基 本 问 题 对 于 第 问 根 据不 动点 的定 义 问题转 化 为 有 一个 极 点 在直线 z上 求 b的值 对于第 1 1 1 问 可考虑用 反证 法证 明 工 若 口 0 厂 z 一 b x 3 则 f z 3 x 6 当 6 O时 f z O 则 z 在 一C x 上 单 调递增 当 b o 得z 一 宝 则 厂 z 的 递 增 区 间 为 一 一 一 鲁 和 一 号 c x3 若 口 一0 由题设 及 工 得 0 且 p 1 3 x 2 W b O 其中 消去 b 得 2 z z 一3 0 即 z 一1 2 x 2 x 3 一0 因为 2 z 2 z 3 0 所 以 z 一1 则 6 一一3 1 I 假设存在一对实数 n 6 使得 z 互异的 两个 极值 点 皆为不 动点 则 f 一3 x 2 a z 6 因为 厂 z 有两个不同的极值点 所 以 一4 a 一1 2 b 0 即 n 3 b 设 厂 z 的两个极值点为 z z z 3 b 所 以 2 n 一6 6 9 9 矛 盾 故不存在实数对 n 6 使得 厂 z 互异 的两个极 值点 皆 为不动 点 说明 如果一个三次 函数有两个不 同的极值点 那么这两个极值点不可能都在直线 Y 上 上面给 出了这个几何直观现象的严格证明 作为对三次函数的拓展 最后请看下例 例 6 在平面直角坐标系 x O y中 如果 轴与函 数 f z 一z 口 z b x c z d的图象 n 从左至右 依次交于四个不 同的点 A B C D 且线段 AB AC AD能构成一个三角形 则称 z轴为 曲线 的一条 三角形线 证 明 与 z轴平行且与曲线 交于四个 不同点的直线都是曲线 n的三角形线 解析 设点 A B C D 的横坐标依 次为 z z z 3 z 4 z 1 2 3 l ADI z 2 一 z 3 3 7 1 z 4 X l z 2 X 1 z 4 一z 3 l ABl l C Dl 故 z轴为曲线 的三角形线 的充要条件是 l AB1 l C DI 假设结论不成立 即存在一条直线 l 它与曲线 n 自左至 右依次 交 于 四个 不 同 的点 A B C D 使 得 l A B l l C D l 由四次 函数 z 的 性 质 知 任 意 一 条 平 行 于 z 轴且介于直线 z 与 z轴之间的直线也与曲线 n交 于 四个不 同 的点 于 是 这 些 直 线 中至 少 有 一 条 z 它 与曲线 的四个交点 A B C D 自左至右 满足 A B0 I f C 0 D f 以线段 B C 的 中点 M x 也是 A D 的中 点 为原点 直线 如 为 轴建 立 直角 坐 标 系 u O v 设 U轴与曲线 n 的四个交点 A B C D 在新坐标系 u O v中的横坐标依次为 l 2 3 4 1 2 3 l C D l 矛盾 故与 轴平行且 与曲线 交于 四个不同点 的直 线都是 曲线 的三角形线 最 后 给 出几道 练 习题 1 2 0 1 3年浙江省高 中数 学预赛题 设直线 z 与 曲线 Y z z 1有 三 个 不 同 的 交 点 A B C 且 l AB l I BCf 则直线 z 的方程为 2 2 0 1 3年高考数学安徽卷 若函数 厂 z 一z a x b x f 有极值 点 z1 z 2 且 f x 1 一z l 则 关 于 z 的方程 3 厂 十2 a f x b 一0的不同实根的个 数是 3 已知实数 m满足 有且仅有一个正方形 其四 个顶点均在曲线 z m3 7 上 试求这个正方形的 面积 4 2 0 0 7年 高考数 学全国卷 已知函数 厂 z 一z 一z 设 a O 如果过点 n 6 可作 曲线 Y 一 z 的 三条 切线 证 明 一口 6 0 与椭 圆C X 2 CO 是参数 有公共点 求 圆的半径 l Y s i n a r的取 值范 围 问题 3的求解思路主要有三种 思路 1 先设交 点为 z 后化为一元二次方程 3 z 一8 z 8 4 r 一 0在区间 一2 2 有实根 的问题 思路 2 先设交点为 0 后化为二次函数 一 z 一2 x 2 一2 2 的值域问题 思路 3 直接设交点 为 2 c o s a s i n a 化为三角函数 一3 c o s a 一4 c o s d 2的值域 问题 思路 1 虽然曲线交点表征的选取与转换正确 但是不 合理 思路 2虽然 曲线交点表征的选取与转换合理 但是不完美 思路 3因为曲线交点表征的选取合理转 换流畅 所 以才能呈现出一个堪称完美的解法 问题 2与 问题 3的研 究 表 明 一 个具 体 的数 学对 象 往 往具 有 多元 表征 这 些 不 同的数 学 表 征