中南大学版固体物理学习题及答案详解.pdf

第一章 晶体结构 1 试述晶态 非晶态 准晶 多晶和单晶的特征性质 解 晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列 或称为长程有序 非晶态固体材料中 的原子不是长程有序地排列 但在几个原子的范围内保持着有序性 或称为短程有序 准晶 态是介于晶态和非晶态之间的固体材料 其特点是原子有序排列 但不具有平移周期性 另外 晶体又分为单晶体和多晶体 整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为 单晶体 而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的 2 晶格点阵与实际晶体有何区别和联系 解 晶体点阵是一种数学抽象 其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位 置 也可以是基元中任意一个等价的点 当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实 际的晶体结构 晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为 晶格点阵 基元 实际晶体结构 3 晶体结构可分为 Bravais 格子和复式格子吗 解 晶体结构可以分为 Bravais 格子和复式格子 当基元只含一个原子时 每个原子的 周围情况完全相同 格点就代表该原子 这种晶体结构就称为简单格子或 Bravais 格子 当 基元包含 2 个或 2 个以上的原子时 各基元中相应的原子组成与格点相同的网格 这些格子 相互错开一定距离套构在一起 这类晶体结构叫做复式格子 4 图 1 34 所示的点阵是布喇菲点阵 格子 吗 为什么 如果是 指明它属于那类布喇菲格 子 如果不是 请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类 a b c d 图 1 34 a 面心 体心 立方 b 边心 立方 c 边心 体心 立方 d 面心四方 解 a 面心 体心 立方不是布喇菲格子 从 面心 体心 立方体的任一顶角上的格点看 与它最邻近的有 12 个格点 从面心 任一点看来 与它最邻近的也是 12 个格点 但是从体心那点来看 与它最邻近的有 6 个格 点 所以顶角 面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同 即不满足所有格点完全等价 的条件 因此不是布喇菲格子 而是复式格子 此复式格子属于简立方布喇菲格子 b 边心 立方不是布喇菲格子 从 边心 立方体竖直边心任一点来看 与它最邻近的点子有八个 从 边心 立方体 水平边心任一点来看 与它最邻近的点子也有八个 虽然两者最邻近的点数相同 距离相等 但他们各自具有不同的排列 竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行 横放的两个平面上 而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行 竖放的两个平面上 显然这两种点所处的几何 环境不同 即不满足所有格点完全等价的条件 因此不是布喇菲格子 而是复式格子 此复 式格子属于简立方布喇菲格子 c 边心 体心 立方不是布喇菲格子 1 从 边心 体心 立方任一顶点来看 与它最邻近的点子有 6 个 从边心任一点来看 与它最邻近的点子有 2 个 从体心点来看 与它最邻近的点子有 12 个 显然这三种点所处 的几何环境不同 因而也不是布喇菲格子 而是属于复式格子 此复式格子属于简立方布喇 菲格子 d 面心四方 从 面心四方 任一顶点来看 与它最邻近的点子有 4 个 次最邻近点子有 8 个 从 面 心四方 任一面心点来看 与它最邻近的点子有 4 个 次最邻近点子有 8 个 并且在空间的 排列位置与顶点的相同 即所有格点完全等价 因此 面心四方 格子是布喇菲格子 它属 于体心四方布喇菲格子 5 以二维有心长方晶格为例 画出固体物理学原胞 结晶学原胞 并说出它们各自的特点 解 以下给出了了二维有心长方晶格示意图 由上图 我们可给出其固体物理学原胞如下图 a 所示 结晶学原胞如下图 b 所示 a1 a2 a b a b 从上图 a 和 b 可以看出 在固体物理学原胞中 只能在顶点上存在结点 而在结 晶学原胞中 既可在顶点上存在结点 也可在面心位置上存在结点 6 倒格子的实际意义是什么 一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系 解 倒格子的实际意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间 波矢 K 空间 在晶 体的 X 射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子 设一种晶体的正格基矢为 根据倒格子基矢的定义 1 a 2 a 3 a 2 2 2 2 21 3 13 2 32 1 aa b aa b aa b 式中 是晶格原胞的体积 即 321 aaa 由此可以唯一地确定相应的倒格子 空间 同样 反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢 所以一种晶体的正格矢和相应的倒格 矢有一一对应的关系 7 为什么说晶面指数 和 Miller 指数 都能反映一个平行晶面族的方向 321 hhhhkl 解 晶面指数 是以固体物理学原胞的基矢 为坐标轴来表示面 指数的 而 Miller 指数 是以结晶学原胞的基矢 b c为坐标轴来表示面指数的 但它们都是以平行晶面族在坐标轴上的截距的倒数来表示的 而这三个截距的倒数之比就等 于晶面族的法线与三个基矢的夹角余弦之比 从而反映了一个平行晶面族的方向 321 hhh 1 a 2 a 3 a hkla 8 试画出体心立方 面心立方的 100 110 和 111 面上的格点分布 解 体心立方 100 110 和 111 面上的格点分布为 体心立方 100 面 体心立方 110 面 体心立方 111 面 面心立方 100 110 和 111 面上的格点分布为 面心立方 100 面 面心立方 110 面 面心立方 111 面 9 一个物体或体系的对称性高低如何判断 有何物理意义 一个正八面体 见图 1 35 有哪 些对称操作 解 对于一个物体或体系 我们首先必须对其经过测角和投影以后 才可对它的对称规律 进行分析研究 如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多 则其对称性越高 反之 含 有的对称操作元素越少 则其对称性越低 晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关 例如六角对称的晶体有双折射现象 3 而立方晶体 从光学性质来讲 是各向同性 的 正八面体中有 3 个 4 度轴 其中任意 2 个 位于同一个面内 而另一个则垂直于这个 面 6 个 2 度轴 6 个与 2 度轴垂直的对称 面 3 个与 4 度轴垂直的对称面及一个对称 中心 10 各类晶体的配位数 最近邻原子数 是多少 解 7 种典型的晶体结构的配位数如下表 1 1 所示 晶体结构 配位数 晶体结构 配位数 面心立方 六角密积 12 氯化钠型结构 6 体心立方 8 氯化铯型结构 8 简立方 6 金刚石型结构 4 11 利用刚球密堆模型 求证球可能占据的最大体积与总体积之比为 1 简单立方 6 2 体心立方 8 3 3 面心立方 6 2 4 六角密积 6 2 5 金刚石 16 3 解 1 在简立方的结晶学原胞中 设原子半径为R 则原胞的晶体学常数 则简立方的致密度 即球可能占据的最大体积与总体积之比 为 Ra2 6 2 3 4 1 3 4 1 3 3 3 3 R R a R 2 在体心立方的结晶学原胞中 设原子半径为R 则原胞的晶体学常数3 4Ra 则体心立方的致密度为 8 3 3 4 3 4 2 3 4 2 3 3 3 3 R R a R 3 在面心立方的结晶学原胞中 设原子半径为R 则原胞的晶体学常数Ra22 则面心立方的致密度为 6 2 22 3 4 2 3 4 4 3 3 3 3 R R a R 4 4 在六角密积的结晶学原胞中 设原子半径为R 则原胞的晶体学常数 Ra2 Rac 3 64 3 62 则六角密积的致密度为 6 2 3 64 4 2 3 6 3 4 6 4 3 6 3 4 6 2 3 2 3 R R R c a R 5 在金刚石的结晶学原胞中 设原子半径为R 则原胞的晶体学常数Ra 3 8 则金刚石的致密度为 16 3 3 8 3 4 8 3 4 8 33 3 3 3 R R a R 12 试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子 解 我们知体心立方格子的基矢为 2 2 2 3 2 1 kjia kjia kjia a a a 根据倒格子基矢的定义 我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为 2 2 2 2 2 2 21 3 13 2 32 1 ji aa b ki aa b kj aa b a a a 由此可知 体心立方格子的倒格子为一面心立方格子 同理可得出面心立方格子的倒 格子为一体心立方格子 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子 13 对于六角密积结构 固体物理学原胞基矢为 jiaa a 2 3 2 1 jiaa a 2 3 2 2 kac 3 试求倒格子基矢 解 根据倒格子基矢的定义可知 5 2 321 32 1 aaa aa b 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 kjiji kji ca a a a ca a ca acac 2 2 3 22 3 2 ji 3 2 2 ji a 2 321 13 2 aaa aa b 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 kjiji jik ca a a a a a c ca acac 2 2 3 22 3 2 ji 3 2 2 ji a 2 321 21 3 aaa aa b 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 kjiji jiji ca a a a a a a a ca a 2 2 2 3 2 3 2 k k c 2 14 一晶体原胞基矢大小 基矢间夹角 试求 ma 10 104 mb 10 106 mc 10 108 o 90 o 90 o 120 1 倒格子基矢的大小 2 正 倒格子原胞的体积 3 正格子 210 晶面族的面间距 解 1 由题意可知 该晶体的原胞基矢为 ai 1 a 2 3 2 1 2 jia b kac 3 6 由此可知 2 321 32 1 aaa aa b abc bc 2 3 2 1 2 3 2 ji 3 1 2 ji a 2 321 13 2 aaa aa b abc ac 2 3 2 j j 3 22 b 2 321 21 3 aaa aa b abc ab 2 3 2 3 2 k k c 2 所以 1 b 22 3 1 1 2 a 110 108138 1 3 4 m a 2 b 2 3 2 2 b 110 102092 1 3 4 m b 3 b 2 1 2 c 110 107854 0 2 m c 2 正格子原胞的体积为 321 aaa 2 3 2 1 kjiicba 328 106628 1 2 3 mabc 倒格子原胞的体积为 321 bbb 2 3 2 2 3 1 2 kjji cba 330 3 104918 1 3 16 m abc 3 根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知 正格子 210 晶面族的面间距为 h h d K 2 321 012 2 bbb ji 3 4 3 4 4 2 baa m ba a 10 22 104412 1 3 1 3 1 1 1 4 2 15 如图 1 36 所示 试求 1 晶列ED 和的晶列指数 FDOF 2 晶面 和的密勒指数 AGK FGIHMNLK 7 3 画出晶面 120 131 a 2 x y z AB DC G F E O IH y x A a 2 K O GL N M z 图 1 36 解 1 根据晶列指数的定义易求得晶列ED的晶列指数为 111 晶列的晶列指数 为 110 晶列OF的晶列指数为 011 FD 2 根据晶面密勒指数的定义 晶面在 和三个坐标轴上的截距依次为 1 1 和 1 则其倒数之比为AGKxyz 1 1 1 1 1 1 1 1 1 故该晶面的密勒指数为 111 晶面在 和三个坐标轴上的截距依次为 1 2 和 1 则其倒数之比为FGIHxyz 1 0 2 1 1 1 2 1 1 故该晶面的密勒指数为 201 晶面在 和三个坐标轴上的截距依次为 1 2 1 和 则其倒数之比为MNLKxyz 0 1 2 1 1 1 2 1 1 故该晶面的密勒指数为 210 3 晶面 120 131 分别如下图中晶面和晶面所示 AMLkABC 8 b 3 x y z A B C O y x A b 2 K O L M z 16 矢量a b 构成简单正交系 证明晶面族的面间距为 c hkl 222 1 c l b k a h dhkl 解 由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为 ka ja ia c b a 3 2 1 由此可求得其倒格子基矢为 kk aaa aa b jj aaa aa b ii aaa aa b c ab abc b ac abc a bc abc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 321 21 3 321 13 2 321 32 1 根据倒格子矢量的性质有 321 22 bbbKlkh d hkl hkl 222 1 222 2 c l b k a h l c k b h a kji 17 设有一简单格子 它的基矢分别为ia3 1 ja3 2 5 1 3 kjia 试求 1 此晶体属于什么晶系 属于哪种类型的布喇菲格子 2 该晶体的倒格子基矢 3 密勒指数为 121 晶面族的面间距 4 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少 5 111 与 111 晶列之间的夹角余弦为多少 解 1 由题意易知该晶体属于立方晶系 并属于体心立方布喇菲格子 2 由倒格子基矢的定义可知 k k aaa aa b kj kj aaa aa b ki ki aaa aa b 5 1 2 5 13 92 2 3 2 5 13 5 42 2 3 2 5 13 5 42 2 321 21 3 321 13 2 321 32 1 3 根据倒格矢的性质 可求得密勒指数为 121 晶面族的面间距为 9 321 112 112 21 22 bbbK d 10 30 30 3 52 3 2 2 kji 4 由于面密度d 其中是面间距 d 是体密度 对布喇菲格子 等于常 数 因此 我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为 则该晶面族的面间距 应为最大值 所以有 321 hhh 321 hhh d 332211 22 321 321 bbb K hhh d hhh hhh max 2 3 2 3 2 2 21321 21321 kji kji hhhhh hhhhh 由此可知 对面指数为 100 010 101 011 和 111 有最大面间距2 3 因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族 5 111 与 111 晶列之间的夹角余弦为 321321 321321 111 111 111 111 arccos aaaaaa aaaaaa RR RR o 53 48 5 15 15 15 15 45 4 5 15 15 1 5 15 45 4 arccos kjikji kjikji 18 已知半导体GaAs具有闪锌矿结构 Ga和As两原子的最近距离d 2 45 10 10m 试求 1 晶格常数 2 固体物理学原胞基矢和倒格子基矢 3 密勒指数为 110 晶面族的面间距 4 密勒指数为 110 和 111 晶面法向方向间的夹角 解 1 由题意可知 GaAs 的晶格为复式面心立方晶 格 其原胞包含一个 Ga 原子和一个 As 原子 其中 Ga 原 子处于面心立方位置上 而 As 原子则处于立方单元体对角 线上距离 Ga 原子 1 4 体对角线长的位置上 如左图所示 由此可知 ad 4 3 Ga 原子 As 原子 10 故 mda 10 1045 2 3 4 3 4 m 10 1059 5 2 由于 GaAs 的空间点阵为面心立方结构 故其固体物理学原胞基矢为 10795 2 2 10795 2 2 10795 2 2 10 3 10 2 10 1 jijia ikika kjkja a a a 其倒格子基矢为 10124 1 2 10124 1 2 10124 1 2 10 3 10 2 10 1 kjikjib kjikjib kjikjib a a a 3 密勒指数为 110 晶面族的面间距为 m a d 10 321110 110 10795 2 2011 22 bbbK 4 根据倒格子矢的性质可知 密勒指数为 110 和 111 晶面法向方向间的夹角即为倒格 子矢和 110 K 111 K之间的夹角 设为 则有 321321 321321 111 110 111 110 111011 111 011 arccos bbbbbb bbbbbb KK KK o 55 107 3015 0 arccos 19 如图 1 37 所示 设二维正三角形晶格相邻 原子间距为 a 试求 1 正格子基矢和倒格子基矢 2 画出第一布里渊区 并求出第一布里渊区 的内接圆半径 解 1 取该二维正三角形晶格中任意相邻的两边为基矢 并使的方向和i的方向相 同 于是有 1 a 图 1 37 jia ia 2 3 2 2 1 aa a 那么有 11 j kaa ak b ji kaa ka b a a 3 4 2 3 1 2 2 21 1 2 21 2 1 2 根据第一布里渊区的定义 可作图如下所示 2 a i j 上图中的阴影部分即为第一布里渊区 且由图中可以求出第一布里渊区的内接圆半径为 a r 3 2 2 2 b 20 试求面心立方结构 体心立方结构和金刚石结构的几何结构因子 并讨论其衍射相消条 件 解 1 在面心立方结构的原胞中包含有 4 个原子 其坐标为 0 0 0 2 1 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 2 1 由此可知 其几何结构因子为 2 2 jjj j lwkvhuni j j i j jhkl efefF RS 1 lknilhnikhni eeef 2 2 2 cos cos cos1lknlhnkhnfFhkl 2 sin sin sinlknlhnkhn 由于 k l和都为整数 所以上式中的正弦项为 0 于是有 hn 2 2 2 cos cos cos1lknlhnkhnfFhkl 12 由此可知 当 nk和奇偶混杂时 即 和不同为奇数或偶数时 此时nhnlnhnknl 0 2 hkl F 即出现衍射相消 2 在体心立方结构的原胞中包含有 2 个原子 其坐标为 0 0 0和 2 1 2 1 2 1 由此可知 其几何结构因子为 2 2 jjj j lwkvhuni j j i j jhkl efefF RS 1 lkhni ef 22 2 2 sin cos1lkhnlkhnfFhkl 由于 k l和都为整数 所以上式中的正弦项为 0 于是有 hn 2 2 2 cos1lkhnfFhkl 由此可知 当为奇数时 此时有 lkhn 0 2 hkl F 即出现衍射相消 3 在金刚石结构的原胞中含有 8 个原子 其坐标为 0 0 0 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 2 1 4 1 4 3 4 3 4 3 4 3 4 1 4 3 4 1 4 3 由此可知 其几何结构因子为 2 2 jjj j lwkvhuni j j i j jhkl efefF RS 33 2 33 2 33 2 2 1 lkhnilkhnilkhni lknilhnikhni lkhni eeeeeeef 2 11 lknilhnikhni lkhni eeeef cos1 2 sin 2 cos1 22 2 2 khnlkhnlkhnfFhkl 22 sin sin sin cos coslknlhnkhnlknlhn 由于 l和都为整数 所以上式中的正弦项为 0 于是有 hkn 2 2 2 2 cos cos cos1 2 cos1lknlhnkhnlkhnfFhkl 由此可知 当nh nk和nl奇偶混杂时 即 nk和nl不同为奇数或偶数时或者当nh 13 nh nk和全为偶数 且 nl12 4 mlkhn 其中为整数 时 有有m0 2 hkl F 即出现衍射相消 21 用钯靶X射线投射到NaCl晶体上 测得其一级反射的掠射角为 5 9 已知NaCl晶胞 中Na K 与Cl 的距离为 2 82 10 10m 晶体密度为 2 16g cm3 求 1 X 射线的波长 2 阿伏加德罗常数 解 1 由题意可知 NaCl 晶胞的晶胞参数m 又应 为 NaCl 晶胞为面心立方结构 根据面心立方结构的消光规律可知 其一级反射所对应的晶 面族的面指数为 111 而又易求得此晶面族的面间距为 1010 1064 51082 22 a 10 10 222 111 1026 3 3 1064 5 111 a dm 又根据布拉格定律可知 910 111 10702 69 5sin1026 32sin2 o dm 2 由题意有以下式子成立 NaClA M a N 4 3 23 63103 10038 6 1016 2 1064 5 5 5844 a M N NaCl A 14 第二章 晶体的结合 1 试述离子键 共价键 金属键 范德瓦尔斯和氢键的基本特征 解 1 离子键 无方向性 键能相当强 2 共价键 饱和性和方向性 其键能也非 常强 3 金属键 有一定的方向性和饱和性 其价电子不定域于 2 个原子实之间 而是在 整个晶体中巡游 处于非定域状态 为所有原子所 共有 4 范德瓦尔斯键 依靠瞬时 偶极距或固有偶极距而形成 其结合力一般与 7 r成反比函数关系 该键结合能较弱 5 氢键 依靠氢原子与 2 个电负性较大而原子半径较小的原子 如 O F N 等 相结合形成 的 该键也既有方向性 也有饱和性 并且是一种较弱的键 其结合能约为 50kJ mol 2 有人说 晶体的内能就是晶体的结合能 对吗 解 这句话不对 晶体的结合能是指当晶体处于稳定状态时的总能量 动能和势能 与 组成这晶体的 N 个原子在自由时的总能量之差 即 0 EEE Nb 其中为结合能 为组成这晶体的 N 个原子在自由时的总能量 为晶体的总能量 而晶体的内能是指晶 体处于某一状态时 不一定是稳定平衡状态 的 其所有组成粒子的动能和势能的总和 b E N E 0 E 3 当 2 个原子由相距很远而逐渐接近时 二原子间的力与势能是如何逐渐变化的 解 当 2 个原子由相距很远而逐渐接近时 2 个原子间引力和斥力都开始增大 但首先 引力大于斥力 总的作用为引力 0 rf ru 4 为什么金属比离子晶体 共价晶体易于进行机械加工并且导电 导热性良好 解 由于金属晶体中的价电子不像离子晶体 共价晶体那样定域于 2 个原子实之间 而 是在整个晶体中巡游 处于非定域状态 为所有原子所 共有 因而金属晶体的延展性 导电性和导热性都较好 5 有一晶体 在平衡时的体积为 原子之间总的相互作用能为 如果原子间相互作用 能由下式给出 0 V 0 U nm rr ru 试证明弹性模量可由 9 00 VmnU给出 解 根据弹性模量的定义可知 0 0 2 2 V V dV Ud V dV dP VK 1 上式中利用了 dV dU P 的关系式 1 设系统包含个原子 则系统的内能可以写成 N 2 2 nm rr N ru N U 2 又因为可把个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距Nr的函数 即 3 rNNvV 3 上式中 为与晶体结构有关的因子 如面心立方结构 2 2 又因为 2112 3 1 2 3 1 0 rNr n r mN dr dU NrdV dU nm R 4 0 01122 2 23 1 rr nm V r n r mN rNdr d dV dr dV Ud nmnm r n r m r n r mN V 000 2 0 2 2 0 33 29 1 5 考虑平衡条件0 0 r dV dU 得 nm r n r m 00 那么 5 式可化为 nmnm V r n n r m m N Vr n r mN VdV Ud 00 2 00 2 0 2 22 2 29 1 29 1 0 0 92929 1 0 2 000 2 000 2 0 U V mn rr N V mn r m n r n m N V nmmn 6 将 6 式代入 1 式得 9 9 000 2 0 0 VmnUU V mn VK 6 上题表示的相互作用能公式中 若2 m 10 n 且两原子构成稳定分子时间距为 m 离解能为 4eV 试计算 10 103 和 之值 解 在平衡位置时有 K E rr ru 10 0 2 0 1 0 102 11 0 3 0 rrdr rdu 2 将离解能eV 和m代入 1 和 2 式可得 4 k E 10 0 103 r 0 3A 19 105 4 eV m2 eV m 96 109 5 10 2 7 设某晶体每对原子的势能具 r B r A 9 的形式 平衡时 结合能为 试计算 A 和 B 以及晶体的有效弹性模量 mr 10 0 108 2 JU 19 108 解 由题意有以下方程成立 0 9 2 0 10 0 0 9 0 0 r B r A dr du U r B r A r 把 U的具体数值代入上述方程组 即得 0 r 0 108 2 108 2 9 108 108 2 108 2 2101010 19 10910 BA BA 由此可得 9105 100578 1mJA mJB 28 1052 2 该晶体的有效弹性模量为 0 2 2 0V dV ud VK 又 3 rNNvV 上式中表示晶体中所含的原子个数 N 表示与晶体结构有关的因子 故 0 9 1 2 2 0 r dr ud Nr K 290 9 1 3 0 11 00 r B r A Nr 11 102797 3 9 1 N 8 KCl晶体的体弹性模量为 1 74 1010Pa 若要使晶体中相邻离子间距缩小 0 5 问需要施 加多大的力 解 设 KCl 晶体内包含个原胞 综合考虑到库仑吸引能和重叠排斥能 则系统的内 能可以写成 N n r B r A NU 1 此外 由于 KCl 每个原胞体积为 3 2r 则晶体的总体积为 2 3 2NrV 其中 1 和 2 式中的r都指KCl晶体中相邻K 和Cl 之间的距离 根据体弹性模量的定义有 3 0 0 2 2 V V dV Ud V dV dP VK 3 设平衡时晶体内相邻离子间的距离为 则平衡体积 那么平衡时的体弹性 模量为 0 r 3 00 2NrV 0 2 2 V dV Ud VK 又根据 KCl 晶体内能表达式 1 式及平衡条件0 0 V dV dU 可 得0 1 0 2 0 n r nB r A 或 1 0 1 n r nA B 将 1 和 2 式代入 3 式 并利用平衡条件可得 0 33 3 0 2 rr n r B r A dr d dr dr K 000 2 2 0 2 0 18 11 18 rr n rr n r r B r A dr d rr B r A dr d rdr dr 上式中的前一项由于平衡条件而等于 0 后一项求微商后利用平衡条件化简得 4 0 2 0 3 00 18 1 1 2 18 1 r An r Bnn r A r K n 由此知 1 18 4 0 n Kr A 当 使 晶 体 中 相 邻 离 子 间 距 缩 小0 5 时 即 使 相 邻 离 子 间 距 变 为 此时需施加的外力为 001 95 0 5 01 rrr 1 95 0 1 95 0 12 0 21 1 2 1 1 nn rr r A r nB r A dr du F 1 95 0 1 1 95 0 18 12 2 0 n n Kr 查书中表 2 2 及表 2 5 可知 0 9 n m 代入上式可得 10 0 1014 3 r N 9 1017 2 F 9 由个原子 离子 所组成的晶体的体积可写成 式中为每个原子 离 子 平均所占据的体积 N 3 rNNvV v r为粒子间的最短距离 为与结构有关的常数 试求下列各种结 构的 值 4 1 简单立方点阵 2 面心立方点阵 3 体心立方点阵 4 金刚石点阵 5 NaCl 点阵 解 1 在简单立方点阵中 每个原子平均所占据的体积 故 33 rav 1 2 在面心立方点阵中 每个原子平均所占据的体积 333 2 2 2 4 1 4 1 rrav 故 2 2 3 在体心立方点阵 每个原子平均所占据的体积 333 9 34 3 2 2 1 2 1 rrav 故 9 34 4 在金刚石点阵中 每个原子平均所占据的体积 333 9 38 3 4 8 1 8 1 rrav 故 9 38 5 在 NaCl 点阵中 每个原子平均所占据的体积 333 2 8 1 8 1 rrav 故1 10 对于由个惰性气体原子组成的一维单原子链 设平均每 2 个原子势为 N 612 0 2 xx uxu 求 1 原子间的平均距离 0 x 2 每个原子的平均晶格能 3 压缩系数k 解 1 在平衡时 有下式成立 0 6212 7 0 6 13 0 12 0 0 xx u dx xdu xx 1 由上式可得 0 x 2 设该个惰性气体原子组成的一维单原子链的总的相互作用势能为 那么有 N xU 5 6 1 12 1 0 2 2 jj j xx u N xU 2 设X为 2 个原子间的最短距离 则有Xax ji 1 那么 2 式可化为 6120 2 X B X A Nu XU 3 其中 3 式中00048 2 3 1 2 1 1 2 1 121212 L j j a A 07809 4 3 1 2 1 1 22 1 2 666 L j j a B 那么每个原子的平均晶格能为 0 61200 07809 4 00048 2 2 u u N xU 3 根据压缩系数的定义可知 1 111 2 2 2 dX dU dXN d Nx dV Ud V dV dP V dP dV V k 4 将 3 式代入 4 式得 0 8 6 14 12 0 2 707607809 4131200048 2 2 1 u XX Nu N NX k X 11 若 NaCl 晶体的马德隆常数 1 75 晶格常数 a 5 64 幂指数 n 9 晶体拉伸而达到 稳定极限时 求 0 A 1 离子间距增加多少 2 负压强的理论值是多大 解 1 设该 NaCl 晶体的含有个离子 则其相互作用势能为 N n r B r MqN rU 0 2 42 1 上式中的r指 NaCl 晶体中相邻两离子间的距离 又设 NaCl 晶体处于平衡状态时 相邻两离子间的距离为 则有 0 rar 2 1 0 由平衡条件可知 6 0 42 0 0 12 0 2 rr n rr r nB r MqN dr rdU 2 由 2 式可得 1 0 0 2 4 n r n Mq B 当晶体拉伸而达到稳定极限时 此时相邻离子间的引力达到最大值 即有 0 1 4 2 2 11 23 0 2 2 2 rr n rr r Bnn r MqN dr rUd 3 将 1 0 0 2 4 n r n Mq B 代入 3 式可得 45 3 2 64 5 2 19 2 1 19 1 0 1 1 1 r n r n 0 A 因而离子间距增加了63 082 245 3 01 rrr 0 A 2 由 1 问可求出晶体拉伸稳定时负压强的理论值为 1 1 rr dr dU N P 1 0 0 2 1 1 2 10 2 4 1 42 1 n n r Mq rr Mq 191012 1910219 21012 219 1045 3 10854 814 34 1082 2 109 1 75 1 1045 3 10854 814 34 109 1 75 1 2 1 9 1091 1 Pa 12 已知有个离子组成的 NaCl 晶体 其结合能为 N 4 2 0 2 n rr eN rU 若排斥项 n r 由 r ce 来代替 且当晶体处于平衡时 这两者对相互作用势能的贡献相同 试 求出n和 的关系 解 由平衡条件可知 0 4 2 1 0 2 00 2 0 n r r n r eN dr rdU 1 由 1 式可求得 1 1 2 0 0 4 n e n r 2 7 又由题意有 0 0 r n ce r 3 将 2 式代入 3 式可得 0 0 lnlnlnrnC r 2 0 1 1 2 0 4 ln 1 lnln 4 e n n n C e n n 13 假定在某个离子晶体中 某离子间的空间能够被一种介电常数为 的均匀流体渗满而不 至于影响离子间的排斥作用 但库仑相互作用减少为原来的 1 计算这种情况下 NaCl 的 点阵常数和结合能 解 由题意可知 当 NaCl 晶体被介电常数为 的均匀流体渗满时 其相互作用势能为 4 2 0 2 n r B r MqN rU 1 由平衡条件可知有 0 4 2 1 0 2 00 2 0 n r r nB r MqN dr rdU 2 由 2 式可求得 NaCl 晶体处于平衡状态时 相邻两个离子间的距离为 1 1 2 0 0 4 n Mq nB r 那么 NaCl 的点阵常数为 1 1 2 0 0 4 22 n Mq nB ra 结合能为 1 2 1 1 0 2 1 1 1 0 2 0 4 4 2 nn n nn n b nB Mq nB MqN rUE 14 考察一条直线 其上载有交错的个离子 最近邻之间的排斥能为q N2 n R A 1 试证明在平衡时 1 1 4 2ln2 00 2 0 nR Nq RU 2 令晶体被压缩 使 1 00 RR 试证明在晶体被压缩过程中 外力做功的主项对 8 每离子平均为 2 2 1 C 其中 00 2 4 2ln 1 R qn C 解 1 线型离子晶体的结合能为 j n j n j j a A RaR q NRU 1 1 4 0 2 4 0 2 n R A R Mq N 1 其中 1 式中的 1 j j a M 即为线型离子晶体的马德隆常数 等于 2ln2 j n j a A A 当晶体处于平衡时 有平衡条件 0 4 1 0 2 00 2 0 n R R nA R Mq N dR RdU 2 由 2 式可得 1 0 0 2 4 n R n Mq A 3 将 3 式代入 1 并将2ln2 M也代入 1 可得 1 1 4 2ln2 00 2 0 nR Nq RU 2 使 1 00 RR 当 很小时 在 0 RR 附近把展开为泰勒级数为 RU L 2 0 2 2 000 2 1 1 0 0 R dR RUd R dR RdU RURU RR RR 4 上式中根据平衡条件有0 0 RR dR RdU 另有 1 4 4 3 00 2 12 0 2 2 2 0 0 n R Mq N R nA R Mq N dR d dR RUd RR n RR 离子晶体被压缩 0 2NRl 外力所作的功的主项 略去二级以上微量 得 1 00 RURUlF 9 2 0 3 00 2 1 42 1 Rn R Mq N 22 00 2 2 1 1 4 2ln2 2 1 Cn R Nq 上式中 1 4 2ln2 00 2 n R Nq C 压缩量 0 2NRl 是属于个离子所共有的 即个长度为的线段的总压缩 量为 因此 外力对一个离子所做的功W平均为 N2N2 0 R l 22 2 1 2 2 1 2 C N C N lF W 上式中 1 4 2ln 2 00 2 n R q N C C 10 第三章 晶格振动与晶体的热学性质 1 什么是简谐近似 解 当原子在平衡位置附近作微小振动时 原子间的相互作用可以视为与位移成正比的 虎克力 由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动 这个近似即称为简谐近似 2 试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线 并简要说明其 意义 解 由一维单原子链的色散关系 2 sin2 qa m 可求得一维单原子链中振动格波 的相速度为 2 2 sin qa qa m a q vp 1 而其群速度为 2 cos qa m a dq d vg 2 由 1 式和 2 式可做出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲 线如下图 3 1 所示 q v 2 1 A B 2B 3B 4B B2B3B4B 图 3 1 上图中 m aA a B 曲线 1 代表 2 2 sin qa qa m a q vp 曲线 2 代表 2 cos qa m a dq d vg 由 1 式及结合上图 3 1 中可以看出 由于原子的不连续性 相速度不再是常数 但 当时 0 q m avp 为一常数 这是因为当波长很长时 一个波长范围含有若干个原 1 子 相邻原子的位相差很小 原子的不连续效应很小 格波接近与连续媒质中的弹性波 由 2 式及结合上图 3 1 中可以看出 格波的群速度也不等于相速度 但当 0 q m avv pg 体现出弹性波的特征 当处于第一布区边界上 即q a q 时 而 0 g v m a vp 2 这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播 实际上 它是一种驻波 3 周期性边界条件的物理含义是什么 引入这个条件后导致什么结果 如果晶体是无限大 的取值将会怎样 q 解 由于实际晶体的大小总是有限的 总存在边界 而显然边界上原子所处的环境与体 内原子的不同 从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别 考虑到边界对内 部原子振动状态的影响 波恩和卡门引入了周期性边界条件 其具体含义是设想在一长为 的有限晶体边界之外 仍然有无穷多个相同的晶体 并且各块晶体内相对应的原子的运 动情况一样 即第个原子和第 Na jjtN 个原子的运动情况一样 其中t 1 2 3 引入这个条件后 导致描写晶格振动状态的波矢只能取一些分立的不同值 q 如果晶体是无限大 波矢的取值将趋于连续 q 4 什么叫声子 对于一给定的晶体 它是否拥有一定种类和一定数目的声子 解 声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子 它是一种玻色子 服从玻色 爱因斯 坦统计 即具有能量为的声子平均数为 qwjh 1 1 Tkqw j Bj e qn h 对于一给定的晶体 它所对应的声子种类和数目不是固定不变的 而是在一定的条件下 发生变化 5 试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子 声子气体 与真实理想气体有何相同之 处和不同之处 解 格波的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子 都具有一定的能量和动量 但是声子在与其它粒子相互作用时 总能量守恒 但总动量却不一定守恒 而光子与其它粒 子相互作用时 总能量和总动量却都是守恒的 声子气体 与真实理想气体的相同之处是 粒子之间都无相互作用 而不同之处是 声子气体 的粒子数目不守恒 但真实理想气体的 粒子数目却是守恒的 6 晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设 各取得了什么成就 各有 什么局限性 为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果 解 我们知道晶体比热容的一般公式为 2 2 0 1 Tk Tk B BVV B B m e de Tk k T E c h h h 由上式可以看出 在用量子理论求晶体比热容时 问题的关键在于如何求角频率的分布 函数 但是对于具体的晶体来讲 的计算非常复杂 为此 在爱因斯坦模型中 2 假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动 而在德拜模型中 则以连续介质的弹性波来代 表格波以求出 的表达式 爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时 比热容亦趋近于零的 结果 这是经典理论所不能得到的结果 其局限性在于模型给出的是比热容以指数形式 趋近于零 快于实验给出的以 V c V c 3 T趋近于零的结果 德拜模型取得的最大成就在于它给出了 在极低温度下 比热和温度 3 T成比例 与实验结果相吻合 其局限性在于模型给出的德拜 温度应视为恒定值 适用于全部温度区间 但实际上在不同温度下 德拜温度是不 同的 D D 在极低温度下 并不是所有的格波都能被激发 而只有长声学波被激发 对比热容产生 影响 而对于长声学波 晶格可以视为连续介质 长声学波具有弹性波的性质 因而德拜的 模型的假设基本符合事实 所以能得出精确结果 7 声子碰撞时的准动量守恒为什么不同于普通粒子碰撞时的动量守恒 U 过程物理图像是 什么 它违背了普遍的动量守恒定律吗 解 声子碰撞时 其前后的总动量不一定守恒 而是满足以下的关系式 n Gqqqhhhh 321 其中上式中的表示一倒格子矢量 n G 对于的情况 即有0 n G 321 qqqhhh 在碰撞过程中声子的动量没有发生变化 这种情况称为正规过程 或 N 过程 N 过程只是改变了动量的分布 而不影响热流的方向 它对热阻是没有贡献的 对于0 n G的情况 称为翻转过程或 U 过程 其物理图像可由下 图 3 2 来描述 q2 1 q q1 2 q nG q q1 2 图 3 2 U 过程物理示意图 3 在上图 3 2 中 是向 右 的 碰撞后是向 左 的 从而破坏了热流的方 向 所以 U 过程对热阻是有贡献的 U 过程没有违背普遍的动量守恒定律 因为声子不是 实物量子 所以其满足的是准动量守恒关系 21 qq 3 q 8 简要说明简谐近似下晶体不会发生热膨胀的物理原因 势能的非简谐项起了哪些作用 解 由于在简谐近似下 原子间相互作用能在平衡位置附近是对称的 随着温度升高 原子的总能量增高 但原子间的距离的平均值不会增大 因此 简谐近似不能解释热膨胀现 象 势能的非简谐项在晶体的热传导和热膨胀中起了至关重要的作用 9 已知由个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为 N 2 1 22 2 m N 式中 m 是格波的最高频率 求证它的振动模总数恰好等于 N 解 由题意可知该晶格的振动模总数为 mm d N dN m 0 2 1 22 0 2 N NN m m 0 2 2 arcsin 2 0 10 若格波的色散关系为和 试导出它们的状态密度表达式 2 cq 2 0 cq 解 根据状态密度的定义式可知 n 0 lim 1 其中表示在n 间隔内晶格振动模式的数目 如果在q空间中 根据const q 作出等频率面 那么在等频率面 和 之 间的振动模式的数目就是 由于晶格振动模在空间分布是均匀的 密度为 3 V 为晶体体积 因此有 n q 2 V 的等频率面间的体积 和 频率为 3 2 V n dSdq V 3 2 2 将 2 式代入 1 式可得到状态密度的一般表达式为 2 3 q dSV q 3 3 式中 q q 表示沿法线方向频率的改变率 4 当时 将之代入 3 式可得 2 cq 2 1 2 32 2 33 1 2 4 2 1 2 1 2 c V q cq V dS q V q 当 将之代入 3 式可得 2 0 cq 2 1 0 2 32 2 33 1 2 4 2 1 2 1 2 c V q cq V dS q V q 11 试求质量为 原子间距为 力常数交错为m2 a 1 2 的一维原子链振动的色散关系 当 12 10 时 求在和0 q a q 处的 q 并粗略画出色散关系 解 下图 3 3 给出了该一维原子链的示意图 a 2 1 2 1 2 m 2 x2n 2 x2n 1 x2n x2n 1 x2n 2 x2n 3 图 3 3 在最近邻近似和简谐近似下 第 2n 和第 2n 1 个原子的运动方程为 212212221 2 12 2 12212122 2 2 2 nnnn n nnnn n xxxx dt xd m xxxx dt xd m 1 当 12 10 时 上述