复数与复变函数第一章复数与复变函数ppt课件

复变函数与积分变换 32学时 复变函数与积分变换的主要内容 1复数与复变函数 2解析函数 3复变函数的积分 4级数 5留数及其应用 7Fourier变换 8Laplace变换 第一章复数与复变函数 1 1复数与复平面 1 2复平面点集 1 3复变函数 主要内容 本章主要介绍复数的概念及表示式 复数的运算 平面点集的概念以及复变函数的概念 极限和连续 1 1复数 1复数的概念 2复数的四则运算 3复数的表示方法 4乘幂与方根 1 1 1复数的概念 由于解代数方程的需要 人们引进了复数 例如 简单的代数方程 在实数范围内无解 为了建立代数方程的普遍理论 引入等式 由该等式所定义的数称为 当复数的虚部为零 实部不为零 即y 0 时 复数x iy等于x i0为实数x 而虚部不为零 即 的复数称为虚数 在虚数中 实部为零 即x 0 的称为纯虚数 例如 3 0i 3是实数 4 5i 3i都是虚数 而 3i是纯虚数 数x iy 或x yi 的 并记做 称形如x iy或x yi的表达式为复数 其中x和y是任意两个实数 把这里的x和y分别称为复 显然 z x iy是x yi的共轭复数 即 共轭复数 复数x iy称为复数x yi的 其中x y均为实数 并记做 1 1 2复数的四则运算 设z1 x1 iy1 z2 x2 iy2是两个复数 如果x1 x2 y1 y2 则称z1和z2相等 记为z1 z2 复数z1 x1 iy1和z2 x2 iy2的加 减 乘 除运算定义如下 1 复数的和与差 2 复数的积 3 复数的商 复数运算的性质 1 交换律 2 结合律 3 分配律 解 例1 2 复数能否比较大小 为什么 思考题1 给定一复数z x yi 在坐标平面XOY上存在惟一的点P x y 与z x yi对应 反之 对XOY平面上的点P x y 存在惟一的复数z x yi与它对应 根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射 因此可以用XOY平面上的点表示复数z 这时把XOY平面平面称为复平面 有时简称为z平面 1 1 3复平面与复数的表示法 显然 实数与x轴上的点一一对应 而x轴以外的点都对应一个虚数 纯虚数与y轴上的点 除原点 对应 因此 称x轴为实轴 y轴为虚轴 今后把复平面上的点和复数z不加区别 即 点z 和 复数z 是同一个意思 有时用C表示全体复数或复平面 复数z也可以用以原点为起点而以点P为终点的向量表示 如图 这时复数加 减法满足向量加 减法中的平行四边形法则 用表示复数z时 这个向量在x轴和y轴上的投影分别为x和y 把向量的长度r称为复数z的或称为z的绝对值 并记做 z 显然 如果点P不是原点 即 那么把x轴的正向与向量的夹角q称为复数z的辐角 记做Argz 对每个 都有无穷多个辐角 因为用q0表示复数z的一个辐角时 就是z的辐角的一般表达式 有时 在进行说明后 把主辐角定义为满足 的方向角 但当z 0时 z 0 满足的复数z的称为主辐角 或称辐角的主值 记做argz 则 的辐角 这时上式仍然成立 当z 0时 Argz没有意义 即零向量没有确定 当时 有 说明 当z在第二象限时 利用直角坐标与极坐标之间的关系 数z的三角表示式 再利用Euler公式 复数z x yi可表示为称为复 复数z x yi又可表示为称为复数的 指数表示式 其中r z q Argz 解 复数的三角表示式为 复数的指数表示式为 例1 3将化为三角表示式与指数表示式 解 显然 r z 1 又 因此 将化为三角表示式与指数表示式 练习 共轭复数的几何性质 一对共轭复数z和在复平面的位置是关于实轴对称的 复数和与差的模的性质 从几何上看 复数z2 z1所表示的向量 与以z1为起点 z2为终点的向量相等 方向相同 模相等 复数的加 减运算对应于复平面上相应向量的加 减运算 思考题 复数可以用向量表示 则复数的运算与向量的运算是否相同 一 利用指数表示进行复数的乘除法运算 设 乘法 即 在集合意义下 1 1 4乘幂与方根 两个复数相乘的几何意义 设两个复数对应的向量分别为 先将z1按逆时针方向 旋转角度 再将模 变到原来的r2倍 于是 所得的向量z就表示乘积 一 利用指数表示进行复数的乘除法运算 设 除法 在集合意义下 1 1 4乘幂与方根 练习 复数z的乘幂 二 复数的乘幂与方根 1 复数的乘幂 利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则 二 复数的乘幂与方根 1 复数的乘幂 在上式中令r 1 则得到棣莫弗 DeMoivre 公式 棣莫弗 DeMoivre 公式 进一步易得到正弦与余弦函数的n倍角公式 例 由此引出方根的概念 此外 显然有 复数w 二 复数的乘幂与方根 2 复数的方根 称为把复数开n次方 或者称为求复数的 复数求方根是复数乘幂的逆运算 n次方根 记作或 复数的n次方根一般是多值的 二 复数的乘幂与方根 2 复数的方根 利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则 即 得 正实数的算术根 二 复数的乘幂与方根 2 复数的方根 描述 解 具体为 解 具体为 2 3 无意义 无意义 在复平面上对应到哪一点 一 无穷大 1 1 5扩充复平面及其球面表示 定义一个特殊的复数 称为无穷大 满足 二 无穷远点 1 无穷远点的概念 称为无穷远点 事实上 在通常的复平面上并不存在这样的点 因此只能说它是一个 理想 点 那么 这个 理想 点到底在哪里呢 下面就来看看黎曼 Riemnann 给出的解释 二 无穷远点 2 复球面 如图 其中 N为北极 S为南极 这样的球面称作复球面 对复平面上的任一点用 球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点一一对应 球面上的N点本身则对应到了 复平面 上的无穷远点 某球面与复平面相切 球面上的点 除去北极N外 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 我们用球面上的点来表示复数 球面上的北极N不能对应复平面上的定点 当球面上的点离北极N越近 它所表示的复数的模越大 二 无穷远点 3 扩充复平面 2 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面 或者简称为复平面 二 无穷远点 4 无穷远点的邻域 1 包括无穷远点在内且 满足的所有 点的集合 称为无穷 远点的邻域 2 不包括无穷远点在内 且满足的所有点的集合 称为无穷远点 的去心邻域 也可记为 1 2复平面点集 一 平面点集 1 邻域 1 称点集为点的邻域 2 称点集为点的去心邻域 内点 一 平面点集 2 内点 外点与边界点 1 考虑某平面点集G以及某一点 外点 1 边界点 3 开集与闭集 一 平面点集 4 有界集与无界集 则G称为有界集 否则称为非有界集或无界集 二 平面曲线 1 方程式 在直角平面上 在复平面上 如何相互转换 1 2 二 平面曲线 2 参数式 在直角平面上 在复平面上 2 在复平面上 1 在直角平面上 二 平面曲线 3 曲线的分类 考虑曲线 简单曲线 当时 简单闭曲线 简单曲线且 光滑曲线 简单 不闭 简单 闭 不简单 闭 不简单 不闭 连续的简单闭曲线称为Jordan曲线 连续曲线 连续 三 区域 1 区域与闭区域 区域 平面点集D称为一个区域 如果它满足下列两个条件 1 D是一个开集 2 D是连通的 闭区域 不连通 连通 三 区域 2 有界区域与无界区域 顾名思义 3 内区域与外区域 其中 有界的一个称为该简单闭曲线的内部 内区域 称为该简单闭曲线的外部 外区域 另一个 约当定理 任何Jordan曲线C将平面分为两个区域 即内部区域 有界 与外部区域 无界 C是它们的公共边界 内部 外部 边界 4 单连通域与多连通域 属于D 则D称为单连通域 多连通域又可具体分为二连域 三连域 否则称为多连通域 三连域 三 区域 4 单连通域与多连通域 飞地 四 有向曲线 指定C的两个可能方向中的一个作为正向 则C为带有 方向的曲线 称为有向曲线 仍记为C 代表与C的方向相反 即C的负方向 的曲线 如果 相应地 则 逆时针方向 四 有向曲线 简单闭曲线的正向一般约定为 当曲线上的点P顺此方向沿曲线 前进时 区域边界曲线的正向一般约定为 当边界上的点P顺此方向沿边界 前进时 曲线所围成的有界区域始终 位于P点的左边 所考察的区域始终位于P点 的左边 注意区域可以是多连域 曲线 1 圆环域 例判断下列区域是否有界 2 上半平面 3 角形域 4 带形域 答案 1 有界 2 3 4 无界 例指出下列不等式所确定的点集 是否有界 是否区域 如果是区域 单连通的还是多连通的 无界的单连通区域 如图 解 1 当时 是角形域 无界的单连通域 如图 周外部 无界多连通区域 如图 是以原点为中心 半径为的圆 表示到1 1两点的距离之 表示该椭圆的内部 这是有界的单连通区域 如图 和为定值4的点的轨迹 因为 所以这是椭圆曲线 内部 这是有界集 但不是区域 令 是双叶玫瑰线 也称双纽线 表示双纽线的 例满足下列条件的点集是否区域 如果是区域 是单连通区域还是多连通区域 这是一条平行于实轴的直线 不是区域 它是单连通区域 这是以为右边界的半 平面 不包括直线 它是多连通区域 它不是区域 这是以为圆心 以2为 半径的去心圆盘 这是以i为端点 斜率为1的半 射线 不包括端点i 1 3复变函数 一 基本概念 在以后的讨论中 D常常是一个平面区域 称之为定义域 按照一定法则 有确定的复数w与它对应 一般情形下 所讨论的 函数 都是指单值函数 上定义一个复变函数 记作 比如 比如 则称在D 一 基本概念 一个复变函数对应于两个二元实变函数 分析 则可以写成 设 其中 与为实值二元函数 分开上式的实部与虚部得到 于是 复变函数的极限 连续 一致连续等概念就是映射的相应概念 有关映射的各种性质也对复变函数成立 重要注记 由于 故一般将理解为以为自变量的函数 即 以后将看到 这样做会带来很多方便 并且具有 复风格 分开实部与虚部即得 代入得 二 图形表示 映射 复变函数在几何上被看作是把z平面上的一个 点集变到w平面上的一个点集的映射 或者变换 其中 点集称为像 点集称为原像 对于复变函数 它反映的是两对变量u v和x y之间的对应关系 因而无法用一个平面或一个三维空间的图形来表示 故在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u v与x y之间的对应关系 以便在研究和理解复变函数问题时 可借助于几何直观 思考题 为什么在复变函数中用两个平面来表示其图形 二 图形表示 反函数与逆映射 双方单值与一一映射 为w平面上的点集G 设函数的定义域为z平面上的点集D 值域 的一个 或几个 点z 一个函数 它称为函数的反函数 也称 为映射的逆映射 若映射与它的逆映射都是单值的 则称映射是双方单值的或者一一映射 则G中的每个点w必将对应着D中 按照函数的定义 在G上就确定了 2 区域D可改写为 令 则 可得区域D的像 区域 G满足 即 因此 它把z平面上的两族双曲线 分别映射成w平面上的两族平行直线 例 解 关于实轴对称的一个映射 且是全同图形 三 极限 若存在复数 使得 记作 或 2 趋向于的方式是任意的 则称A为函数当z趋向于z0时的极限 几何意义 三 极限 它的像点就落在A的预先给定的e邻域内 性质 三 极限 与实变函数的极限运算法则类似 定理 三 极限 设 证明 则 必要性 证明 充分性 则 当时 如果 定理 设 三 极限 则 说明 三 极限 关于含的极限作如下规定 3 所关心的两个问题 1 如何证明极限存在 2 如何证明极限不存在 选择不同的路径进行反驳 放大技巧 1 2 例试求 方法一 由定理1 得 方法二由于 由定理2 3 得 当时 当时 因此极限不存在 解 当时 当时 因此极限不存在 方法二 方法三 沿着射线 与有关 因此极限不存在 讨论函数在的极限 例 x y 思考题 试着收集整理复极限的计算方法以及判别复极限不存在的方法 并用例子说明 四 连续 若在区域D内处处连续 则称在D内连