烟台芝罘区数学新课标人教A版高中数学选修2-1知识点总结.pdf

芝罘区数学 芝罘区数学 芝罘区数学 高中数学选修高中数学选修 2 1 知识点总结知识点总结 第一章 常用逻辑用语第一章 常用逻辑用语 1 命题命题 用语言 符号或式子表达的 可以判断真假的陈述句 真命题 判断为真的语句 假命题 判断为假的语句 2 若p 则q p称为命题的条件 q称为命题的结论 3 若原命题为 若p 则q 则它的逆命题逆命题为 若q 则p 4 若原命题为 若p 则q 则它的否命题否命题为 若p 则q 5 若原命题为 若p 则q 则它的逆否命题逆否命题为 若q 则p 6 四种命题的真假性 四种命题的真假性 四种命题的真假性之间的关系 1两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 2两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性没有关系 7 p 是q的充要条件充要条件 pq p 是q的充分不必要条件充分不必要条件 qp pq 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假真真真 假假假假 芝罘区数学 芝罘区数学 芝罘区数学 p 是q的必要不充分条件必要不充分条件 pqqp p 是q的既不充分不必要条件既不充分不必要条件 qp pq 8 逻辑联结词 8 逻辑联结词 1 用联结词 且 把命题p和命题q联结起来 得到一个新命题 记作pq 全真则真 有假则假 全真则真 有假则假 2 用联结词 或 把命题p和命题q联结起来 得到一个新命题 记作pq 全假则假 有真则真 全假则假 有真则真 2 对一个命题p全盘否定 得到一个新命题 记作p 真假性相反真假性相反 9 短语 对所有的 对任意一个 在逻辑中通常称为全称量词全称量词 用 表示 含有全称量词的命题称为全称命题 全称命题 全称命题 对 中任意一个x 有 p x成立 记作 x p x 短语 存在一个 至少有一个 在逻辑中通常称为存在量词 用 表示 含有存在量词的命题称为特称命题 特称命题 存在 中的一个x 使 p x成立 记作 x p x 10 全称命题p x p x 它的否定p x p x 全称命题的否定是特称命题 例 特称命题 例 a 1 是 0 21 a xx x 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 第二章 圆锥曲线与方程第二章 圆锥曲线与方程 1 椭圆定义 平面内与两个定点 1 F 2 F的距离之和等于常数 大于 12 F F 的点的轨迹称为椭圆椭圆 这 两个定点称为椭圆的焦点 两焦点的距离称为椭圆的焦距 2 椭圆的几何性质几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上 图形 芝罘区数学 芝罘区数学 芝罘区数学 标准方程 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 范围axa 且byb bxb 且aya 顶点 1 0a 2 0a 1 0 b 2 0 b 1 0 a 2 0 a 1 0b 2 0b 轴长短轴的长2b 长轴的长2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性关于x轴 y轴 原点对称 离心率 2 2 101 cb ee aa 3 平面内与两个定点 1 F 2 F的距离之差的绝对值等于常数 小于 12 F F 的点的轨迹称为双曲线双曲线 这 两个定点称为双曲线的焦点 两焦点的距离称为双曲线的焦距 4 双曲线的几何性质 几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上 图形 标准方程 22 22 10 0 xy ab ab 22 22 10 0 yx ab ab 范围xa 或xa yR ya 或ya xR 顶点 1 0a 2 0a 1 0 a 2 0 a 轴长虚轴的长2b 实轴的长2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性关于x轴 y轴对称 关于原点中心对称 离心率 2 2 11 cb ee aa 渐近线方程 b yx a a yx b 5 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线 6 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线抛物线 定点F称为抛物线的焦点 定直线l称为抛物线的准线 7 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 两点的线段 称为抛物线的 通径通径 即 2p 芝罘区数学 芝罘区数学 芝罘区数学 8 焦半径焦半径公式 若点 00 xy 在抛物线 2 20ypx p 上 焦点为F 则 0 2 p Fx 若点 00 xy 在抛物线 2 20ypx p 上 焦点为F 则 0 2 p Fx 若点 00 xy 在抛物线 2 20 xpy p 上 焦点为F 则 0 2 p Fy 若点 00 xy 在抛物线 2 20 xpy p 上 焦点为F 则 0 2 p Fy 9 抛物线的几何性质几何性质 标准方程 2 2ypx 0p 2 2ypx 0p 2 2xpy 0p 2 2xpy 0p 图形 顶点 0 0 对称轴x轴y轴 焦点 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 离心率1e 范围0 x 0 x 0y 0y 解题注意点 1 回归定义 解题注意点 1 回归定义 是一种重要的解题策略 如 1 在求轨迹时 若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义 则根据圆锥曲线的方程 写出所求的轨迹方 程 2 涉及椭圆 双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时 常用定义结合解三角形 一般 是余弦定理 的知识来解决 3 在求有关抛物线的最值问题时 常利用定义把到焦点的距离转化为到 准线的距离 结合几何图形利用几何意义去解决 2 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系 1 有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题 直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况 相交 相 切 相离 联立直线与圆锥曲线方程 经过消元得到一个一元二次方程 注意在和双曲线和抛物线方程联立 时二次项系数是否为 0 直线和圆锥曲线相交 相切 相离的充分必要条件分别是0 0 0 应注意数形结合 例如双曲线中 利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关 芝罘区数学 芝罘区数学 芝罘区数学 系 常见方法 联立直线与圆锥曲线方程 利用韦达定理等 点差法 主要适用中点问题 设而不求 注意需检验 化简依据 121221 00 21 2 2 22 xxyyyy xyk xx 2 有关弦长问题 应注意运用弦长公式及韦达定理来解决 注意斜率是否存在 直线具有斜率k 两个交点坐标分别为 1122 A x yB x y 222 12121 212 1 1 1 41ABxxxxx xyy 2 kk k 直线斜率不存在 则 12 AByy 3 有关对称垂直问题 要注意运用斜率关系及韦达定理 设而不求 简化运算 考查三个方面 A 存在性 相交 B 中点 C 垂直 12 1k k 注 1 圆锥曲线 一要重视定义 这是学好圆锥曲线最重要的思想方法 二要数形结合 既熟练掌握 方程组理论 又关注图形的几何性质 以简化运算 2 当涉及到弦的中点时 通常有两种处理方法 一是韦达定理 二是点差法 3 圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考 一是建立函数 用求值域的方法求范围 二是建 立不等式 通过解不等式求范围 4 注意向量在解析几何中的应用 数量积解决垂直 距离 夹角等 4 求曲线轨迹常见做法 定义法 直接法 步骤 建 设 现 限 代 化 代入法 利用动 点与已知轨迹上动点之间的关系 点差法 适用求弦中点轨迹 参数法 交轨法等 例例 1 已知定点 0 3 0 3 21 FF 在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 答 C A 4 21 PFPFB 6 21 PFPFC 10 21 PFPFD 12 2 2 2 1 PFPF 例例 2 已知双曲线的离心率为 2 F1 F2是左右焦点 P 为双曲线上一点 且 60 21 PFF 312 21 FPF S 求该双曲线的标准方程 答 22 1 412 xy 例例 3 已知椭圆的一个顶点为 A 0 1 焦点在 x 轴上 若由焦点到直线的距离为 3 1 求椭圆分方程 2 设椭圆与直线相交于不同的两点 M N 当 AM AN 时 求 m 的取值范围 答 2 2 1 1 2 32 x ym 例例 4 过点 A 2 1 的直线与双曲线x y 2 2 2 1 相交于两点 P1 P2 求线段 P1P2中点的轨迹方程 芝罘区数学 芝罘区数学 芝罘区数学 第三章 空间向量与立体几何第三章 空间向量与立体几何 1 空间向量及其运算设 111 ax y z 222 bxyz 则 1 121212 abxxyyzz 2 121212 abxxyyzz 3 111 axyz 4 12121 2 a bx xy yz z 5若a b 为非零向量 则 12121 2 00aba bx xy yz z 6若0b 则 121212 ababxxyyzz 7 222 111 aa axyz 8 12121 2 222222 111222 cos x xy yz za b a b a bxyzxyz 9 111 x y z 222 xyz 则 222 212121 dxxyyzz 10 共面向量定理 p a bpxayb x yR 共面 P A B C 四点共面 1 zyxOCzOByOAxOP ACyABxOAOP ACyABxAP 其中 11 空间向量基本定理 pxaybzc x y zR 不共面的三个向量 a b c 构成一组基 底 任意两个向量都共面 2 平行 直线的方向向量 平面的法向量 a b 是 a b 的方向向量 n 是平面 的法向量 芝罘区数学 芝罘区数学 芝罘区数学 线线平行 ab ab 线面平行 aan 或 ab b 或 axbyc bc 是 内不共线向量 面面平行 12 nn 3 垂直 线线垂直 ab 0aba b 线面垂直 aan 或 ab acbc 是 内不共线向量 面面垂直 12 nn 4 夹角问题 线线角 cos cos a b a b a b 注意异面直线夹角范围0 2 线面角 sin cos a n a n a n 二面角 12 12 12 cos cos n n n n nn 一般步骤 求平面的法向量 计算法向量夹角 回 答二面角 空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的方向 只需说明二面角大小 无需说明理 由 1 距离问题 一般是求点面距离 线面距离 面面距离转化为点到面的距离 P 到平面 的距离 PA n d n 其中A是平面 内任一点 n 为平面