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数学与计算机学院数学模型及应用课程论文题 目： 专 业： 班 级： 学 号： 学生姓名： 完成日期： 成 绩： 澳洲瓢虫减少模型摘要作为外来物种的澳洲瓢虫、介壳虫和美国的柠檬树形成了简单的生态系统生物链。由于介壳虫对柠檬树的破坏力，在引进澳洲瓢虫的基础上，柠檬园园主通过施加农药DDT想进一步杀死介壳虫，结果不尽如人意：介壳虫增加了起来，澳洲瓢虫反倒减少了。为了解释这一现象，我试建立以下数学模型。在大的生态系统里作为外来物种的澳洲瓢虫和介壳虫除了他们间的捕食关系，还存在着其他影响它们数量的错综复杂关系，这里我对环境做了一个假设。关键词： 澳洲瓢虫 介壳虫 数学模型1. 问题分析 澳洲瓢虫是介壳虫的天然捕食者，柠檬园主想要利用杀虫剂杀死介壳虫后，发现同样杀死澳洲瓢虫，结果，介壳虫的数量增加起来，而澳洲瓢虫的数量反而减少了，由此可见，这是一个典型的捕食者被捕食者的问题。因此，我们可以使用典型的模型来解释这一现象，我们可以做出如下模型假设：（1） 假设澳洲瓢虫主要以介壳虫为生。（2） 假设介壳虫的生存空间和食物都比较充分。（3） 假设忽略种群内部的密度制约因素。符号说明：符号说明单位介壳虫的数量只澳洲瓢虫的数量只2. 模型建立与求解解：根据题意，在时刻，设介壳虫的数量为，澳洲瓢虫的数量为，则有数模方程组：式中均是正数。显然，方程组有两个平衡点（与时间无关的常数解），其中另外，它的轨迹满足对这个方程 为某常数。由此可以解得：即： 于是，的轨道是由定义的曲线族，且这些曲线族是封闭的。显然、即为以下为周期的周期函数，由于调查的虫子数量为一个周期内的均值，则有：换句话说，和的平均值就是平衡值。当使用杀虫剂后，介壳虫的总数按的速度减少，澳洲瓢虫的总数按的总数减少。常熟反映着澳洲瓢虫捕食介壳虫的强度。这样，正式的情况就可以用修正过的微分方程组： 来描述了。用代替，用代替，这个方程组正好就与相同了，显然和的平均值现在为： 因此，介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减少。3. 结果分析与模型改进这种杀虫剂消灭昆虫的捕食者，也消灭了昆虫中的被捕食者，这意味着杀虫剂的使用，将使那些有捕食昆虫者控制着的昆虫数量实际增加起来。模型也有它摆动的情况，在大多数捕食者被捕食者系统中是观察不到的。相反，大多数这样的系统，当时间延长下去，趋于平衡状态。微分方程并不意味着捕食者被捕食者相互制约的一般模型。这是因为，介壳虫和澳洲瓢虫并未为了有用的资源而在各自内部进行激烈的竞争。更一般的捕食者被捕食者相互制约的模型是微分方程： 其中，反映了被捕食者由于有限的外部资源而进行内部竞争，项反映了捕食者之间由于有限的被捕食者而进行的竞争。的解一般来说不是周期的。实际上，当和的正数时，可以证明的所有解近似于平衡解。 介壳虫和澳洲瓢
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