选修1-2综合法和分析法第2课时.doc

第二章 推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法(二)课前准备【课型】新授课 【课时】1教时【课标要求】1.知识与能力了解分析法的思考过程和特点；会运用分析法证明数学命题了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法2.过程与方法结合已学过的数学证明演示分析法的思考过程与特点，认识到分析法在数学思考中的重要作用，培养和提高学生的逻辑证明的能力3.情感态度与价值观通过分析法的学习，促使学生形成缜密地思考与逻辑思维能力，养成理性、严谨、一丝不苟的科学品质【重点.难点】重点：了解分析法的思考过程和特点；运用分析法证明数学命题难点：对分析法的思考过程和特点的概括【教学用具】多媒体.教学过程一、复习引入：【问题】综合法的思考过程和特点是什么？【学生回答】略【教师总结】用表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，表示要证明的结论，用综合法证明不等式的思考过程是：综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法【问题】有没有一种“执果索因”的证明方法呢？【回答】有，当题目中的条件不容易往下推导的时候，往往我们选择另一种证明方法：分析法二、新课讲授【引例】如何证明基本不等式【回顾】在讲不等式这一章的时候已经讲过证明过程，是从结论出发，最后找到一个恒成立的式子【证明】为了证明只需证只需证只需证因为显然成立，所以原不等式成立上面这种证明方法就是分析法【定义】分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）这种证明的方法叫做分析法【解释】用表示要证明的结论，则分析法证明的思考过程是：分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题B1为真，从而有 这只需要证明命题B2为真，从而又有 这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真【例】求证【分析】从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件【证明】因为都是正数，所以为了证明，只需证明，展开得 ，即证 即证因为显然成立，所以成立即证明了【点评】在本例中，如果我们从“2125 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论但由于我们很难想到从“2125”入手，所以用综合法比较困难【例5】如图2.2-2所示，SA平面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F.求证AFSC.【分析】本例所给的已知条件中，垂直关系较多，我们不容易确定如何在证明中使用它们，因而用综合法比较困难这时，可以从结论出发，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件在立体几何中，通常可以把证明两条直线互相垂直的问题，转化为证明直线与平面垂直的问题本例中，可以考虑证AF平面SBC或证SC平面AEF.要证AF平面SBC,需要证AFSB ,AFBC成立；要证SC平面AEF，需要证SCAE，SCEF成立而已知条件“过E作SC的垂线，垂足为F（转化为符号语言就是EFSC）”已经满足了SCAEF所需要的两个条件中的一个，因此可以朝证明SC平面AEF这个方向努力【证明】分析法：要证AFSC ，只需证SC平面AEF ，只需证AESC，只需证AE平面SBC，只需证AEBC ，只需证BC平面SAB ，只需证BCSA 由SA平面ABC可知，上式成立所以，AFSC综合法：SA平面ABC，BC 平面ABC，SABCABBC， SAABA，BC平面SABAE平面SAB，BCAE又AESB, SBBCB，AE平面SBCAESC.EFSC, EFAEE，SC平面AEF，SCAF,即AFSC【总结】立体几何证明是一个重点也是一个难点，在分析过程中会产生一些困难我们可以先从条件分析，转化得到中间结论中间结论和结果还是没有直接关系，再从结果出发寻找中间结论，使之联系起来【思考】请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识【回答】综合法是“由因导果”，分析法是“执果索因”事实上，在解决问题时，我们经常用分析法来把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立下面来看一个例子【例】 已知，且 求证：【分析】比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由 2一2 得把与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数把结论转化为,再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的【证明】因为，所以将 代入，可得. 另一方面，要证即证 ， 即证，即证，即证由于上式与相同，于是问题得证【总结】用表示已知条件、