中北大学精品课程-7_离散时间信号与系统的z域分析.ppt

第7章离散时间信号与系统的Z域分析 7 1离散信号的Z变换 7 4Z变换与拉普拉斯变换傅里叶变换的关系 7 3Z变换的基本性质和定理 7 2Z反变换 7 5序列的傅里叶变换的定义和性质 7 6利用Z变换求解差分方程 7 7离散系统的系统函数和频率响应 7 8离散系统的信号的流图 7 1离散信号的Z变换 x n 的单边z变换 7 1 1z变换的定义 x n 的双边z变换 7 1 2Z变换的收敛域 1预备知识1 收敛条件 X z 收敛的充要条件是绝对可和 2 阿贝尔定理 满足0 z R的z 级数必绝对收敛 R为最大收敛半径 级数 在 处收敛 那么 同样 对于级数 满足的z 级数必绝对收敛 R为最小收敛半径 1 有限长序列 2不同序列的收敛域 2 右边序列 第一项为有限长序列 第二项为z的负幂级数 第一项为有限长序列 其收敛域为 z 第二项为z的负幂次级数 由阿贝尔定理可知 其收敛域为Rx z 两者都收敛的域亦为Rx z Rx 为最小收敛半径 3 左边序列 第二项为有限长序列 其收敛域 第一项为z的正幂次级数 根据阿贝尔定理 其收敛域为 为最大收敛半径 4 双边序列 双边序列指n为任意值时 x n 皆有值的序列 即左边序列和右边序列之和 第二项为左边序列 其收敛域为 第一项为右边序列 因果 其收敛域为 当Rx Rx 时 其收敛域为 其收敛域应包括即充满整个Z平面 7 1 3常用序列的Z变换1 单位样值序列 当时 这是无穷递缩等比级数 2 指数序列 收敛域一定在模最大的极点所在的圆外 收敛域 收敛域为 3 阶跃序列 同样的 当 b z 时 这是无穷递缩等比级数 收敛 收敛域 收敛域一定在模最小的极点所在的圆内 4 反向指数序列 5 斜变序列 已知 两边同时乘以z 1 可得 7 2Z反变换 7 2 1部分分式展开法 1 z变换式的一般形式 因此 X z 可以展成以下部分分式形式其中 M N时 才存在Bn Zn为X z 的各单极点 Z0为X z 的一个r阶极点 而系数An Cn分别为 解 的z反变换 例利用部分分式法 求 7 2 2幂级数展开法 是一个z的幂级数 例试用长除法求 收敛域为环状 极点z 1 4对应因果序列 极点z 4对应左边序列 双边序列 双边序列可分解为因果序列和左边序列 应先展成部分分式再做除法 7 2 3留数法由留数定理可知 为c内的第n个极点 为c外的第m个极点 Res 表示极点处的留数 2 当Zr为l阶 多重 极点时的留数 留数的求法 1 当Zr为一阶极点时的留数 7 3Z变换的基本性质和定理 1线性性质 ROC 一般情况下 取二者的重叠部分 线性组合中某些零点与极点相抵消 则收敛域可能扩大 例已知 求其z变换 2时移性质 1 双边z变换 若 Z 则 Z Z 原序列不变 只影响在时间轴上的位置 2 单边z变换 若x n 为双边序列 其单边z变换为 1 左移位若x n 是双边序列 1 右移位若x n 是双边序列 3 若x n 是因果序列 右移序列的单边z变换为 左移序列的单边z变换不变 仍为 Z 例求序列x n u n u n 3 的z变换 3 尺度变换 乘以指数序列 如果 则 证明 4 序列的线性加权 Z域求导数 如果 则 证明 如果 则 证明 5 共轭序列 6 翻褶序列 如果 则 证明 7 初值定理 证明 8 终值定理 证明 又由于只允许X z 在z 1处可能有一阶极点 故因子 z 1 将抵消这一极点 因此 z 1 X z 在上收敛 所以可取z1的极限 9 有限项累加特性 证明 10 序列的卷积和 时域卷积定理 证明 例 其中 C是在变量V平面上 X z v H v 公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线 证明从略 11 序列相乘 Z域卷积定 例 如果 则有 12 帕塞瓦定理 其中 表示复共轭 闭合积分围线C在公共收敛域内 证明从略 7 4Z变换与拉普拉斯变换 傅里叶变换的关系 7 4 1Z变换与拉普拉斯变换的关系 1 理想抽样信号的拉氏变换设为连续信号 为其理想抽样信号 则 序列x n 的z变换为考虑到 显然 当时 序列x n 的z变换就等于理想抽样信号的拉氏变换 2 Z变换与拉氏变换的关系 S Z平面映射关系 S平面用直角坐标表示为 Z平面用极坐标表示为 又由于所以有 因此 这就是说 Z的模只与S的实部相对应 Z的相角只与S虚部 相对应 0 即S平面的虚轴r 1 即Z平面单位圆 0 即S的左半平面r 1 即Z的单位圆内 0 即S的右半平面r 1 即Z的单位圆外 1 r与 的关系 0 S平面的实轴 0 Z平面正实轴 0 常数 S 平行实轴的直线 0T Z 始于原点的射线 S 宽的水平条带 整个z平面 2 与 的关系 T 7 4 2Z变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后 其频谱产生周期延拓 即我们知道 傅氏变换是拉氏变换在虚轴S j 的特例 因而映射到Z平面上为单位圆 因此 这就是说 抽样 序列在单位圆上的Z变换 就等于理想抽样信号傅氏变换 用数字频率 作为Z平面的单位圆的参数 表示Z平面的辐角 且 所以 序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换 7 5序列的傅里叶变换的定义和性质 7 5 1序列的傅氏变换的定义 正变换 反变换 1 周期性 1 周期性由序列的傅立叶变换公式 其中的M为整数 因此序列的傅立叶变换是频率的周期函数 7 5 2序列傅氏变换的性质 2 DTFT的线性 设那么式中a和b为常数 3 DTFT的时移和频移特性 4 对称性共轭对称序列设一复序列 如果满足则称序列为共轭对称序列 设一复序列 如果满足则称序列为共轭反对称序列 任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和 序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和 其中 1 序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部 证明 2 序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部 证明 3 序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部 证明 4 序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以j 证明 5 时域卷积定理 设则 6 频域卷积定理 设则 1周期序列的傅里叶级数 对上式进行抽样 得 导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的 7 5 3周期序列的离散傅里叶级数和傅里叶变换表示式 因是离散的 所以应是周期的 代入 而且 其周期为 因此应是N点的周期序列 又由于所以求和可以在一个周期内进行 即这就是说 当在n 0 1 N 1求和与在n N 2N 1求和所得的结果是一致的 的表达式将式的两端乘 然后从n 0到N 1求和 则 的DFS 通常将定标因子1 N移到表示式中 即 7 6利用Z变换求解差分方程 1零输入响应的Z域求解 对方程做Z变换 例 已知某线性时不变系统数学模型如下 初始状态y 1 4 y 2 1 求零输入响y n 2零状态响应的Z域求解n阶线性时不变离散系统的差分方程 对方程做Z变换 例 已知某线性时不变系统数学模型如下 且求零输入y n 3全响应的Z域求解n阶线性时不变离散系统的差分方程 对方程做Z变换 则方程两边取单边Z变换 7 7离散系统的系统函数和频率响应 系统函数H z 与单位样值响应h n 是一对z变换 对上式取z逆变换 7 7 1因果稳定系统 对于稳定系统 只要输入是有界的 输出必定是有界的 时域稳定性判据 稳定性定义 离散系统稳定的充要条件 单位样值响应绝对可和 离散系统稳定的充分必要条件 H z 的收敛域必须包含单位圆 对于因果系统 系统稳定的充要条件为 H z 的全部极点应落在单位圆之内 即收敛域应包括单位圆在内 z域 收敛域在圆外 系统因果性的判断方法 因果稳定系统的系统函数收敛域为1 z 也就是说 其全部极点必须在单位圆内 线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述 一般形式为 上式两边取z变换得 7 7 2系统函数与差分方程的关系 若x n