第四节有阻尼的自由振动.doc

第四节 有阻尼自由振动（Damped Free Vibration）前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响。实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如粘性阻尼、库伦阻尼（干摩擦阻尼）、和结构阻尼及流体阻尼等。尽管已经提出了许多种数学上描述阻尼的方法，但是实际系统阻尼的物理本质仍然极难确定。一、粘性阻尼（Viscous Damping）- 最常见的阻尼力学模型在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。粘性阻尼力与相对速度成正比，即 - 粘性阻尼力 ， - 相对速度 - 粘性阻尼系数（阻尼系数），单位： 二、粘性阻尼自由振动以静平衡位置为坐标原点建立坐标系。由牛顿运动定律，得运动方程 （2-10）设方程的解为代入式（2-10），得 因为，所以在任一时间时均能满足上式条件为 （2-11） - 系统的特征方程（频率方程）它的两个根为 （2-12）则方程（2-10）的通解为 （2-13）式中和为任意常数，由初始条件确定。显然方程（2-10）的解（2-13）的性质取决于根式 是实数、零，还是虚数。 当时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用表示。因此令叫做阻尼比。 式（2-12）可写成 （2-14）可见和的性质决定于的值。1. 系统称为过阻尼系统（强阻尼）。运动方程的解为这是一种按指数规律衰减的非周期蠕动。2. 系统称为临界阻尼系统。运动方程的解为这是一种按指数规律衰减的非周期运动。3. 系统称为弱阻尼系统（欠阻尼）。式（2-12）可写成令 - 有阻尼固有频率故运动方程的解为由欧拉公式，则上式可写为式中和是待定常数，由初始条件确定。设时，有则系统对初始条件的响应为 （2-18）上式也可写为其中由此可见，有阻尼系统的自由振动不再是等幅的简谐振动。因所以响应的振幅被限制在曲线之内，随时间而逐渐衰减。因而有阻尼系统的自由振动是衰减振动，当，振动最终消失。阻尼对自由振动的影响:（1）设无阻尼系统的自由振动振动周期为有阻尼系统的自由振动振动周期为可见：阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼较小时，例如所以在阻尼较小时，阻尼对周期和频率的影响可以忽略不计。（2）设相邻两次振动的振幅分别为和，则振幅比为式中称为减幅系数。可见阻尼比越大，减幅系数就越大，振幅衰减得就越快。例如即每一个周期内振幅减小27.由此可见，即使阻尼较小时，振幅的衰减也是很快的。例题2-8 一刚体质量为，用一块橡胶和一层毛毡支承在地板上，如图所示。已知毛毡的刚度，阻尼系数；橡胶的刚度 N/m，阻尼系数。求系统的等效刚度、等效阻尼系数和阻尼比。解：两块毛毡和橡胶垫可看作串联。则系统的等效刚度 （）系统的等效阻尼系数 （）阻尼比例题： 一阻尼缓冲器，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大位移为初始位移的10，求缓冲器的阻尼系数。解：由题知 ，设 ， 系统的响应为速度为设在时刻质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为解得 对应的最大位移为由题知解得第五节 对数衰减率测定阻尼自由振动的振幅衰减率是确定振动系统阻尼的一个常用的方法。已知减幅系数为则对数衰减率为将有阻尼系统的自由振动振动周期代入上式，得 （2-22）当阻尼很小