浙江省教师招聘考试资料 小学数学.pdf

第一部分 学科专业基础 小学数学教师应该具备系统的数学专业知识袁 专业知识丰富 的教师袁才能正确理解小学数学教材的内容与结构遥 因此袁本教材 的第一部分详细讲述了小学数学教师所应具备的初高等数学专 业知识袁帮助考生建立知识结构袁全面系统地把握数学专业知识遥 该部分共有九章内容袁分别讲述了集合与简易逻辑袁函数袁不 等式尧数列与极限袁立体几何袁解析几何袁向量与复数袁推理证明与 排列组合袁统计与概率袁高等数学等数学专业基础知识遥 该部分知识是小学数学教师必须掌握的学科基础知识遥 在历 年考试中袁该部分内容是考查的重点袁多以客观题的形式出现遥 考 生在学习该部分知识的时候袁要注意多加练习袁学以致用遥 学科专业知识 小学数学 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 1 掌握集合之间的运算法则遥 2 能够使用常用的逻辑用语遥 1 本章知识在历年考试中大多以单项选择题和简答题的形式出现遥 2 在历年考试中袁逻辑用语中的充分条件尧必要条件尧充分必要条件的运用是考查的重点袁集合经 常和函数等联合考查遥 誗集合的运算 誗交集 誗并集 誗补集集合与 简易逻辑 集合 简易逻辑 誗逻辑联结词 誗集合间的基本关系 誗集合的基本概念 誗命题 誗命题的条件与结论间的属性 第一章 集合与简易逻辑 考点聚焦 考点预测 知识结构 2 第一部分 学科专业基础 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 第一节 集 合 一尧集合的基本概念 员援集合的含义 某些指定的对象集在一起就成为一个集合袁其中每一个对象叫元素遥 圆援集合中的元素的三个特性 元素的确定性如院世界上最长的河流曰 元素的互异性如院由 匀粤孕孕再 的字母组成的集合喳匀袁粤袁孕袁再札曰 元素的无序性如院喳葬袁遭袁糟札和喳葬袁糟袁遭札是表示同一个集合遥 猿援集合的表示 用拉丁字母表示集合院粤越喳我校的篮球队员札袁月越喳员袁圆袁猿袁源袁缘札遥 集合的表示方法院列举法尧描述法 与图示法遥 渊员冤列举法院喳葬袁遭袁糟噎札曰 渊圆冤描述法院将集合中的元素的公共属性描述出来袁写在大括号内表示集合的方法遥 例如喳曾沂砸渣曾原 猿跃圆札曰 渊猿冤语言描述法院例如喳不是直角三角形的三角形札曰 渊源冤灾藻灶灶 图袁也叫文氏图袁它既可以表示一个独立的集合袁也可以表示集合与集合之间的相互关 系遥 如图 A B C 常用数集及其记法院非负整数集渊即自然数集冤记作 晕袁正整数集记作 晕鄢或 晕垣袁整数集记作 在袁有 理数集记作 匝袁实数集记作 砸遥 源援集合的分类 有限集院含有有限个元素的集合曰 无限集院含有无限个元素的集合曰 空集院不含任何元素的集合记为 遥 例如喳曾渣曾圆越原缘袁曾沂砸札遥 二尧集合间的基本关系 全集院一般地袁如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素袁那么就称这个集合为全集袁 通常记作 哉遥 子集院一般地袁对于两个集合 粤尧月袁如果集合 粤 中的任意一个元素都是集合 月 中的元素袁我们就 称这两个集合有包含关系袁称集合 粤 为集合 月 的子集袁记作 粤哿月袁读作野粤 包含于 月冶遥 3 学科专业知识 小学数学 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 真子集院如果 粤哿月袁且 粤屹月袁那就说集合 粤 是集合 月 的真子集袁记作 粤芴月渊或 月芡粤冤遥 反之院集合 粤 不包含于集合 月袁或集合 月 不包含集合 粤袁记作 粤芫月 或 月芸粤遥 由上述集合间的基本关系袁可以得到下列结论院 渊员冤任何一个集合是它本身的子集即 A哿A遥 渊圆冤对于集合 A尧B尧C袁如果 A哿B袁且 B哿C袁那么 A哿C遥 渊猿冤如果 A哿B 且 B哿A袁那么 A越B遥 渊源冤空集是任何集合的子集袁空集是任何非空集合的真子集遥 渊缘冤有 n 个元素的集合袁含有 2n个子集袁2n 1 个真子集遥 易 错 分 析 忽视野空集是任何非空集合的子集冶导致思维不全面遥 揖例题铱设 A x x2 8x 15 0 嗓瑟袁B x ax 1 0嗓瑟袁若 A疑B B袁求实数 a 组成的集合的子集有多 少个钥 揖易错点铱此题由条件 A疑B B 易知 B哿A袁由于空集是任何非空集合的子集袁在解题中极易忽略 这种特殊情况而造成 a 值产生漏解现象遥 揖解析铱集合 A 化简得 A 3袁5 嗓瑟袁由 A疑B B 知 B哿A袁故渊玉冤当 B 时袁即方程 ax 1 0 无解袁此 时 a 0 符合已知条件曰渊域冤当 B屹 时袁即方程 ax 1 0 的解为 3 或 5袁代入得 a 1 3 或1 5 遥 综上满足条 件的 a组成的集合为 0袁 1 3 袁 1 5 嗓瑟袁故其子集共有 23 8 个遥 三尧集合的运算 性质 A疑A A A疑 A疑B B疑A A疑B哿A A疑B哿B A胰A A A胰 A A胰B B胰A A胰B勐粤 A胰B勐B 渊 U粤冤疑渊U月冤 越 U渊粤胰月冤 渊 U粤冤胰渊U月冤 越 U渊粤疑月冤 粤胰渊 U粤冤越哉 粤疑渊 U粤冤越 运算类型交集并集补集 定义 由所有属于 A 且属于 B 的元素 所组成的集合袁 叫做 A B 的交 集遥 记作 A疑B渊读作耶A 交 B爷冤袁 即 A疑B 喳x x沂A 且 x沂B札遥 由所有属于集合 粤 或属于集合 月 的元素所组成的集合袁叫做 粤袁 月 的并集遥 记作院粤胰月 渊读作耶粤 并 月爷冤袁即 粤胰月越喳曾渣曾沂粤 或 曾沂 月札冤遥 设 杂 是一个集合袁粤 是 杂 的一个 子集袁由 杂 中所有不属于 粤 的元 素组成的集合袁叫做 杂 中子集 粤 的 补集渊或余集冤袁记作 SA袁即SA越 喳曾渣曾沂杂 且 曾埸粤札遥 韦恩图示 A S ABAB 4 第一部分 学科专业基础 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 1 设集合 粤越喳曾渣员约曾约圆札袁月越喳曾渣曾约葬札袁求 粤哿月袁求 葬的取值范围遥 揖答案铱葬逸圆遥 解析院由图可知袁粤 表示的是黑色区域袁月 必须包含 粤袁可得 葬逸圆遥 12a 2 缘园 名学生做物理尧化学两种实验袁已知物理实验做的正确的有 源园 人袁化学实验做的正确的有 猿员 人袁两种实验都做错的有 源 人袁求这两种实验都做对的有几人遥 揖答案铱圆缘遥 解析院方框里的总人数是 缘园 人袁两个椭圆里的人数分别是 源园 和 猿员袁黑色区域的人数 为 源园垣猿员垣源原缘园越圆缘遥 都做错的院4 40 物理 化学 31 真疑释题 第二节 简易逻辑 一尧逻辑联结词 员援野或冶野且冶野非冶这些词叫做逻辑联结词曰不含有逻辑联结词的命题是简单命题曰由简单命题和逻 辑联结词野或冶野且冶野非冶构成的命题是复合命题遥 构成复合命题的形式院责 或 择渊记作 责胰择冤曰责 且 择渊记 作 责疑择冤曰非 责渊记作劭责冤遥 逻辑联结词野或冶可以与集合中的野并冶相联系袁 U渊粤胰月冤越U粤疑U月遥 逻辑联结词野且冶可以与集合中的野交冶相联系袁 U渊粤疑月冤越U粤胰U月遥 逻辑联结词野非冶可以与集合中的野补冶相联系袁 U粤越喳曾渣曾沂哉袁且 曾埸粤札遥 圆援野或冶野且冶野非冶的真值判断 渊员冤野非 责冶形式复合命题的真假与 责 的真假相反曰 渊圆冤野责 且 择冶形式复合命题当 责 与 择 同为真时为真袁其他情况时为假曰 渊猿冤野责 或 择冶形式复合命题当 责 与 择 同为假时为假袁其他情况时为真遥 二尧命题 员援定义院可以判断真假的语句叫做命题遥 若一个命题是正确的袁该命题叫真命题曰若一个命题不正确袁该命题叫假命题遥 由命题的概念袁一 个命题不是真命题就是假命题遥 圆援命题的四种形式与相互关系 渊员冤原命题院若 责 则 择曰 渊圆冤逆命题院若 择 则 责曰 5 学科专业知识 小学数学 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 渊猿冤否命题院若劭责 则劭择曰 渊源冤逆否命题院若劭择 则劭责曰 原命题与逆否命题互为逆否命题袁同真假曰 逆命题与否命题互为逆否命题袁同真假遥 原命题 若p袁则 q 否命题 若非 p袁则非 q 逆命题 若q袁则 p 逆否命题 若非 q袁则非 p 互为逆命题 互为逆命题 互为逆否命题 互 为 否 命 题 互 为 否 命 题 已知 责院方程 曾圆垣皂曾垣员越园 有两个不等负实根遥 择院方程 源曾 圆垣源渊皂原圆冤曾垣员越园 无实根遥 若 责 或 择 为真袁责 且 择 为假遥 求实数 皂 的取值范围遥 揖解析铱因为 责 或 择 为真袁责 且 择 为假袁则必然 责 与 择 中有一真一假遥 分两种情况院责 为真袁择 为假曰择 为真袁责 为假遥 渊员冤若 责 为真袁则 择 为假遥 责 为真袁方程 曾圆垣皂曾垣员越园 有两个不等负实根成立袁即 驻越皂圆原源跃园袁曾员垣曾圆越原皂约园袁解得院皂跃圆 或 皂约原圆袁 皂跃园遥 综上两式得到院皂跃圆遥 择 为假袁方程 源曾圆垣源渊皂原圆冤曾垣员越园 无实根不成立袁即有实数根袁驻越员远渊皂原圆冤圆原员远逸园袁所以 皂逸猿 或 皂臆员遥 取交集得到袁皂逸猿曰 渊圆冤若 择 为真袁则 责 为假遥 择 为真袁即方程 源曾圆垣源渊皂原圆冤曾垣员越园 无实根成立袁即 驻越员远渊皂原圆冤圆原员远约园袁所以 员约皂约猿遥 责 为假袁方程 曾圆垣皂曾垣员越园 有两个不等负实根不成立袁即淤无实根或有两个相等实根袁驻越皂圆原源臆园袁 或于有两个不等正实根袁驻越皂圆原源跃园袁曾员垣曾圆越原皂跃园遥 解得袁淤原圆臆皂臆圆 或于皂约原圆袁所以 皂臆圆遥 取交集得到院员约皂臆圆曰 综上所述 皂逸猿 或 员约皂臆圆遥 真疑释题 三尧命题的条件与结论间的属性 若 责圯择袁则 责 是 择 的充分条件袁择 是 责 的必要条件袁即野前者为后者的充分袁后者为前者的必要冶曰 若 责圳择袁则 责 是 择 的充分必要条件袁简称 责 是 择 的充要条件曰 若 责圯择袁且 择圯责袁那么称 责 是 择 的充分不必要条件曰 若 责圯择袁且 择圯责袁那么称 责 是 择 的必要不充分条件曰 若 责圯择袁且 择圯责袁那么称 责 是 择 的既不充分又不必要条件遥 注院当从命题条件的正面不易证明时袁可以从命题结论的反面考虑采用反证法袁即从命题结论的 6 第一部分 学科专业基础 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 反面出发渊假设冤袁引出渊与已知尧公理尧定理噎冤矛盾袁从而否定假设证明原命题成立袁这样的证明方法 叫做反证法遥 易 错 分 析 在解题中误将必要条件作充分条件或将充分不必要条件误作充要条件使用袁导致错误结论遥 揖例题铱已知函数 枣渊曾冤 a曾3垣3曾圆 曾垣员 在 R 上是减函数袁求 a 的取值范围遥 揖易错点铱f 忆渊x冤 0渊曾沂渊葬袁遭冤冤是 枣渊曾冤在渊葬袁遭冤内单调递减的充分不必要条件袁在解题过程中易误 作是充要条件袁如 枣渊曾冤 曾3在 R 上递减袁但 f 忆渊x冤 3曾圆臆0遥 揖解析铱求函数的导数 f 忆渊曾冤 3a曾2垣6曾 员袁渊1冤当 f 忆渊x冤 0 时袁枣渊曾冤是减函数袁则 f 忆渊曾冤 3a曾2垣6曾 员 0 渊曾沂R冤故 a 0 驻 0 嗓 解得 a 3 时袁在 R 上存在一个区间在其上有 f 忆渊曾冤 0袁所以当 a 3 时袁函数 枣渊曾冤 不是减函数袁综上袁所求 a的取值范围是渊 肄袁 3 遥 高效提升训练 员援已知 粤越喳曾渣曾跃原员札袁那么正确的是渊冤遥 粤援园哿粤月援喳园札哿粤 悦援粤越喳园札阅援粤越 圆援设 哉越喳员袁圆袁猿袁源袁缘袁远袁苑袁愿札袁粤越喳猿袁源袁缘札袁月越喳员袁猿袁远札袁则集合喳圆袁苑袁愿札是渊冤遥 粤援粤疑月月援粤胰月 悦援渊 哉粤冤胰渊哉月冤 阅援渊 哉粤冤疑渊哉月冤 猿援下列四个命题院淤空集没有子集曰于空集是任何一个集合的真子集曰盂空集中元素个数为 园曰 榆任一集合必有两个或两个以上的子集遥 其中正确的有渊冤遥 粤援园月援员 悦援圆阅援猿 源援设全集 哉越喳曾渣曾臆愿袁曾沂晕垣札袁若 粤疑渊 哉月冤越喳员袁愿札袁渊哉粤冤疑月越喳圆袁远札袁渊哉粤冤疑渊哉月冤越喳源袁苑札袁则渊 冤遥 粤援粤越喳员袁愿札袁月越喳圆袁远札 月援粤越喳员袁猿袁缘袁愿札袁月越喳圆袁猿袁缘袁远札 悦援粤越喳员袁愿札袁月越喳圆袁猿袁缘袁远札 阅援粤越喳员袁猿袁愿札袁月越喳圆袁缘袁远札 5援已知集合 粤越喳渊曾袁赠冤渣圆曾原赠越园札尧月越喳渊曾袁赠冤渣猿曾垣赠越园札尧悦越喳渊曾袁赠冤渣圆曾原赠越猿札袁求 粤疑月尧粤疑悦尧渊粤疑月冤胰 渊月疑悦冤遥 6援设 曾袁赠沂砸袁粤越喳葬渣葬越曾圆原猿曾垣员札袁月越喳遭渣遭越赠圆垣猿赠垣员札袁求集合 粤 与 月 之间的关系遥 7援已知集合 粤越喳曾渣员园垣猿曾原曾圆逸园札袁月越喳曾渣曾圆原圆曾垣圆皂约园札袁若 粤疑月越月袁求实数 皂 的值遥 8援已知 葬跃员袁设命题 p院葬渊曾原圆冤垣员跃园袁命题 q院渊曾原员冤圆跃葬渊曾原圆冤垣员遥 试寻求使得 p尧q 都是真命题的 曾 的 集合遥 7 学科专业知识 小学数学 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 参考答案及解析 员援揖答案铱月遥圆援揖答案铱阅遥猿援揖答案铱月遥源援揖答案铱月遥 5援揖解析铱粤疑月 就是 粤 和 月 中两直线的交点袁解二元一次方程得 曾越园袁赠越园袁所以 粤疑月越喳渊曾袁赠冤渣曾越园袁赠越园札曰 粤 和 悦 中两直线平行袁没有交点袁所以 粤疑悦越曰月 和 悦 中两直线的交点是渊 猿 缘 袁原 怨 缘 冤袁所以 月疑悦越喳渊曾袁赠冤渣曾越 猿 缘 袁 赠越原怨 缘 札袁粤疑月越喳渊曾袁赠冤渣曾越园袁赠越园札袁所以渊粤疑月冤胰渊月疑悦冤越喳渊曾袁赠冤渣渊园袁园冤袁渊猿 缘 袁原怨 缘 冤札遥 6援揖解析铱由 葬越曾圆原猿曾垣员越渊曾原 猿 圆 冤圆原 缘 源 逸原 缘 源 袁得 粤越喳葬渣葬逸原 缘 源 札袁遭越赠圆垣猿赠垣员越渊赠垣 猿 圆 冤圆原 缘 源 逸原 缘 源 袁得 月越喳遭渣遭逸原 缘 源 札袁故 粤越月遥 7援揖解析铱不难求出 粤越喳曾渣原圆臆曾臆缘札袁由 粤疑月越月圯月哿粤袁又 曾圆原圆曾垣圆皂约园袁驻越源原愿皂袁 淤若 源原愿皂臆园袁即 皂逸 员 圆 袁则 月越哿粤曰 于若 源原愿皂跃园袁即 皂约员 圆 袁月越喳曾渣员原员原圆皂姨约曾约员垣员原圆皂姨札袁 故 员原员原圆皂姨逸原圆 员垣员原圆皂 姨 臆缘 嗓 圯原源臆皂约员 圆 袁 因此由淤于知院皂 的取值范围是 皂沂咱原源袁垣肄冤遥 8援揖解析铱设 粤越喳曾渣葬渊曾原圆冤垣员跃园札袁月越喳曾渣渊曾原员冤圆跃葬渊曾原圆冤垣员札袁依题意袁求使得p尧q 都是真命题的 曾 的集合即是求集合粤疑月袁 因 葬渊曾原圆冤垣员跃园 渊曾原员冤圆跃葬渊曾原圆冤垣员 嗓 圯 曾跃圆原员 葬 曾圆原渊圆垣葬冤曾垣圆葬跃园 嗓 圯 曾跃圆原员 葬 渊曾原葬冤渊曾原圆冤跃园 嗓 袁 故若 员约葬约圆 时袁则有 曾跃圆原员 葬 曾跃圆 或 曾约葬 嗓 袁 而 葬原渊圆原 员 葬 冤越葬垣 员 葬 原圆跃园袁所以 圆原 员 葬 约x约葬遥 即当 员约葬约圆 时使 p尧q 都是真命题的 曾沂喳曾渣曾跃圆 或 圆原 员 葬 约曾约葬札曰 当 葬越圆 时易得使 p尧q 都是真命题的 曾沂喳曾渣曾跃猿 圆 且 曾屹圆札曰 若 葬跃圆袁则有 曾跃圆原员 葬 袁 曾跃葬 或 曾约圆遥 嗓 此时使得 p尧q 都是真命题的 曾沂喳曾渣曾跃葬 或 圆原 员 葬 约曾约圆札遥 8 第一部分 学科专业基础 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 知识结构 1 熟练掌握高中数学函数部分基本知识遥 2 把握函数尧基本初等函数的分类遥 3 深入理解三角函数的性质遥 1 本章知识在历年考试中大多以单项选择题尧简答题的形式出现遥 2 在历年考试中袁函数的性质及应用尤其是三角函数的应用是考查的重点袁考生在复习的时候袁 注意准确理解尧灵活运用遥 誗函数的基本性质 誗函数的定义 誗反函数和复合函数 誗指数函数与对数函数 誗幂函数 基本初等函数 函数概念 函数 三角函数 誗任意角的三角函数 誗角的概念的推广尧弧度制 誗同角三角函数的基本关系式与诱导公式 誗正弦尧余弦定理 誗正弦函数尧余弦函数尧正切函数的图象与性质 誗函数 y Asin渊棕x 渍冤的图象与性质 誗和尧差尧倍尧半角公式 第二章 函数 考点聚焦 考点预测 9 学科专业知识 小学数学 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 第一节 函数概念 一尧函数的定义 设 A袁B 是非空的数集袁如果按照某种确定的对应关系 f袁使对于集合 A 中的任意一个数 x袁在集合 B 中都有唯一确定的数 f渊x冤和它对应袁那么就称为 f院A寅B 是从集合 A 到集合 B 的一个函数袁记作 y f渊x冤袁x沂A遥 其中 x 叫做自变量袁x 的取值范围 A 叫做函数的定义域曰与 x 的值相对应的 y 值叫做函数 值袁函数值的集合 f渊x冤 x沂A嗓瑟叫做函数的值域遥 易 错 分 析 求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则遥 揖例题铱已知渊x 2冤2 y 圆 4 1袁求 x2 y2的取值范围遥 揖易错点铱此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x 的函数最值求解袁但极易忽 略 x尧y 满足渊x 2冤2 y 圆 4 1 这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大遥 揖解析铱由渊x 2冤2 y 圆 4 1 得渊x 2冤2 1 y 圆 4 臆1袁亦 3臆x臆 1袁从而 x2 y2 3x2 16x 12 3渊x 8 3 冤2 28 3 袁因此当 x 1 时 x2 y2有最小值 1曰当 x 8 3 时袁x2 y2有最大值 28 3 遥 故 x2 y2的取值范围是 1袁28 3 遥 二尧函数的基本性质 渊一冤奇偶性 1 定义 函数 y f渊x冤中袁如果对于函数定义域内的任意一个 x袁有 f渊 x冤 f渊x冤袁则称函数 f渊x冤为奇函数曰若 f渊 x冤 f渊x冤袁则称函数 f渊x冤为偶函数遥 2 判断方法 渊1冤定义法 淤求出定义域曰 于判断定义域是否关于原点对称曰 盂求 f渊 x冤并比较 f渊 x冤与 f渊x冤或 f渊 x冤与 f渊x冤的关系遥 渊2冤图象法 奇函数图象在其定义域内关于原点对称袁偶函数图象在其定义域内关于 y 轴对称遥 10 第一部分 学科专业基础 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 易 错 分 析 判断函数的奇偶性容易忽视函数具有奇偶性的必要条件院定义域关于原点对称遥 揖例题铱判断函数 f渊x冤 lg渊1 x圆冤 x 2 2 的奇偶性遥 揖易错点铱此题常犯的错误是不考虑定义域袁而按如下步骤求解院f渊 x冤 lg渊1 x圆冤 x 2 2 屹f渊x冤从而得 出 f渊x冤函数为非奇非偶函数的错误结论遥 揖解析铱由函数的解析式知 x 满足 1 x圆 0 x 2 屹依2 嗓 即函数的定义域为渊 1袁0冤胰渊0袁1冤袁定义域关于 原点对称袁在定义域下 f渊x冤 lg渊1 x圆冤 x 易证 f渊 x冤 f渊x冤袁即函数为奇函数遥 渊二冤单调性 1 定义 设 f渊x冤的定义域为 I院如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1袁x2袁当 x1 x2 时袁都有 f渊x1冤 f渊x2冤渊f渊x1冤跃f渊x2冤冤袁那么就说函数 f渊x冤在区间 D 上是增渊减冤函数遥 2 判断方法 渊1冤定义法 淤设 x1袁x2沂I袁且 x110 a10 a0 或 a臆原8B a 0 C 0约a约 8 31 D 8 31 臆a臆 72 23 揖答案铱D遥 解析院方程 2a 窑 9sinx 4a 窑 3sinx a 8 0 有解袁等价于求 a 8 2 窑 9sinx 4 窑 3sinx 1 的值域遥 疫3sinx沂 1 3 袁 3 袁亦2 窑 9sinx 4 窑 3sinx 1沂 23 9 袁31 袁则 a 的取值范围为 8 31 臆a臆 72 23 遥 2 若定义在渊原1袁0冤内的函数 f渊x冤 log2a渊x 1冤跃0袁则 a的取值范围是渊冤遥 A 渊0袁 1 2 冤B 0袁 1 2 蓸蓡C 渊 1 2 袁 肄冤D 渊0袁 肄冤 揖答案铱A遥 解析院当 x沂渊原1袁0冤时袁x 1沂渊0袁1冤袁而函数 f渊x冤 log2a渊x 1冤跃0袁故 0约2a约1 即 0约a约 1 2 遥 真疑释题 13 学科专业知识 小学数学 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 易 错 分 析 在涉及指对型函数的单调性有关问题时袁 没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函 数的真数的限制条件遥 揖例题铱是否存在实数 a 使函数 f渊x冤 logaax 2 x在 2袁4 上是增函数钥 若存在求出 a 的值袁若不存 在袁说明理由遥 揖易错点铱本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法袁在解题过程中易忽 略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致 a的范围扩大遥 揖解析铱函数 f渊x冤是由 覬渊x冤 ax2 x 和 y loga覬渊x冤复合而成的袁根据复合函数的单调性的判断方法袁 渊1冤当 a跃1 时袁若使 f渊x冤 logaax 2 x在 2袁4 上是增函数袁则 覬渊x冤 ax2 x 在 2袁4 上是增函数且大于零遥 故 有 1 2a 燮2 覬渊2冤 4a 2 0 扇 墒 设 设 设 设 缮 设 设 设 设 解得 a跃1遥 渊2冤当 a0 扇 墒 设 设 设 设 缮设 设 设 设 不等式组无解遥 综上所述袁存在实数 a跃1 使得函数 f渊x冤 logaax 2 x在 2袁4 上是增函数遥 二尧幂函数 p 为偶数 q 为奇数 偶函数 第一象 限性质 减函数增函数增函数 过定点 渊1袁1冤 渊 1袁1冤渊1袁1冤渊 1袁1冤渊1袁1冤 渊 1袁1冤渊1袁1冤 y x y x x y 幂函数 y越x琢渊琢沂R袁琢屹1冤 琢 p q 琢约00约琢约1琢跃1 p 为奇数 q 为奇数 奇函数 p 为奇数 q 为偶数 渊1袁1冤 渊1袁1冤 渊1袁1冤 渊1袁1冤 渊 1袁 1冤 渊1袁1冤 渊 1袁 1冤 渊1袁1冤 渊 1袁 1冤 yyy x yy y x x x x x 14 第一部分 学科专业基础 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 第三节 三角函数 一尧角的概念的推广尧弧度制 员援任意角院角是由射线绕端点旋转而成的袁它有正角尧负角与特殊的零角遥 圆援终边相同的角院所有与角 琢 终边相同的角袁连同角 琢 在内袁称为终边相同的角袁记为 S越喳茁渣茁越琢垣 k窑 猿远园毅袁k沂在札 猿援象限角院把角置于直角坐标系中袁使角的顶点与坐标原点重合袁角的始边与 x 轴的正半轴重合袁 那么角的终边落在第几象限袁就说这个角是第几象限角遥 例如院第二象限角的集合院S越喳琢渣k窑 猿远园毅垣怨园毅约琢约k窑 猿远园毅垣员愿园毅袁k沂在札遥 源援坐标轴上的角 终边在 x 轴上的角的集合院S越喳琢渣琢越k 窑 员愿园毅袁k沂在札曰 终边在 y 轴上的角的集合院S越喳琢渣琢越k 窑 员愿园毅垣怨园毅袁k沂在札曰 终边在坐标轴上的角的集合院S越喳琢渣琢越k窑 怨园毅袁k沂在札遥 缘援角的度量院弧度制尧角度制 员则葬凿 角院弧长与圆半径长相等的弧所对的圆心角的大小称为 员则葬凿 角遥 弧度和角度的换算院员愿园毅越仔渊则葬凿冤 员毅越 仔 180 则葬凿抑园援园员苑 源缘 则葬凿 员渊则葬凿冤越渊 180 仔 冤毅抑缘苑援猿园毅抑缘苑毅员愿忆 远援弧长和扇形面积公式 l越渣琢渣 窑 RS越 1 2 l 窑 R越 1 2 渣琢渣 窑 R2 二尧任意角的三角函数 员援任意角的三角函数的定义院设点 孕渊曾袁赠冤是角 琢 终边上一点袁点 韵 是坐标原点袁则越渣韵孕渣越曾圆垣赠圆姨袁 那么角 琢 的正弦尧余弦尧正切分别是 泽蚤灶琢越 赠 则 袁糟燥泽琢越 曾 则 袁贼葬灶琢越 赠 曾 渊曾屹园冤遥 圆援三角函数值的符号院正弦尧余弦尧正切函数值在各象限的符号遥 y x O y x O y x O sin琢cos琢tan琢 15 学科专业知识 小学数学 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 猿援三角函数线院正弦线 酝孕越泽蚤灶琢袁余弦线 韵酝越糟燥泽琢袁正切线 粤栽越贼葬灶琢遥 y y y y x xx x T P T P T PP T M M MM A AAAOOO O 琢 琢 琢 琢 三尧同角三角函数的基本关系式与诱导公式 员援同角三角函数的基本关系式 渊员冤sin2琢 cos2琢 1 渊圆冤tan琢 sin琢 cos琢 圆援诱导公式院与角野圆k仔垣琢袁原琢袁仔依琢袁仔 2 依琢袁3仔 2 依琢冶有关的诱导公式的记忆口诀是野奇变偶不变袁符号 看象限冶遥 应用诱导公式袁重点是野函数名称冶与野正负号冶的判断遥 求任意角的三角函数值的问题袁都可以 通过诱导公式化归为锐角三角函数的求值问题袁具体步骤为野负角化正角冶寅野正角化锐角冶寅求值遥 四尧正弦函数尧余弦函数尧正切函数的图象与性质 函数名y sinxy cosxy tanx 图象 定义域RR喳曾渣曾屹噪仔垣 仔 圆 札 值域咱原员袁员暂咱原员袁员暂R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 周期性T越2仔T越2仔T越仔 对称轴x k仔 仔 2 x k仔 不存在 最大值不存在 最小值不存在 单调 性 咱圆噪仔原 仔 圆 袁圆噪仔垣 仔 圆 暂 咱圆噪仔垣 仔 圆 袁圆噪仔垣 猿仔 圆 暂 咱圆噪仔原仔袁圆噪仔暂 咱圆噪仔袁圆噪仔垣仔暂 增区间渊k仔 仔 2 袁k仔 仔 2 冤 不存在 增 减 x 2k仔 仔 2 ymax 1x 2k仔ymax 1 x 2k仔 仔 2 ymin 1x 2k仔 仔ymin 1 仔 O x y 仔O 仔仔 y x 仔 2 O 仔 2 x y 16 第一部分 学科专业基础 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 注院上表中 k沂Z遥 易 错 分 析 没有挖掘题目中的隐含条件袁忽视对角的范围的限制而造成增解现象遥 揖例题铱已知 琢沂渊0袁仔冤袁sin琢 cos琢 7 13 袁求 tan 琢 的值遥 揖易错点铱本题可依据条件 sin琢 cos琢 7 13 袁利用 sin琢 cos琢 依1 2sin琢cos琢姨可解得 sin琢 cos琢 的值袁再通过解方程组的方法即可解得 sin琢尧cos琢 的值遥 但在解题过程中易忽视 sin琢cos琢 0 这个隐 含条件来确定角 琢 范围袁主观认为 sin琢 cos琢 的值可正可负从而造成增解遥 揖解析铱据已知 sin琢 cos琢 7 13 渊1冤有 2sin琢cos琢 120 169 0袁cos琢0 即 sin琢 cos琢 1 2sin琢cos琢姨 17 13 渊2冤袁联立渊1冤渊2冤可得 sin琢 12 13 袁cos琢 5 13 可得 tan琢 12 5 遥 五尧函数 赠越粤泽蚤灶渊棕曾垣渍冤的图象与性质 员援图象的作法 方法一院野五点法冶 先找出确定图象形状起关键作用的五个点渊强调院这五个点应该是使函数取得极大值尧极小值和 曲线与 x 轴相交的点冤袁找出它们的方法是作变量代换院设 载越棕曾垣渍袁由 载 取 园袁仔 圆 袁仔袁 猿仔 圆 袁圆仔 来求出 对应的值袁再用光滑曲线将它们连接起来遥 方法二院图象的初等变换 振幅变换院函数 y越sinx 纵坐标伸长渊A跃0冤 或缩短渊0约A约1冤到原来的 A 倍 函数 y Asinx 周期变换院函数 y越Asinx 横坐标伸长渊0约棕约1冤 或缩短渊棕跃1冤到原来的1 棕 倍 函数 y Asin棕x 平移变换院函数 y越Asin棕x 向右渊渍 棕 约0冤或向左渊渍 棕 跃0冤 平移渣渍 棕 渣个单位 函数 y Asin渊棕x 渍冤 一般地袁由 赠越泽蚤灶曾 的图象通过变换得到函数 赠越粤泽蚤灶渊棕曾垣渍冤渊棕跃园袁粤跃园冤图象的两种常见方法袁其 步骤如下院 横坐标伸长渊0约棕约1冤或 缩短渊棕跃1冤到原来的1 棕 倍 渊员冤y越sinxy sin棕x 17 学科专业知识 小学数学 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 向左渊渍 棕 跃0冤或向右渊渍 棕 约0冤 平移渣渍 棕 渣个单位 y sin渊棕x 渍冤 纵坐标伸长渊A跃1冤 或缩短渊0约A约1冤到原来的 A 倍 y Asin渊棕x 渍冤 向左渊渍跃0冤或向右渊渍约0冤 平移渣渍渣个单位 渊2冤y越sinxy sin渊x 渍冤 横坐标伸长渊0约棕约1冤 或缩短渊棕跃1冤到原来的1 棕 倍 y sin渊棕x 渍冤 纵坐标伸长渊A跃1冤 或缩短渊0约A约1冤到原来的 A 倍 y Asin渊棕x 渍冤 圆援性质院周期为 栽越 圆仔 渣棕渣 遥 下列四个函数中袁以 仔 为最小正周期袁且在区间渊仔 圆 袁仔冤上为减函数的是渊冤遥 粤援赠越糟燥泽圆曾月援赠越圆渣泽蚤灶曾渣悦援赠越渊 员 猿 冤糟燥泽曾阅援赠越原糟燥贼曾 揖答案铱B遥 解析院悦 选项周期为 圆仔袁不符合袁其他选项周期均为 仔袁图象如下院 y 渣sinx渣 y cotx y cos2x y x O 渊竖线处为仔 2 冤观察图象可得院只有 赠越圆渣泽蚤灶曾渣在指定区间上是减函数遥 真疑释题 六尧和尧差尧倍尧半角公式 员援两角和与差的三角函数公式 悦渊琢依茁冤院糟燥泽渊琢依茁冤越糟燥泽琢糟燥泽茁芎泽蚤灶琢泽蚤灶茁 杂渊琢依茁冤院泽蚤灶渊琢依茁冤越泽蚤灶琢糟燥泽茁依糟燥泽琢泽蚤灶茁 栽渊琢依茁冤院tan渊琢依茁冤越 贼葬灶琢依贼葬灶茁 员芎贼葬灶琢贼葬灶茁 18 第一部分 学科专业基础 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 圆援二倍角公式 杂圆琢院泽蚤灶圆琢越圆泽蚤灶琢糟燥泽琢 悦圆琢院糟燥泽圆琢越糟燥泽圆琢原泽蚤灶圆琢越圆糟燥泽圆琢原员越员原圆泽蚤灶圆琢 栽圆琢院贼葬灶圆琢越 圆贼葬灶琢 员原贼葬灶圆琢 猿援降幂公式 泽蚤灶圆琢越 员原糟燥泽圆琢 圆 袁糟燥泽圆琢越 员垣糟燥泽圆琢 圆 源援半角公式 泽蚤灶琢 圆 越依 员原糟燥泽琢 圆姨 袁糟燥泽琢 圆 越依 员垣糟燥泽琢 圆姨 七尧正弦尧余弦定理 员援正弦定理 葬 泽蚤灶粤 越 遭 泽蚤灶月 越 糟 泽蚤灶悦 越圆砸渊砸 是三角形外接圆的半径冤遥 圆援余弦定理 葬圆越遭圆垣糟圆原圆遭糟糟燥泽粤曰遭圆越糟圆垣葬圆原圆糟葬糟燥泽月曰糟圆越葬圆垣遭圆原圆葬遭糟燥泽悦遥 猿援三角形面积公式 杂越 员 圆 葬遭泽蚤灶悦越 员 圆 遭糟泽蚤灶粤越 员 圆 糟葬泽蚤灶月曰 正三角形的面积公式院杂正吟越 猿姨 源 葬圆遥 源援三角形中的边与角的关系 葬圆跃遭圆垣糟圆圳粤跃怨园毅 葬圆越遭圆垣糟圆圳粤越怨园毅 葬圆约遭圆垣糟圆圳粤约怨园毅 若 园约琢约仔 圆 袁原仔 圆 约茁约园袁糟燥泽渊仔 源 垣琢冤越 员 猿 袁糟燥泽渊仔 源 原 茁 圆 冤越 猿姨 猿 袁则 糟燥泽渊琢垣 茁 圆 冤越渊冤遥 粤援 猿姨 猿 月援原 猿姨 猿 悦援 缘猿姨 怨 阅援原 远姨 怨 揖答案铱悦遥 解析院应用和角公式院悦琢依茁院糟燥泽渊琢依茁冤越糟燥泽琢糟燥泽茁芎泽蚤灶琢泽蚤灶茁袁原式可以化简为 糟燥泽渊仔 源 垣琢冤 窑 糟燥泽渊仔 源 原 茁 圆 冤垣泽蚤灶渊仔 源 琢冤泽蚤灶渊仔 源 原 茁 圆 冤袁由诱导公式可以求出 泽蚤灶渊仔 源 垣琢冤泽蚤灶渊仔 源 原 茁 圆 冤越 圆圆姨 猿 伊 远姨 猿 袁则 糟燥泽渊琢垣 茁 圆 冤越 员 猿 伊 猿姨 猿 垣 圆圆姨 猿 伊 远姨 猿 越 缘猿姨 怨 袁选 悦遥 真疑释题 19 学科专业知识 小学数学 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 高效提升训练 员援把曲线 赠糟燥泽曾垣圆赠原员越园 先沿 曾 轴向右平移仔 圆 个单位袁再沿 赠 轴向下平移 员 个单位袁得到的曲线方 程是渊冤遥 粤援渊员原赠冤泽蚤灶曾垣圆赠原猿越园月援渊赠原员冤泽蚤灶曾垣圆赠原猿越园 悦援渊赠垣员冤泽蚤灶曾垣圆赠垣员越园阅援原渊赠垣员冤泽蚤灶曾垣圆赠垣员越园 圆援在吟粤月悦 中袁若 圆糟燥泽月泽蚤灶粤越泽蚤灶悦袁则吟粤月悦 的形状一定是渊冤遥 粤援等腰直角三角形 月援直角三角形 悦援等腰三角形 阅援等边三角形 3 设 a 3 5 蓸蔀 2 5 袁b 2 5 蓸蔀 3 5 袁c 2 5 蓸蔀 2 5 袁则a袁b袁c 的大小关系是渊冤遥 A a跃c跃bB a跃b跃cC c跃a跃bD b跃c跃a 4 下列四类函数中袁有性质野对任意的 x 0袁y 0袁函数 f渊x冤满足 f渊x垣y冤越f渊x冤f渊y冤冶的是渊冤遥 A 幂函数 B 对数函数C 指数函数 D 余弦函数 5 已知 泽蚤灶琢越 猿 缘 袁琢沂渊仔 圆 袁仔冤袁贼葬灶渊仔原茁冤越 员 圆 袁求 贼葬灶渊琢原圆茁冤的值遥 6 已知 枣渊曾冤是定义在渊原员袁员冤的函数袁并且满足下列条件院淤对坌曾员袁曾圆沂渊原员袁员冤都有 枣渊曾员冤垣 枣渊曾圆冤越 枣渊 曾员垣曾圆 员垣曾员曾圆 冤成立曰于当 曾沂渊原员袁园冤时袁枣渊曾冤跃园遥 请回答下列问题院 渊员冤判断 枣渊曾冤在渊原员袁员冤上的奇偶性袁并说明理由曰 渊圆冤判断 枣渊曾冤在渊园袁员冤上的单调性袁并说明理由遥 7 已知 枣渊曾冤越缘泽蚤灶曾糟燥泽曾原缘猿姨糟燥泽圆曾垣 缘 圆 猿姨渊曾沂砸冤袁 渊员冤求 枣渊曾冤的最小正周期曰 渊圆冤求 枣渊曾冤单调区间曰 渊猿冤求 枣渊曾冤图象的对称轴袁对称中心遥 参考答案及解析 1 揖答案铱C遥2 揖答案铱C遥 3 揖答案铱A遥 解析院y x 2 5 在 x跃0 时是增函数袁所以 a跃c袁y 2 5 蓸 蔀 x 在 x跃0 时是减函数袁所以 c跃b遥 4 揖答案铱C遥 解析院因为 ax y axay袁所以 f渊x垣y冤越f渊x冤f渊y冤遥 5 揖解析铱由题设 泽蚤灶琢越 猿 缘 袁琢沂渊仔 圆 袁仔冤袁 可知 糟燥泽琢越原源 缘 袁贼葬灶琢越原猿 源 袁 20 第一部分 学科专业基础 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 又因 贼葬灶渊仔原茁冤越员 圆 袁贼葬灶茁越原员 圆 袁所以 贼葬灶圆茁越 圆贼葬灶茁 员原贼葬灶圆茁 越原源 猿 遥 贼葬灶渊琢原圆茁冤越 贼葬灶琢原贼葬灶圆茁 员垣贼葬灶琢贼葬灶圆茁 越 原猿 源 垣 源 猿 员垣员 越 苑 圆源 遥 6 揖解析铱渊员冤因对坌曾员袁曾圆沂渊原员袁员冤时袁 枣渊曾员冤垣 枣渊曾圆冤越 枣渊 曾员垣曾圆 员垣曾员曾圆 冤都成立袁故令 曾员越曾圆越园袁得 枣渊园冤越园袁因此对于坌曾沂渊原员袁员冤袁枣渊曾冤垣 枣渊原曾冤越 枣渊 曾原曾 员原曾圆 冤越园袁所以对于坌曾沂渊原员袁员冤袁有 枣渊原曾冤越原 枣渊曾冤袁所以 枣渊曾冤在渊原员袁员冤上是奇函数遥 渊圆冤设 园约曾员约曾圆约员袁 枣渊曾员冤原 枣渊曾圆冤越 枣渊 曾员原曾圆 员原曾员曾圆 冤袁因 园约曾员约曾圆约员袁故 曾员原曾圆约园袁员原曾员曾圆跃园袁原员约 曾员原曾圆 员原曾员曾圆 约园袁则 枣渊 曾员原曾圆 员原曾员曾圆 冤跃园袁从 而 枣渊曾员冤跃 枣渊曾圆冤袁故 枣渊曾冤在渊园袁员冤上是减函数遥 7 揖解析铱渊员冤栽越仔遥 渊圆冤增区间咱噪仔原 仔 员圆 袁噪仔垣 缘 员圆 仔暂袁减区间咱噪仔垣 缘 员圆 仔袁噪仔垣 员员 员圆 仔暂袁噪沂在遥 渊猿冤对称中心渊 噪仔 圆 垣仔 远 袁园冤袁对称轴 曾越噪 圆 仔垣 缘 员圆 仔渊噪沂在冤遥 21 学科专业知识 小学数学 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 1 把握函数与不等式的关系袁深入认识函数知识的应用遥 2 掌握等差数列和等比数列的求和公式遥 3 理解极限的含义袁熟练掌握极限的计算遥 1 本章知识在历年考试中大多以单项选择题尧简答题的形式出现遥 2 在历年考试中袁不等式的求解尧等差数列和等比数列的应用尧极限的运算是考查的重点袁考生在 复习时要注意多加练习袁以便灵活运用遥 誗基本概念与性质 誗数列求和的常用方法 誗判别方法 誗不等式的解法 誗不等式的证明 誗等差数列与等比数列 誗线性递归数列 誗数列的极限 誗函数的极限 数列 不等式 不等式尧数 列与极限 极限 誗不等式的性质 第三章 不等式 数列与极限 考点聚焦 考点预测 知识结构 22 第一部分 学科专业基础 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 第一节 不等式 一尧不等式的性质 性质 1院若 a跃b袁b跃c袁则 a跃c 渊不等式的传递性冤 证明院疫a跃b 亦a原b跃0 疫b跃c 亦b原c跃0 亦渊a原b冤垣渊b原c冤越a原c跃0 渊正负数运算性质冤 则 a跃c 性质 2院若 a跃b袁则 a垣c跃b垣c 渊不等式的加法性质冤 证明院疫a跃b 亦a原b跃0 疫渊a垣c冤原渊b垣c冤越a原b跃0亦a垣c跃b垣c 性质 3院若 a跃b袁c跃d袁则 a垣c跃b垣d 渊同向不等式相加性质冤 证明 1院疫a跃b 亦a垣c跃b垣c渊性质 2冤 疫c跃d 亦b垣c跃b垣d渊性质 2冤 则 a垣c跃b垣d渊性质 1冤 证明 2院疫a跃b 亦a原b跃0 疫c跃d 亦c原d跃0 亦渊a原b冤垣渊c原d冤跃0 即渊a垣c冤原渊b垣d冤跃0渊作差比较法冤 则 a垣c跃b垣d 性质 4院若 a跃b袁c约d袁则 a原c跃b原d 渊异向不等式相减性质冤 证明 1院疫c约d 亦c原d约0 得 d原c跃0 即原c跃原d渊正数的相反数为负数冤 亦可由 c约d 两边同加原渊c垣d冤袁直接推出原c跃原d 渊性质 2冤 疫a跃b 亦a垣渊原c冤跃b垣渊原d冤渊同向不等式相加性质冤 则 a原c跃b原d渊加减法运算法则冤 证明 2院疫a跃b 亦a原b跃0 疫c约d 亦d原c跃0 亦渊a原c冤原渊b原d冤越渊a原b冤垣渊d原c冤跃0渊作差比较法冤 则 a原c跃b原d 性质 5院若 a跃b袁c跃0袁则 ac跃bc 若 a跃b袁c约0袁则 ac约bc 渊不等式的乘法性质冤 证明院ac原bc越渊a原b冤c渊作差比较法冤 疫a跃b 亦a原b跃0 渊1冤当 c跃0 时袁渊a原b冤c跃0袁得 ac跃bc 渊正负数运算性质冤 渊2冤当 c约0 时袁渊a原b冤c约0袁得 ac约bc 渊正负数运算性质冤 性质 6院若 a跃b跃0袁c跃d跃0袁则 ac跃bd 渊同向不等式相乘性质冤 23 学科专业知识 小学数学 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 证明院疫a跃b袁c跃0 亦ac跃bc渊性质 3冤 疫c跃d袁b跃0 亦bc跃bd渊性质 3冤 则 ac跃bd渊性质 1冤 特例院当 a越c 且 b越d 时袁有野若 a跃b跃0袁则 a2跃b2冶 推论 1院若 a跃b跃0袁则 an跃bn渊n沂N 冤 渊不等式的乘方性质冤 推论 2院若 a跃b跃0袁则a n 姨跃b n 姨渊n沂N 袁n跃1冤 渊不等式的开方性质冤 性质 7院若 a跃b跃0袁则 0约 1 a 约 1 b 渊不等式的倒数性质冤 证明院疫a跃b跃0 亦 1 a 跃0袁 1 b 跃0袁a原b跃0 亦1 b 原 1 a 越 a b ab 跃0渊正负数运算性质冤袁则 0约 1 a 约 1 b 遥 二尧不等式的解法 渊一冤分式不等式 分式不等式的解法就是整式化遥 员援当分母的值可以确定正负时袁可直接去分母解之曰 圆援当分母的值不能确定正负时袁可利用以下几种同解变形转化求解院 渊员冤 枣渊曾冤 早渊曾冤 逸园圳 枣渊曾冤 窑 早渊曾冤逸园袁 早渊曾冤屹园遥 嗓 枣渊曾冤 早渊曾冤 臆园圳 枣渊曾冤 窑 早渊曾冤臆园袁 早渊曾冤屹园遥 嗓 渊圆冤 枣渊曾冤 早渊曾冤 园圳枣渊曾冤 窑 早渊曾冤 园袁 枣渊曾冤 早渊曾冤 园圳枣渊曾冤 窑 早渊曾冤 园遥 易 错 分 析 含参分式不等式的解法袁易对分类讨论的标准把握不准袁分类讨论达不到不重不漏的目的遥 揖例题铱解关于 x 的不等式 a渊x 1冤 x 2 跃1渊a屹1冤遥 揖易错点铱将不等式化为关于 x的一元二次不等式后袁忽视对二次项系数的正负的讨论袁导致错解遥 揖解析铱原不等式可化为院 渊a 1冤x 渊2 a冤 x 2 跃0袁即咱渊a原1冤x 渊2原a冤暂渊x原2冤跃0遥 当 a跃1 时袁原不等式 与渊x原 a 2 a 1 冤渊x原2冤跃0 同解遥 若 a 2 a 1 逸2袁即 a臆0 时袁原不等式无解曰若 a 2 a 1 约2袁即 a跃0袁于是 a跃1 时 原不等式的解为渊原肄袁 a 2 a 1 冤胰渊2袁 肄冤遥 当 a约1 时袁若 a约0袁解集为渊 a 2 a 1 袁2冤曰若 0约a约1袁解集为渊2袁 a 2 a 1 冤遥 综上所述院当 a跃1 时解集为渊原肄袁 a 2 a 1 冤胰渊2袁 肄冤曰当 0约a约1 时袁解集为渊2袁 a 2 a 1 冤曰当 a 0 时袁解集为誘曰当 a约0 时袁解集为渊 a 2 a 1 袁2冤遥 24 第一部分 学科专业基础 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 渊二冤无理不等式 无理不等式要转化为有理不等式来解袁首先应考虑不等式两边的未知数的取值范围袁然后再考虑 把不等式同解变形为需要的形式袁它往往与如下的一个不等式组同解院 员援若枣渊曾冤 姨跃葬渊葬跃园冤圳 枣渊曾冤逸园袁 枣渊曾冤跃葬圆曰 嗓 若枣渊曾冤 姨 葬渊葬跃园冤圳 枣渊曾冤逸园袁 枣渊曾冤g渊曾冤曰 扇 墒 设 设 设 设 设 缮设 设 设 设 设 若枣渊曾冤 姨 g渊曾冤姨圳 枣渊曾冤逸园袁 g渊曾冤跃园袁 枣渊曾冤 g渊曾冤遥 扇 墒 设 设 设 设 设 缮 设 设 设 设 设 猿援若枣渊曾冤 姨园袁 枣渊曾冤g渊曾冤圳 枣渊曾冤逸园袁 g渊曾冤园袁 g渊曾冤逸园袁 枣渊曾冤 g2渊曾冤遥 扇 墒 设 设 设 设 设 缮 设 设 设 设 设 渊三冤含有绝对值的不等式 员 应用分类讨论思想去绝对值曰 圆 应用数形结合思想曰 猿 应用化归思想等价转化院 渣 枣渊曾冤渣约早渊曾冤圳 早渊曾冤跃园袁 原早渊曾冤约 枣渊曾冤约早渊曾冤袁 嗓 渣 枣渊曾冤渣跃早渊曾冤圳早渊曾冤臆园渊 枣渊曾冤袁早渊曾冤不同时为 园冤或 早渊曾冤跃园袁 枣渊曾冤约原早渊曾冤或 枣渊曾冤跃早渊曾冤遥 嗓 渊四冤指数不等式 葬枣渊曾冤跃葬早渊曾冤渊葬跃员冤圳 枣渊曾冤跃早渊曾冤曰 葬枣渊曾冤跃葬早渊曾冤渊园约葬约员冤圳 枣渊曾冤约早渊曾冤曰 葬枣渊曾冤跃遭渊葬跃园袁遭跃园冤圳 枣渊曾冤 窑 造早葬跃造早遭遥 渊五冤对数不等式 造燥早葬枣渊曾冤跃造燥早葬早渊曾冤渊葬跃员冤圳 枣渊曾冤跃园袁 早渊曾冤跃园袁 枣渊曾冤跃早渊曾冤曰 扇 墒 设 设 设 设 设 缮 设 设 设 设 设 造燥早葬枣渊曾冤跃造燥早葬早渊曾冤渊园约葬约员冤圳 枣渊曾冤跃园袁 早渊曾冤跃园袁 枣渊曾冤约早渊曾冤遥 扇 墒 设 设 设 设 设 缮设 设 设 设 设 25 学科专业知识 小学数学 中公 窑 教师考试 给 人 改 变 未 来 的 力 量 不等式组 曾跃园 猿原曾 猿垣曾 跃 圆原曾 圆垣曾 扇 墒 设 设 设 设 设 缮 设 设 设 设 设 的解集是渊冤遥 粤援喳曾渣园约曾约圆札月援喳曾渣园约曾约圆援缘札悦援喳曾渣园约曾约远姨札阅援喳曾渣园约曾约猿札 揖解法 1铱由猿原曾 猿垣曾 跃园袁亦0约曾约3袁不等式两边平方得院渊猿原曾冤圆渊圆垣曾冤圆跃渊猿垣曾冤圆渊圆原曾冤圆遥 则渊曾圆原曾原远冤圆跃渊曾圆垣曾原远冤 圆袁即渊曾圆原曾原远垣曾圆垣曾原远冤渊曾圆原曾原远原曾圆原曾垣远冤跃园袁 故 曾渊远原曾圆冤跃园袁又 园约曾约猿遥 则 曾圆原远约园袁 园约曾约猿袁 嗓 因此 园约曾约远姨袁选 悦遥 揖解法 2铱由 曾跃园袁则可分成两种情况讨论院 渊员冤当 园约曾臆圆 时袁不等式组化为猿原曾 猿垣曾 跃 圆原曾 圆垣曾 渊园约曾臆圆