近世代数复习题.pdf

近近近世世世代代代数数数复复复习习习题题题 一 填空题 1 设A是有n个元素的集合 则A到自身的所有映射有个 其中满射有个 2 设R表示实数集合 而R 表示正实数集合 写出从R到R 的一个双射 设Q表示有理数集合 写出Q的对于普通加法来说的自同构 x 7 x除外 3 设 A 是有n n 3 个元的集合 2A表示A的所有子集的集合 在2A上定义等价关系 X Y X与 Y 有相同个数的 元素 由此等价关系决定2A的分类共有类 而个数为2的类中共有个元素 4 设M是数域F上的全体n阶矩阵构成的集合 在M上定义等价关系 A B r A r B 对任意A B M 这里r A 表示A的秩 由这个等价关系决定 的M的一个分类共有类 设A表示某系全体本科同学的集合 在A上定义关 系 a b a与b在同一个年级 由这个等价关系决定的A的分类共有类 5 在有理数集合上定义关系 a b a b Z 写出由这个等价关系 决定的等价 类的一个代表团 写出模12的剩余类的一个代表团 6 就同构意义上来说 4阶群只有两个 它们是和 且都是群 7 在整数加群Z中 循环群的交 3 5 写出一个阶大于10且只有平凡子群 的群 8 就同构意义上来说 阶数最小的非交换群是 给出一个 5 循环置 换 32154 那么 1 4 9 在对称群S4中 132 2 1234 1 而 3421 的阶是 10 设G是群 a b G 且ab ba a b的阶分别是 m 和 n 其中 m n 1 则 ab 的阶 是 又设H K G 且 H s K t s t 1 则H K 11 群Z8的生成元有个 Zpp为素数的生成元有个 无限循环群的生成 元只有个 12 设G是实数域R上所有的 n 阶可逆矩阵关于乘法构成的群 映射f A 7 detA 是G到 R 的同态 则 kerf 设R是环 R x 为R上的多项 式环 定义 R x R 为 f x f 0 f x R x 则ker 13 设R是特征为素数p的交换环 则对任意的 a b R a b p 只有有 限个元且乘法满足消去律的环是一个 近世代数 复习题 第1页共 6 页 14 在Z6 x 中 多项式 3 x3 5 x 4 2 x2 3 x 2 而方 程x2 x 0在Z6中的解是 在Z15中 x2 1 0的根是 15 任何一个群与一个群同构 任一个有限群都同一个群同构 找 出模6的剩余类环的所有理想 16 写出Z7的每个非零元的逆元 找出Z8的所有子环 17 若 I 是有单位元的交换环 R 的由元素 a 生成的主理想 则 I 中的任意元素可以表达 为 写出一个有零因子的非交换环 18 若R是一个有单位元的环 I是R的理想 那么 R I 的单位元是 整数 环Z的商域是 19 4个元的域的特征是 在R中写出Q的一个未定元 20 在环Z x 中由x 2生成的理想的 x 2 用集合表示 这 填 是 或 不是 Z x 的极大理想 二 单项选择题 1 下列哪个运算是二元运算 A 在整数集 Z 上 a b a b ab B 在正实数集 R 上 a b alnb C 在有理数集 Q 上 a b p ab D 在 Z 0 上 a b a b 2 下列定义的运算中满足结合律的是 A 非零实数集 R 的普通除法 B 全体整数集合上的普通减法 C 在Z 上 a b a 2b D 在实数集 R的普通乘法 3 以下映射中是群同态的是 A f R R f x x f R R f x x2 C f R R f x x2 D f G G f A AT 其中G表示数域F上全体n阶可逆矩阵关于乘法构成的群 而AT表示A的转置 4 设R 是一切非零实数关于乘法构成的群 以下映射不是群同态的是 A f x x B f x x2 C f x 2x D f x x 1 近世代数 复习题 第2页共 6 页 5 以下关系不是等价关系的是 A 整数集合 Z 中的整除关系B 整数集合上的同余关系 C R上全体n阶矩阵集合上的矩阵的合同关系 D R上全体n阶矩阵集合上的矩阵的相似关系 6 以下命题中不不不正确的是 A 一个群可以与它的真子群同构 B 环与它的子环一定有相同的单位元 C 任意一个群G至少有两个不变子群 就是G和 e D 群G的指数为2的子群H是G的不变子群 7 设G a G 12 则下列哪个不是G的生成元 A a3B a5C a7D a11 8 以下关于不变子群的命题不正确的是 A 设G是群 H G 则对任意a G h H aha 1 h B G的指数为2的子群是G的不变子群 C 设A G B G 则AB G D 每个非零群至少有两个不变子群 9 以下命题不正确的是 A 无限循环群的生成元只有两个 B 4阶群G一定是交换群 C 置换群中k循环的阶是k D 置换群中不同的循环可以交换 10 以下命题中不不不正确的是 A 除环和域没有真理想 B 有单位元的环的子环可以没有单位元 C 如果环R对于加法构成循环群 则R是交换环 D 设R是特征为p的环 则对任意的 a b R a b p ap bp 11 以下命题中不不不正确的是 A 设H是群G的不变子群 K是H的不变子群 但K不一定是G的不变子群 B 阶为偶数的群中 阶为2的元素的个数是奇数 C 两个理想的交还是理想 D 无限循环群只有两个生成元 12 以下命题不不不正确的是 A 环R上一切常数项为零的多项式的集合构成R x 的理想 近世代数 复习题 第3页共 6 页 B 群G的有限子集H构成G的子群的充要条件是 a b H ab H C 设H是群G的不变子群 则对任意的g G h H gh hg D 设R是偶数环 则 4 是R的极大理想 且R 4 是域 13 以下命题不不不正确的是 A 若环 R 满足消去律 那么 R 必定没有零因子 B 整数集合 Z 中的整除关系是一个等价关系 C 设 f 是环 R 到 R 的满同态 I 是 R的理想 则 f I 也是 R 的理想 D 除环的中心是一个域 14 以下命题不不不正确的是 A 设p是素数 则Zp是一个域 B 4阶群一定是循环群 C 4个元的域的特征是2 D 在环Z中 3 7 1 Z 15 以下命题不不不正确的是 A 除环和域只有平凡理想 B 阶为素数的群是循环群 C 每个交换环都有未定元 D R含有Z的未定元 16 以下命题不不不正确的是 A 两个子群的交是子群 B 有限群的每个元的阶有限 C 每个域的商域是它自己 D 两个循环可以交换 17 以下命题不不不正确的是 A 如果群G中每个非单位元的阶都是2 则G的交换群 B 任意群的中心是不变子群 C 在特征为p的环R中 对于任意a b R a b p ap bp D 有单位元且无零因子的环的中心是一个整环 三 辨析题 判断以下命题是否正确 正确的给予证明 错误的举出反例 1 群G的每一个元素的阶是有限的 G一定不是无限群 2 设H是G的不变子群 K是H的不变子群 则K也是G的不变子群 3 设M是一个非空集合 2M表示M的所有子集构成的集合 则2M关于集合的并 构成 群 近世代数 复习题 第4页共 6 页 4 设G是阶大于2的非交换群 则一定存在非单位元a b G 使得ab ba 5 偶数阶群G中阶为2的元素的个数一定是奇数个 6 设R是有单位元的环 I是R的理想 J是I的理想 则J也是R的理想 7 设f R R是环满同态 其中R有零因子 R没有零因子 8 整数加群与偶数加群同构 但是整数环与偶数环不同构 9 x 是Z x 的极大理想 也是Q x 的极大理想 10 如果有单位元的环R只有平凡理想 则R是除环 11 设f R R为环满同态 如果R是非交换的 则 R也是非交换的 12 Z i 的自同构只有两个 一个是恒等同态 另一个是共轭 13 设R是环 R的子环 a R a 是R的极大理想 但 a 不是 R的极大理想 14 设R是有零因子的非交换环 f R R是环满同态 但 R是没有零因子的交换环 15 R是非交换环 H是R的子环 但不是理想 16 一个没有零因子的环的商环也没有零因子 四 证明题 1 设S是任意集合 G 是加群 令A GS表示S到G的所有映射构成的集合 在A上 定义二元运算 f g A x G f g x f x g x 证明 A 是一个群 2 设 G 是一个群 u G是G中固定元 在G上定义新的二元运算 如下 a b au 1b a b G 证明 G 是一个群 3 证明实数域R上所有n阶可逆矩阵构成的集合Mn R 关于矩阵的乘法构成一个 非交 换群 设H A Mn R A 1 证明H是Mn R 的不变子群 4 设 G G是群满同态 N G N g G g N 证明N G 且G N G N 近世代数 复习题 第5页共 6 页 5 设A B都是群G的子群 AB ab a A b B 证明AB是G的子群的充要条件 是AB BA 6 设G表示有理数域Q到Q的一切形如 fa b x ax b a 6 0 a b Q 的所有变换构成的集合 令H f1 b G b Q 再令 G a b 01 a b Q a 6 0 G关于矩阵的乘法构成一个非交换群 令 H a 0 01 0 6 a Q 证 明 a G 关于映射的合成构成一个非交换群 且G G b H G 且G H H 因而G H是一个交换群 7 6阶群有且仅有一个3阶子群 这个子群是不变子群 8 证明f x 7 x 1是群G的自同构的充要条件是G为交换群 9 证明R m 2n m Z n Z 0 关于数的加法和乘法构成一个整环 10 证明R a b 2 a b Z 关于数的加法和乘法构成一个整环 11 证明Q i a bi a b Q 关于数的加法和乘法构成一个整环 12 设R是一个有单位元1的非交换环 用GL R 表示R的所有群同态的集合 在GL R 上 定义两个二元运算如下 f g GL R x R f g x f x g x f g x f g x 证明 GL R 是一个非交换环 13 设A Z Z是关于以下定义的加法和乘法构成的环 a b c d a b c d a b c d ac bd a b c d A 定义 A Z a b 7 a 1 证明 是A到Z的环满同态 2 求ker