随机过程习题详解.pdf

1 随机过程随机过程部分部分习题答案习题答案 习题习题 2 2 1 设随机过程btbVttX 0 为常数 1 0 NV 求 tX的一维概率密度 均 值和相关函数 解 因 1 0 NV 所以1 0 DVEV bVttX 也服从正态分布 bbtEVbVtEtXE 22 tDVtbVtDtXD 所以 2 tbNtX tX的一维概率密度为 2 1 2 2 2 xe t txf t bx 0 t 均值函数 btXEtmX 相关函数 bVtbVsEtXsXEtsRX 22 bbtVbsVstVE 2 bst 2 2 设随机变量 Y 具有概率密度 yf 令 Yt etX 0 0 Yt 求随机过程 tX的一维概率 密度及 21 ttRtEX X 解 对于任意0 t Yt etX 是随机变量 Y 的函数是随机变量 根据随机变量函数的分布的求法 ln xYtPxePxtXPtxF tY ln 1 ln 1 ln t x F t x YP t x YP Y 对x求导得 tX的一维概率密度 xtt x ftxf Y 1 ln 0 t 均值函数 0 dyyfeeEtXEtm yttY X 相关函数 0 2121 212121 dyyfeeEeeEtXtXEttR ttyttYtYtY X 2 2 3 若从0 t开始每隔 2 1 秒抛掷一枚均匀的硬币做实验 定义随机过程 时刻抛得反面 时刻抛得正面 tt tt tX 2 cos 试求 1 tX的一维分布函数 1 2 1 xFxF和 2 tX的二维分布函数 1 2 1 21 xxF 3 tX的均值 1 XX mtm 方差 1 22 XX t 解 1 2 1 t时 2 1 X的分布列为 2 1 X 0 1 P 2 1 2 1 一维分布函数 1 1 10 2 1 0 0 2 1 x x x xF 1 t时 1 X的分布列为 1 X 1 2 P 2 1 2 1 一维分布函数 2 1 21 2 1 1 0 1 x x x xF 2 由于 1 2 1 XX与相互独立 所以 1 2 1 XX的分布列为 1 X 2 1 X 1 2 0 4 1 4 1 3 1 4 1 4 1 二维分布函数 2 1 1 21 12 10 2 1 21 10 4 1 10 0 1 2 1 21 2121 21 21 21 xx xxxx xx xx xxF 或 或 3 tttttmX cos 2 1 2 2 1 cos 2 1 2 1 1 X m 222222 cos 2 1 2 2 1 cos 2 1 tttttEXtXEt X cos cos 4 1 2 cos 2 1 2222 tttttt cos cos 4 1 22 tttt 2 cos 2 1 tt 4 9 1 2 X 2 4 设有随机过程 sin cos tBtAtX 其中 为常数 BA 是相互独立且服从正态分布 0 2 N的随机变量 求随机过程的均值和相关函数 解 因BA 独立 0 2 NA 0 2 NB 所以 2 0 BDADBEAE 均值 sin cos tBtAEtXEtmX 0 sin cos BEtAEt 相关函数 sin cos sin cos 22112121 tBtAtBtAEtXtXEttRX 122121 2 21 2 sincossincossinsincoscosttABttABttBttAE sinsin coscos 2 21 2 21 BEttAEtt sinsincos cos 2121 2 tttt 4 cos 21 2 tt 2 5 已知随机过程 tX的均值函数 tmX和协方差函数 21 tttBX 为普通函数 令 ttXtY 求随机过程 tY均值和协方差函数 解 均值 ttmttXEttXEtYEtm XY 协方差 212121 tmtmttRttC YYYY 2121 tmtmtYtYE YY 22112211 ttmttmttXttXE XX 2121 tmtmtXtXE XX 其它项都约掉了 2121 tmtmttR XXX 21 ttCX 2 6 设随机过程 sin tAtX 其中 A是常数 在 上服从均匀分布 令 2 tXtY 求 ttRY和 ttRXY 解 22 tXtXEtYtYEttRY sin sin 2222 tAtAE 222cos 1 22cos 1 4 2 ttE A 222cos 22cos 222cos 22cos 1 4 2 ttttE A 而 0 22sin 4 1 22cos 2 1 22 cos tdttE 同理 0 222cos tE 利用三角积化和差公式 222cos 22cos ttE 424cos 2cos 2 1 tE 5 2cos 2 1 所以 2cos 2 1 1 4 2 A ttRY 2 tXtXEtYtXEttRXY sin sin 22 tAtAE 222cos 1 sin 2 3 ttE A 222cos sin sin 2 3 tttE A 323sin 2sin sin 2 4 3 tttE A 而 0 sin 1 sin 2 dttE 同理 0 323 sin 0 2 sin tEtE 所以 0 ttRXY 2 7 设随机过程 2 ZtYtXtX 其中ZYX 是相互独立的随机变量 且具有均值为零 方差 为 1 求随机过程 tX的协方差函数 解 根据题意 1 0 222 EZDZEYDYEXDXEZEYEX 0 22 EZttEYEXZtYtXEtXEtmX 221121 tmtXtmtXEttC XXX 2 22 2 1121 ZtYtXZtYtXEtXtXE 因ZYX 相互独立 均值为零 所以上面交叉乘积项数学期望为零 2 2 2 121 22 2 2 1 2 21 2 1ttttEZttEYttEX 2 8 设 tX为实随机过程 x为任意实数 令 xtX xtX tY 0 1 6 证明随机过程 tY的均值函数和相关函数分别为 tX的一维和二维分布函数 证明 0 1 xtXPxtXPtYEtmY txFxtXP X 21 tYtY的取值为 0 0 1 0 0 1 1 1 11 22112121 xtXxtXPtYtYEttRY 01 2211 xtXxtXP 10 2211 xtXxtXP 00 2211 xtXxtXP 21212211 ttxxFxtXxtXP X 2 9 设 tf是一个周期为 T 的周期函数 随机变量 Y 在 0 T 上均匀分布 令 YtftX 求 证随机过程 tX满足 T dttftf T tXtXE 0 1 证明 Y 的密度函数为 其它 0 0 1 Ty TyfY YtfYtfEtXtXE dyyfytfytf Y T dyytfytf T 0 1 Tt t duufuf T uyt 1 t Tt duufuf T 1 T duufuf T 0 1 2 13 设 0 ttX是正交增量过程 VX 0 0 是标准正态随机变量 若对任意的0 t VtX与 相互独立 令VtXtY 求随机过程 0 ttY的协方差函数 7 解 因 tX是正交增量过程 1 0 NV 所以1 0 0 VDVEtXE 有 0 VEtXEVtXEtYEmY 221121 tmtYtmtYEttC YYY 2121 VtXVtXEtYtYE 21 2 21 VtXEVtXEVEtXtXE 因VtX与 独立 0 0 VEtXE 2 21 VEtXtXE 1 min 21 2 tt X 利用正交增量过程的结论 习题习题 4 4 1 设质点在区间 0 4 的整数点做随机游动 到达 0 点或 4 点后以概率 1 停留在原处 在其它整数点分别 以概率 3 1 向左 向右移动一格或停留在原处 求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵 解 转移概率如图 一步概率转移矩阵为 10000 3 1 3 1 3 1 00 0 3 1 3 1 3 1 0 00 3 1 3 1 3 1 00001 P 二步转移概率矩阵为 10000 3 1 3 1 3 1 00 0 3 1 3 1 3 1 0 00 3 1 3 1 3 1 00001 P 2 10000 3 1 3 1 3 1 00 0 3 1 3 1 3 1 0 00 3 1 3 1 3 1 00001 10000 9 4 9 2 9 2 9 1 0 9 1 9 2 9 3 9 2 9 1 0 9 1 9 2 9 2 9 4 00001 8 4 2 独立地重复抛掷一枚硬币 每次抛掷出现正面的概率为p 对于2 n 令32 1 0或 n X 这些 值分别对应于第 n 1 次和第 n 次抛掷的结果为 正 正 正 反 反 正 反 反 求马尔可夫链 2 1 0 nX n 的一步和二步转移概率矩阵 解 对应状态为 正 正 0 1 正 反 2 反 正 3 反 反 pPp 00 正 正 正 正 qPp 01 正 正 正 反 0 20 正 正 反 正 Pp 不可能事件 0 30 正 正 反 反 Pp 不可能事件 同理可得下面概率 0 10 正 反 正 正 Pp 0 11 正 反 正 反 Pp pPp 12 正 反 反 正 qPp 13 正 反 反 反 pPp 20 反 正 正 正 qPp 21 反 正 正 反 0 22 反 正 反 正 Pp 0 23 反 正 反 反 Pp 0 30 反 反 正 正 Pp 0 31 反 反 正 反 Pp pPp 32 反 反 反 正 qPp 33 反 反 反 反 一步转移概率矩阵为 qp qp qp qp 00 00 00 00 P 二步转移概率矩阵为 qp qp qp qp 00 00 00 00 P 2 qp qp qp qp 00 00 00 00 22 22 22 22 qpqpqp qpqpqp qpqpqp qpqpqp 4 4 设 1 nX n 为有限齐次马尔可夫链 其初始分布和转移概率矩阵为 4 3 2 1 4 1 0 iiXPpi 9 4 1 4 1 4 1 4 1 8 3 4 1 8 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 P 试证 414 41 14 12102 XXPXXXP 解 根据条件概率的定义及马尔可夫链的有限维分布的结论定理 4 3 有 41 1 4 41 1 41 14 10 210 102 XXP XXXP XXXP 3 1 2 1 4 3 1 4 2 1 1010 210210 XXPXXP XXXPXXXP 16 5 4 1 4 1 4 1 4 1 8 3 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 131121 3413124121 pppp pppppp 同理有 414 12 XXP 41 4 41 1 21 XP XXP 3 2 4 3 4 2 11 2121 XpXP XXPXXp 434333232131424323222121 3443434333342323413124424243232422224121 pppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppp 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 8 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 8 3 4 1 4 1 8 3 4 1 4 1 8 3 4 1 4 1 8 3 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 8 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 60 19 15128 1932 32 8 32 7 128 12 128 7 所以 414 41 14 12102 XXPXXXP 4 5 设 TttX 为随机过程 且 2211nn tXXtXXtXX 10 为独立同分布随机变量序列 令 2 0 11110 nXcYYXtYYY nnn 试证 0 nYn是马尔可夫链 证明 只要证明 0 nYn满足无后效性 即 0 1111011nnnnnnnn iYiYPiYiYYiYP 即可 根据题意 1 nnn CYXY 由此知 n Y是 21n XXX 的函数 因为 21n XXX是 相互独立的随机变量 所以 对任意的 n 1 n X与 210n YYYY相互独立 从而 0 11011nnnn iYiYYiYP 0 11011nnnnnn iYiYYCiiCYYP 因 nn iY 0 11011nnnnn iYiYYCiiXP 11nnn CiiXP 因 1 n X与 210n YYYY独立 条件概率等于无条件概率 11nnnnn iYiCiXP 11nnnn iYiYP 4 6 已知随机游动的转移概率矩阵为 5 005 0 5 05 00 05 05 0 P 求三步转移概率矩阵 3 P及当初始分布为 1 3 0 2 1 000 XPXPXP 时 经三步转移后处于状态 3 的概率 解 5 005 0 5 05 00 05 05 0 P 2 5 005 0 5 05 00 05 05 0 25 025 05 0 5 025 025 0 25 05 025 0 25 025 05 0 5 025 025 0 25 05 025 0 P 3 5 005 0 5 05 00 05 05 0 25 0375 0375 0 375 025 0375 0 375 0375 025 0 11 25 0375 0375 0 25 0375 0375 0 375 025 0375 0 375 0375 025 0 100 3 PT 所以 25 0 3 3 p 4 7 已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下 1 6 02 02 0 2 07 01 0 1 01 08 0 P 4 0 2 0 4 0 0 PT 2 6 02 01 01 0 2 06 01 01 0 1 02 06 01 0 1 01 01 07 0 P 3 0 3 0 2 0 2 0 0 PT 求下一 二个月的销售状态 解 1 32 026 042 0 6 02 02 0 2 07 01 0 1 01 08 0 0 40 20 4P 0 P 1 P TT 6 02 02 0 2 07 01 0 1 01 08 0 P 2 6 02 02 0 2 07 01 0 1 01 08 0 0 420 280 3 0 270 540 19 0 160 170 67 286 0288 00 426 0 420 280 3 0 270 540 19 0 160 170 67 0 40 20 4P 0 P 2 P 2TT 2 6 02 01 01 0 2 06 01 01 0 1 02 06 01 0 1 01 01 07 0 3 03 02 02 0P 0 P 1 P TT 28 03 02 022 0 6 02 01 01 0 2 06 01 01 0 1 02 06 01 0 1 01 01 07 0 P 2 6 02 01 01 0 2 06 01 01 0 1 02 06 01 0 1 01 01 07 0 0 420 270 150 16 0 260 430 150 16 0 170 270 40 16 0 160 170 150 52 12 2TT P 0 P 2 P 0 420 270 150 16 0 260 430 150 16 0 170 270 40 16 0 160 170 150 52 3 0 3 0 2 0 2 0 0 270 2980 20 232 4 8 某商品六年共 24 个季度销售记录如下表 状态 1 畅销 状态 2 滞销 季节 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 销售状态 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 季节 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 销售状态 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 以频率估计概率 求 1 销售状态的初始分布 2 三步转移概率矩阵及三步转移后的销售状态的分布 解 状态 1 的个数为 15 个 状态 2 的个数为 9 个 1 所以 销售状态的初始分布为 24 9 24 15 0 PT 275 0625 0 2 求一步转移概率 状态11 共有 7 个 状态21 共有 7 个 状态12 共有 7 个 状态22 共有 2 个 所以 2 1 14 7 2 1 14 7 1211 pp 9 2 9 7 2221 pp 一步转移概率矩阵为 9 2 9 7 2 1 2 1 P 9 2 9 7 2 1 2 1 P 2 9 2 9 7 2 1 2 1 162 71 162 91 36 13 36 23 9 2 9 2 2 1 9 7 9 7 9 2 2 1 9 7 9 2 2 1 2 1 2 1 9 7 2 1 2 1 2 1 三步转移概率矩阵为 9 2 9 7 2 1 2 1 162 71 162 91 36 13 36 23 P 3 38 062 0 4 06 0 2916 1103 2916 1813 648 259 648 389 9162 271 324 91 9162 771 324 91 936 26 72 23 936 713 72 23 三步转移后的销售状态分布为 13 0 390 61 0 380 62 0 40 6 0 3750 625P 0 P 3 P 3TT 4 9 设老鼠在如图所示的迷宫中作随机游动 当它处在某个方格中有 k 条通道时 以概率 k 1 随机通过任一 通道 求老鼠作随机游动的状态空间 转移概率矩阵 解 状态空间为 9 3 2 1 I 转移概率矩阵为 01000 3 1 0 3 1 0 3 1 0 2 1 0 2 1 00 00100 01000 0100 2 1 0 2 1 0 00 2 1 0 2 1 0010 习题习题 6 6 1 设有随机过程 cos ttX 其中0 为常数 是在区间 2 0 上服从均匀分布的 随机变量 问 tX是否为平稳过程 解 cos tEtXE 0 2 1 cos 2 0 dt cos cos ttEtXtXEttRX 2 0 2 1 cos cos dtt 14 2 0 22cos cos 4 1 dt cos 2 1 与 t 无关 2 1 0 2 X RtXE 所以 tX是平稳过程 6 2 设有随机过程 cos tAtX 其中A是均值为零 方差为 2 的正态随机变量 求 1 4 1 1 XX和的概率密度 2 tX是否为平稳过程 解 1 因正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量 对任意 t tX服从正态分布 AXAX 2 2 4 1 1 2 1 0 1 DAADXDAEXE 22 1 2 2 4 1 0 2 2 4 1 2 DAADXDAEXE 所以 1 X的概率密度为 2 2 2 2 1 1 x exf x 4 1 X的概率密度为 2 2 1 4 1 x exf x 2 cos cos tAtAEttRX cos cos cos cos 22 ttAEtt 与 t 有关 所以 tX不是平稳过程 6 3 设有随机过程 cos tAtX 其中A是服从瑞利分布的随机变量 其概率密度为 15 0 0 0 2 exp 2 2 2 x x xx xf 是在 2 0 上服从均匀分布且与A相互独立的随机变量 为常数 问 tX是否为平稳过程 解 先求出瑞利分布A的数学期望和 2 A的数学期望 0 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 exp 2 exp x d x xdx xx xEA 0 2 2 2 exp x xd 0 2 2 0 2 2 2 exp 2 exp dx xx x dxedx x x 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 exp 2 1 22 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 22 2 2 exp 2 2 2 exp x d xx dx xx xEA 2 0 2 2 2 22 2 dyye x y y 令 cos cos tEEAtAEtXE 0 2 1 cos 2 2 0 dt cos cos tAtAEtXtXEttRX cos cos 2 tAtEEA 22cos cos 2 1 2 2 tE 2 0 2 2 1 22cos cos dt cos 2 与 t 无关 16 2 2 0 X RtXE 所以 tX是平稳过程 6 4 设有随机过程 tftX 其中 xf是周期为 T 的实值连续函数 是在 0 T 上服从 均匀分布的随机变量 证明 tX是平稳过程并求相关函数 X R 解 TTt t T dyyf T dyyf T ytd T tftXE 00 1 11 令 为常数 T X d T tftftXtXEttR 0 1 TTt t dyyfyf T dyyfyf T 0 1 1 与 t 无关 T X dyyf T RtXE 0 2 2 1 0 所以 tX是平稳过程 T X dyyfyf T R 0 1 6 5 设 tYtX和是平稳过程 且相互独立 求 tYtXtZ 的相关函数 tZ是否为平稳过程 解 因 tYtX和是平稳过程 它们的均值是常数 相关函数与 t 无关是 的函数 又相互独立 所以 YXm mtYEtXEtYtXEtZE 是常数 tYtXtYtXEttRZ tYtYtXtXE tYtYEtXtXE YX RR 与 t 无关 0 0 0 2 YXZ RRRtZE 所以 tZ是平稳过程 6 13 设正态随机过程具有均值为零 相关函数为 2 6 eRX 求给定 t 时的随机变量 3 2 1 tXtXtXtX的协方差矩阵 解 因 tX是正态过程 且均值为零 相关函数 2 6 eRX与 t 无关 所以 tX是平稳过程 则 17 对任意给定的 t 3 2 1 tXtXtXtX服从正态分布 ttCtXtXCov X 2 2 6 eRmttR XXX 3 2 1 0 所以 6 0 XX RttC 2 1 6 1 1 eRttC XX 1 6 2 2 eRttC XX 2 3 6 3 3 eRttC XX 同理 1 1 ttCtXtXCov X 2 1 2 6 1 1 eRmttR XXX 3 2 1 0 所以 2 1 6 1 ettCX 6 1 1 ttCX 2 1 6 2 1 ettCX 1 6 3 1 ettCX 2 2 6 2 2 ettCtXtXCov X 3 2 1 0 1 6 2 ettCX 2 1 6 1 2 ettCX 6 2 2 ttCX 2 1 6 3 2 ettCX 2 3 6 3 3 ettCtXtXCov X 3 2 1 0 2 3 6 3 ettCX 1 6 1 3 ettCX 2 1 6 2 3 ettCX 6 3 3 ttCX 所以协方差矩阵为 3 3 2 3 1 3 3 3 2 2 2 1 2 2 3 1 2 1 1 1 1 3 2 1 ttCttCttCttC ttCttCttCttC ttCttCttCttC ttCttCttCttC XXXX XXXX XXXX XXXX 6666 6666 6666 6666 2 1 1 2 3 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 eee eee eee eee 6 15 设随机过程 cos tatX 和 sin tbtY 是单独且联合平稳随机过程 其中 ba为常数 是在 0 上服从均匀分布的随机变量 求 XY R和 YX R 解 sin cos tbtaEtYtXERXY 18 22sin sin 2 tE ab 0 1 22sin sin 2 dt ab sin 2 ab 因 YXXY RR 所以 sin 2 sin 2 abab RR XYYX 习题习题 7 7 2 设平稳过程 tX的相关函数 a X eR 求 tX的谱密度 解 deedeRS j a j XX 0 0 dede jaja 0 0 11 jaja e ja e ja 22 211 a a jaja 7 3 设有平稳过程 cos 0 tatX 其中 0 a为常数 是在 上服从均匀分布的随 机变量 求 tX的谱密度 解 的概率密度为 其它 0 2 1 f cos cos 000 tataEtXtXERX dtta 2 1 cos cos 000 2 dt a 22cos cos 4 000 2 0 2 cos 2 a de a deRS jj XX0 2 cos 2 19 deee a jjj 4 00 2 dee a jj 4 2 00 2 2 4 00 2 a 7 4 已知平稳过程的相关函数 3cos cos 4 eRX 求谱密度 X S 解 deedeRS jj XX 3cos cos 4 dedeeeedeeee jjjjjjj 3cos 2 2 0 0 0 1 1 0 1 1 2 2 deedee jjjj d e j 3cos 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 jjjj 3 3 1 1 1 1 4 22 3 3 7 6 当平稳过程通过如图所示的系统时 证明输出 tY的谱密度为 cos 1 2 TSS XY 证明 TtXtXTtXtXEtYtYERY tXTtXTtXtXTtXTtXtXtXE 2TRTRR XXX deTRTRRdeRS j XXX j YY 2 deTRdeTRS j X j XX 2 20 Tj X Tj XX eSeSS 2 cos1 2TSX 7 7 已知平稳过程 tX的谱密度为 其它 0 2 00 2 c SX 求相关函数 X R 解 0 0 2 2 cos 1 2 1 dcdeSR j XX sin2 sinsin 00 2 2 2 0 0 cc 7 8 设有平稳过程 cos tatX 其中a为常数 是在 2 0 上服从均匀分布的随机变 量 是分布密度满足 ff的随机变量 且 与相互独立 求证 tX的谱密度为 2 faSX 证明 设 f是 和 的联合分布密度 因 和 相互独立 所以 2 1 ff 20 cos cos tataEtXtXERX ddftta cos cos 2 dttdf a cos cos 2 2 0 2 dtdf a 22cos cos 2 1 2 2 0 2 df a cos 2 2 dfjdf a sin cos 2 2 def a j 2 2 因 f为偶函数 df sin 0 又 deSR j XX 2 1 21 比较上面两式 2 1 2 2 X Sf a 所以 2 faSX 7 9 设 tYtX和是 单 独 且 联 合 平 稳 的 随 机 过 程 试 证 Re Re YXXY SS Im Im YXXY SS 证明 只要证明 YXXY SS 即可 由互相关函数的性质 YXXY RR deRdeRS j YX j XYXY YX sj YX j YX SdsesRdeR 7 10 设 tX为平稳过程 令 atXatXtY a为常数 试证 sin 4 2 aSS XY 2 2 2 aRaRRR XXXY 证明 atXatXatXatXEtY