大学物理力学4.pdf

1 复习上一次课的内容 2 动量定理及守恒定律 动量定理及守恒定律 3 质心运动定理 质心运动定理 c FMa r r m rm r ii c r r 质心质心 if t t PPdtF f i rrr 0 F r 常矢量 常矢量 P r 1 力的冲量 力的冲量 f i t t dttFI rr 冲量是力的时间积累量冲量是力的时间积累量 F dt pd r r Fr dt pd r r r r r 由于由于 dt prd rr 用位置矢量叉乘两边用位置矢量叉乘两边 dt pd r r r 于是于是 Fr dt prd r r rr prL rr r 为为角动量角动量 FrM r r r 为为力矩力矩 M dt Ld r r 则则 称为称为角动量定理角动量定理 令令 dt pd rp dt rd r rr r L单位 单位 kg m2 s 或或 J s r p L 一 角动量一 角动量 3 6 3 6 3 6 3 6 质点的角动量和角动量定理质点的角动量和角动量定理质点的角动量和角动量定理质点的角动量和角动量定理 FrM r r r 1 力矩力矩 力矩的方向 力矩的方向 r r F r o N M r 用用右手螺旋法则右手螺旋法则确定 即 右手四指从 确定 即 右手四指从r r 方向绕向方向绕向F r 则拇指指的就是则拇指指的就是M r 的方向的方向 力矩的大小力矩的大小 FrM r r r sinFr r r FON 力臂乘以力力臂乘以力 r M r r r F o N 2 角动量角动量 prL rr r r r p r o A B L r 方向用方向用右手螺旋法则右手螺旋法则确定 角动量的大小 确定 角动量的大小 prL rr r sinpr rr pOA 动量臂乘以动量动量臂乘以动量 v r m L 3 质点作匀速率圆周运动时 质点 对圆心的角动 量的大小 方向均不 变 3 质点作匀速率圆周运动时 质点 对圆心的角动 量的大小 方向均不 变L L m mvrvr 2 同一质点相对于2 同一质点相对于不同的点不同的点 角动量可以不同 在说明质点的角动量时 必须指明是对哪个点而言的 角动量可以不同 在说明质点的角动量时 必须指明是对哪个点而言的 说明说明 1 力矩和角动量都是对于1 力矩和角动量都是对于惯性系中同一固定点惯性系中同一固定点 而言的而言的 O r rv r FrM r r r prL rr r 4 4 rrrr r rmmrLrm rr 角动量的几何含义 角动量的几何含义 sinmvrL sinlim 0 r t r m t r tr r ttr r r r M N O dt dS t S t 0 lim 称为称为面积速度面积速度 角动量的大小与面积速度成正比角动量的大小与面积速度成正比 t S m t rr m tt 00 lim2 sin 2 1 lim2 r prL rr r P 2 例例6 长为 的轻杆 其两端分别固定有质量为 长为 的轻杆 其两端分别固定有质量为m和和3m的物 体 取与杆垂直的固定轴 的物 体 取与杆垂直的固定轴 重物重物m与过与过O点轴的距离为 绕轴转动的线速度为 求它们对 点轴的距离为 绕轴转动的线速度为 求它们对O点的总角动量 点的总角动量 l 4 3 v O l 4 3 m 3m 解 两球的角速度相等解 两球的角速度相等 4 3 44 l vll v 故故3m质点线速度为 质点线速度为 3 v 总角动量为 总角动量为 vm l mv l L 3 44 3 3 3 44 3v m l mv l lmv 方向 沿转轴方向向上方向 沿转轴方向向上 4 3l v v l 0 M r 常矢量常矢量 L r L 开普勒第二定律 开普勒第二定律 行星对恒星的径矢的掠面速度不变行星对恒星的径矢的掠面速度不变 例 行星受力方向与矢径在一 条直线 中心力 故角动量 守恒 例 行星受力方向与矢径在一 条直线 中心力 故角动量 守恒 dt Ld M r r vmr vv sinmvr sinr t r m r t rr m sin 2 1 2 r t S m 2 常数常数 0 FrOF F r r r r 点过点过 FrM r r r m r L r v r r r r 3 7 3 7 3 7 3 7 角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律 1 对固定点对固定点O 质点 质点m所受合外力矩所受合外力矩 cosTRmgR o M sinTRmgR 则对则对O 点角动量守恒点角动量守恒 大小 方向均不变大小 方向均不变 o L r vmR r r RmvLo mg T o O m l R L L 2 对固定点对固定点O 质点质点m 所受合外力矩所受合外力矩 o M sinmgl 对对O 点角动量 点角动量 L L 方向随时间变化方向随时间变化 合外力矩 角动量均对同一点而言合外力矩 角动量均对同一点而言 TgmRM r r vr 大小大小 Lo mvl vmlLo r rr 0 sinmvl 0 例例7 摆球对 摆球对O和和O 点 的角动量是否守恒 不守恒 点 的角动量是否守恒 不守恒 以逆时针为正以逆时针为正 i iiiij j i dL MrFf dt r rrr r i j 相互作用的力矩之和为相互作用的力矩之和为 0 iij ij i rf r r jijiji frfr r r r r i ii i i L dt d FrM rr r r 质点系所受的质点系所受的合外力矩合外力矩 等于该质点系的角动量 对时间的变化率 等于该质点系的角动量 对时间的变化率 i j Fi Pi fi j fj i o rj ri ijji frr r rr 0 无外力矩 质点系总角动量守恒无外力矩 质点系总角动量守恒 ji rr rr 3 8 3 8 3 8 3 8 质点系的角动量定理质点系的角动量定理质点系的角动量定理质点系的角动量定理 例例8 如图所示 两个同样重的小孩 如图所示 两个同样重的小孩 各抓着跨过滑轮绳子的两端 一个孩子用力往上爬 另一个则抓住绳子不动 若滑轮的质量和轴 上的摩擦都可忽略 哪一个小孩先到达滑轮 又 两个小孩重量不 等时情况如何 各抓着跨过滑轮绳子的两端 一个孩子用力往上爬 另一个则抓住绳子不动 若滑轮的质量和轴 上的摩擦都可忽略 哪一个小孩先到达滑轮 又 两个小孩重量不 等时情况如何 解 以滑轮轴为参考点 把小孩解 以滑轮轴为参考点 把小孩 滑轮和绳看作一系统滑轮和绳看作一系统 1 r 2 r rmg rr R A B MA MB 系统角动量守恒 合外力矩为零 系统角动量守恒 合外力矩为零 常量 21 mRL LA LB 以 为正以 为正 设两小孩起初都不动 设两小孩起初都不动 21 同时到达同时到达 若若m1与与m2不等不等 0 12 gRmmM外 dt dL gRmmM 12外 21 mm 0 dt dL 21 m2先到达先到达 21 mm dt dL 21 m1先到达先到达 体轻的小 孩上升快 体轻的小 孩上升快 2211 mmRL 例例9 教科书 教科书 P108 3 23 解 小物块相对圆心所受力矩 零 小物块相对圆心角动量守恒 解 小物块相对圆心所受力矩 零 小物块相对圆心角动量守恒 rmvmvr 00 0 0 v r r v L v Cvmr v vv 3 复习上一次课的内容 1 质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点的角动量定理和角动量守恒定律 dL MrF dt r rr r 0 ML rr 恒矢量 prL rr r r p L i ii i i L dt d FrM rr r r 质点系所受的质点系所受的合外力矩合外力矩 等于该质点系的角动量 对时间的变化率 等于该质点系的角动量 对时间的变化率 2 质点系的角动量定理 质点系的角动量定理 4 2 动能定理动能定理 4 3 势能势能 4 4 引力势能引力势能 4 5 由势能求保守力由势能求保守力 4 6 机械能守恒定律机械能守恒定律 4 7 守恒定律的意义守恒定律的意义 4 9 两体问题两体问题 4 1 功功 4 8 碰撞碰撞 4 10 流体的稳定流动流体的稳定流动 4 11 伯努利方程伯努利方程 第第第第4 4章章章章 功和能功和能功和能功和能 1 恒力直线运动的功恒力直线运动的功 F r F 4 1 4 1 4 1 4 1 功功功功 cosrFA rF r r 元位移 元功 元位移 元功 F 2 变力曲线运动的功变力曲线运动的功 A B o rdr tr v dttr v cosFdrdA sdFrdF r r r r rdsd rr i iAB AA A到到B做功做功 i ii rF r r B A ii rdF r r 3 功在直角系下的表达式功在直角系下的表达式 kFjFiFF zyx rrrr dzFdyFdxFdA zyx kdzjdyidxrd rrr r 合力的功等于各 分力沿同一路径 做功之代数和 合力的功等于各 分力沿同一路径 做功之代数和 rdFA B A AB r r rdFrdFrdF B A N B A B A r r r r r r 21 NABABAB AAA 21 4 说明 说明 1 功是标量 符合代数运算规则功是标量 符合代数运算规则 rdFFF B A N r rrr 21 dAF dr r r 2 功是功是过程量过程量 是力的空间积累 3 功的几何意义 是力的空间积累 3 功的几何意义 dAF x dx 2 1 x x dxxFA 功在数值上等于示功图曲线下的面积功在数值上等于示功图曲线下的面积 F x x dx 0 示功图示功图 F 12 xx 4 因位移是相对量 功的数值与参照系的选择相关4 因位移是相对量 功的数值与参照系的选择相关 5 功率 功率 平均功率平均功率 瞬时功率瞬时功率 力在单位时间内所做功力在单位时间内所做功 t A N dt dA t A N t lim 0 dt rdF r r r r F 例例1 光滑的水平桌面上有一环带 环带与小物体的摩擦 系数 光滑的水平桌面上有一环带 环带与小物体的摩擦 系数 在外力作用下小物体 质量 在外力作用下小物体 质量 m 以速率以速率v做匀速圆 周运动 求转一周摩擦力做的功 做匀速圆 周运动 求转一周摩擦力做的功 r 解 小物体对环带压力解 小物体对环带压力 rmvN 2 走一段小位移走一段小位移 ds 所做的功 所做的功 2 v dAmds r 转一周作功转一周作功 2 2 2 v AdAmdsmv r 摩擦力 摩擦力 r v mNf 2 F dt Pd r r rdFrd dt Pdr r r r 注意到 注意到 dP dr drdPdP v dtdt r r rr rr m P Pd r r m P d 2 2 于是 于是 rdF m P d r r 2 2 rdFdA r r 为为元功元功 为为动能动能 dAdEk 2 2 1 22 k P Emv m 对于有限的过程 对于有限的过程 22 11 22 ABkBkABA AEEmvmv 力的空间积累其效果为动能增量 动能增量 是状态量 与过程无关 力的空间积累其效果为动能增量 动能增量 是状态量 与过程无关 动能定理动能定理 合 外力对质点所 做的功等于质 点动能的增量 合 外力对质点所 做的功等于质 点动能的增量 4 2 4 2 4 2 4 2 动能定理动能定理动能定理动能定理 4 力的空间累积效应 力的时间累积效应 力的空间累积效应 力的时间累积效应 22 2 1 2 1 AB B A mvmvrdF r r AB B A vmvmdtF rr r 1122 Afrfr rr rr 一对力所做的功 等于其中 一个质点所受的力沿该质点相 对于另一质点所移动的路径所 做的功 一对力所做的功 等于其中 一个质点所受的力沿该质点相 对于另一质点所移动的路径所 做的功 221 AdAfdr r r 相对位移相对位移 A1 A2 B1 B2 O r r 1 r r2 r r21 1 f r 2 f r rr 1 rr2 122 rrf rr r 212 rf r r 一 一对力的功一 一对力的功 1 一对内力作功之和 一对内力作功之和与参照系选择无关 与参照系选择无关 只 决定于两质点的 只 决定于两质点的相对路径相对路径 结论结论 2 一对力的功的计算 视一质点静止 取其为坐标原 点 计算另一质点在此坐标系运动过程中受力做功 一对力的功的计算 视一质点静止 取其为坐标原 点 计算另一质点在此坐标系运动过程中受力做功 4 34 3 4 5 4 5 势能势能势能势能引力势能引力势能引力势能引力势能由势能求保守力由势能求保守力由势能求保守力由势能求保守力 例例2 摩擦力做功 摩擦力做功 地面看摩擦力对物体作功地面看摩擦力对物体作功 sfW 在物体参考系在物体参考系 也是惯性系也是惯性系 物体 没有移动 物体 没有移动 摩擦力对物体作功摩擦力对物体作功 W 摩擦力是一对力 成对摩擦力作的功 摩擦力对地面 摩擦力是一对力 成对摩擦力作的功 摩擦力对地面 v f 0 W WfS 一对摩擦力所做的功与参考系的选择无关一对摩擦力所做的功与参考系的选择无关 运动中放出热能运动中放出热能 212121 rdfrdfW r r r r 二 保守力势能二 保守力势能 1 重力作功 重力势能 重力作功 重力势能 kmgF r b a rdFA r v z a b x y 2 z 1 z k r rdr b a rdkmg r b a rdmg cos r 2 1 z z mgdz 12 zzmg 引入函数 引入函数 mgzEp 称为称为重力势能重力势能 作功与路径无关作功与路径无关 于是重力作功可写为 于是重力作功可写为 12 zEzEA pp 即重力势能增量的负値即重力势能增量的负値 M 2 万有引力作功万有引力势能 万有引力作功万有引力势能 ttr r tr r b b r a a r rdr 0 2 r r Mm GF r r 0 r r 沿位置矢量 的单位矢量 沿位置矢量 的单位矢量 b a rdr r GMm rr0 2 1 m b a rdFA r v b a r rdr GMm 2 0 cos rr b a r r r dr GMm 2 ab r GMm r GMm 引入函数 引入函数 称为称为万有 引力势能 万有 引力势能 于是有 于是有 即万有引力势能增量的负値即万有引力势能增量的负値 r GMm Ep apbp rErEA 3 弹性力做功 弹性势能 弹性力做功 弹性势能 2 1 22 ab x x xxkxdxkA b a x 自然长度 弹簧 自然长度 弹簧 X F 0 弹性力弹性力kxF FdxdA kxdx 引入函数引入函数 2 2 1 kxEp 称为称为弹性势能弹性势能 于是有 于是有 apbp xExEA 即弹性势能增量的负値即弹性势能增量的负値 以上几种力作功的共同特点是 以上几种力作功的共同特点是 作功与路径无关作功与路径无关 如果有一力如果有一力F 它对物体所作的功决定于作功的起点和 终点而与作功的路径无关 称此力为 它对物体所作的功决定于作功的起点和 终点而与作功的路径无关 称此力为保守力保守力或或有势力有势力 结论 结论 保守力做功等于势能增量的负值保守力做功等于势能增量的负值 5 在在保守力场保守力场中引入一个只与位置有 关的函数 中引入一个只与位置有 关的函数 A点的函