课标人教A版理科数学11版例题详解全品高考复习方案.pdf

例题详解 例题详解 第一单元 集合与常用逻辑用语 第 讲 集合及其运算 例 解答 若 则 n 是素数或是方程 CCC CCCo的根e真命题e 9 n 不是素数e真命题e D Cw n 平行四边形的对角线相等且互相垂直e假命题e n 平行四边形的对角线相等或互相垂直e假命题e 9 n 有些平行四边形的对角线不相等e真命题e D Cw n 方程 CC C Co的两实根符号相同且绝对值相 等e假命题e n 方程 CC C Co的两实根符号相同或绝对值相等e 假命题e 9 n 方程 CC C Co的两实根符号不相同e 真命题e 例 解答 真n Ce CCo oo od Ce0Co或e o e 真nCe o0C dCe C C e 由n 或 n 是真命题d n 且 n 是假命题得 n 两命题一真 一假e 当 真 假时d e C Cw 当 假 真时dCo e o e 综上d e的取值范围为DCodC Cw DCodowe 例 变式题 解答 n o e e 函数 C o oD e CC C ew 的定义域为 为真命题d 为假命题d 则 真 假或 假 真d C o e d e0 C 或 e0o或e d e C d 解得o e0 C或e e 例 解答 D w9 n 存在一个末位数字是o的整数不能 被o整除d 假命题e D Cw9 n o od C o0od 真命题e D Cw9 n 任意一个三角形的内角和不大于 o o od 真命题e D ow9 n 每一个梯形的对角线都不互相平分d 真命题 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5e 例题详解 例 变式题 解答 由题意得 0 中有一部分的元素的象不属于集合 因此 它不表示 到 的函数关系 B B 时 曲面部分的高度 为 此时高脚杯的高度为 所以高脚杯的高度不应小于 例 解答 7 B 8 B B B B B B B 3 槡 例 变式题 D 解析 由已知 A A A A 知 为6 3的重心 根据向 量的加法 A A A A 3 A A 则 A A A A A A 3 A A A A A A A A B 3 1 1 1 5 0 所以 槡 2 选 例 4 解析 因为由条件得 所以 设 夹角为 则 B 1 1 B 所以 B 又 B B 0 又 B 73 3 3槡 即3 的最小值为 槡 例 变式题 解答 如图 9 所示 将正方体六个面展开 从图中 到 两点之间线段最短 而且依次经过棱 3 3 I I I I 上的中点 所求的最小值为槡 例 解答 如图 9 所示 取等边三角形三边的中点 3 连接 3 3 原三角形三条中位线 得6 3 以 中位线为折线折起三角形 使三角形三顶点重合 则得侧棱 长与底面边长都等于 的三棱锥0 3 如图 所示 作0 GC平面 3 则易证点G是6 3的重心 连接3 G 并延长交 于P 则P是 的中点 连接0 P 9 B 7 P 槡 例 变式题 解析 连接 I 因为 为棱 与 I的中点 所以 K I 所以7I I 为所求的角 设正 方 体 的 棱 长 为 在 直 角 三 角 形I I 中 易 得 B 7I I 槡 例 变式题 解答 假设 P与 共 面 则 平 面 P 交平面I 3 P 于P 由已知 I 3K 所以I 3 K平面 P 所以I 3KP 这与 为I 中点矛盾 所 以假设不成立 所以 P与 是异面直线 第 讲 空间中的平行关系 例 解答 证法一 在直四棱柱 3 I 3 I 中 取 的中点 连接 I 3 3 因为 3 I 且 K3 I 所以3 IL 3 I为平行四边形 所以3 K I 又因为P P 分别是棱 I 的中点 所以P P K I 所以3 KP P 又因为 3 平面 3 3 所以直线P P K平面 3 3 证法二 由已知 II K3 3 所以II K平面 3 3 又 K3 I 3 I 所以I 3L 所以四边形 3 I是平行四边形 所以 IK 3 所以 IK平面 3 3 又 I 如图所示 在长方体 3 I 3 I 中 连接 I 则 I K 3 因为P Q分别为 I 的中点 所以 I KP Q 从而P QK 3 又P Q 平面P Q 3 M平面P Q 所以 3 K平面P Q 例 解答 B 7 G 3 A A G A A G A A G A A G B 7 G 且 A A G 3 A A G A A G 7 G 7 G 3 所以 A A G Q A A 3 即G QC 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 全品高考复习方案新课标 数学o 理科o 全品高考网 www canpoint c n D 第o w讲 空间角与距离的求法 例n L 解答o作a eCo d于点e 如图所示 分别以a e a e a o所在直线为a e e轴建立坐标系 则有a e e 槡 d 槡 槡 o a a 槡 槡 aa 槡 槡 o e 槡 o d 槡 槡 设平面o o d的法向量为 a e e 则 o e o d 即 槡 e e 槡 a 槡 e e 取e 槡 解得 槡 B a e ad a e ad B 3 2 故o d 槡 2 由 B a e o d a e o d a e o d a e o a a e e d a e o d a e a e o d a e o d 槡 2 2 a e与o d所成角的余弦值为 槡 2 2 例w L 解答o 由正三棱柱a e o a e o 的性质知a a C平面a e o 又d d 平面a e o 所以d dCa a 而d dCa d a a a d a 所以d dC平面a o o a 又d d 平面a d d 故平面a d dC平面a o o a 如图所示 设o是a o的中点 以o为原点建立空间直 角坐标系 则相关各点的坐标分别是a a 槡2 d 槡 d 易知a d 槡 槡 2 d d 槡 a d 槡 设 a e e 是平面a d d的一个法向量 则 d d槡 e a d a槡 e槡 2e 解得a 槡 2 e e 故可取 槡2 于是 B a d ad a d 槡 2 槡 1 槡 0 由此即知 直线a d和平面a d d所成角的正弦值为 槡 0 例w变式题 L 解答o设正方体棱长为 以 da d o dd 为单位正交基底 建立如图所示坐标系d a e e 则各点的 坐 标 分 别 为d e d o 所以d e d o 因为d e 为平面d a o的法向量 B d e d o d e d o d e d o 1 1 1 槡 1 5 槡 槡0 2 0 2 例题详解 所以直线P 与平面I 3所成角的正弦值为 槡0 2 0 2 例 解答 证明 如图所示 可得 3 3槡 从 而 3 3 故 3C 3 取 3中点G 连结I G 则I GC 3 又面 I 3C面 3 面 I 3 B 2 3 槡 槡 二面角 3 I 的余弦值为槡 例 解答 如图所示 过I作I PC 3 垂足为P 过 作 C 3 垂足为 B 3 2 A A I 槡 2 例 解答 依题设知 3是所作球面的直径 则 C 3 又因为 C平面 3 I 则 C3 I 又3 IC I 所以3 IC平面 I 则3 IC 又3 1 1 0 1 1 1 0 1 2 所以有5 5 F的把握认为 两个分厂生产的零件的质量有差 异 例 变式题 解答 通过计算 的观测值知 M 9 9 M 9 M 1 0 12 10 01 0 12 0 0 0 0 0 所以我们有5 5 5 F的把握认为穿新防护服比旧防护服对预 防这种皮炎有效果 第十单元 计数原理 第 讲 基本计数原理 例 解析 可以分四类选派方案 即从甲 乙 丙 丁 四个部门进行选派 从甲部门选派有0种不同的选派方法 从乙部门选派有 种不同的选派方法 从丙部门选派有 种不同的选派方法 从丁部门选派有 种不同的选派方 法 根据分类加法计数原理 共有不同的选派方法0 种 例 变式题 0 解析 要完成 取一本书 这件事 有三 类不同取法 第一类 从上层 本不同的数学书中取一本 有 种不同的 取法 B H H H H H H H H A 即P H槡 类似的性质为 若 是双曲线 上关于原 点对称的两个点 点 是双曲线上任意一点 当直线 的斜率都存在 并记为7 7 时 那么7 与7 之积 是与点 位置无关的定值 证明 设点 的坐标为 则点 的坐标为 其中 又设点 的坐标为 由7 7 得7 7 将 代入得7 7 第 讲 直接证明与间接证明 例 解答 证明 1为正实数 槡 1 1 1 槡 1 1 1 槡 1 又 1不全相等 以上三式等号不能同时成立 以上三式左 右两边分别相加得 1 1 1 1 即 1 1 1 例 变式题 解答 证明 9 9 9 9 由 9为互不相等的非负实数知 以上三式等号不能 成立 三式两边分别相加得 9 9 9 又 9 槡9 9 9 9槡 9 槡 9 且由 9为互不相等的非负实数知以上三式等号不能 成立 三个不等式两边分别相加得 9 9 槡 9 槡 槡 槡9 9 槡 9 槡 槡 槡9 例 解答 令 得 030 3 下面给出证明 证明 先证明 0 因为 要证 0 只需证 0 即 这显然成立 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 全品高考复习方案新课标 数学 理科 全品高考网 www canpoint c n D o d LCL C LdCo d de 再证 LdCL C d LC d d 只需证d d LC LdC LdC d LdC d LC 即d C o dL C d 这显然成立e o LdCL C d LC d de 综上所述 存在常数C d d 使对任意正数 C都有 d LC L C LdCo d do LdCL C d LC成立e 例 变式题 解答 证明 法一 要证 o o Le d L o o eLC d L o o CL d o o L o oeL o oC成立 即证 o o Le d eL C d CL d o o e C 成立 只需证 L e d eL C d CL d e C成立 d Le d 槡 e o eLC d 槡e C o CL d 槡C o o Le d eLC d CL d e C o成立 o e 又d e C是不全相等的正数 o o 式等号不成立 o原不等式成立e 法二 d e C L o Le d 槡 e o eLC d 槡e C o CL d 槡C o e 又d e C是不全相等的正数 o Le d eLC d CL d e C o o o Le d eLC d CL d o o e C e 即 o o Le d L o o eLC d L o o CL d o o L o oeL o oCe 例 解答 证明 方法一 任取 d d Lo 不妨设 d 则 dd o dd 且 o o dd dd d o e 又d L o dL o o ddd dL d dd L ddd L d dd dL L dL d dd L dL o 于是 d d dd L ddd dL d dd L o 故函数 在 d Lo 上为增函数e 方法二 L dd L 求导数得 C o o L d L d d o当 d 时 o o o d L d o C o在 d Lo 上恒成立 则 在 d Lo 上为增函数e d 方法一 设存在 o o o d 满足 o o 则 o d odd oL 且o o oo d odd oL 即 d o d 与假设 o o矛盾 故方程 o没有负根e 方法二 设存在 o o o d 满足 o o 若d o o 则 odd oL dd o o o d 与 o o矛盾e 若 o d 则 odd oL o o o o 与 o o矛盾 故方程 o没有负根e 例 解答 证明 d LeLC d d od LdeLdC o 又d dC de od o de o o o e o e又dC dd dde 由d dC de od dd dde dee d o odd e dd oe d d o C d o LdeLC dCe 当C o时 d o o o C o且 d d o o函数 在区间 o 内至少有一个零点e 当Coo时 d o o d d o且 d dC o o函数 在区间 d 内至少有一个零点e 综合 得 在 o d 内至少有一个零点e d d d d是函数 的两个零点 则 d是方 程 dL e LC o的两根 o L d de d C dd dd e o d d L d ddo 槡 d de d do dd dd e 槡 e Ld d 槡 Lde ddd e dd o 槡o do d d 槡o o o e 第 讲 数学归纳法 例 解答 d dd d d o dLdo L d dddd d oddLd od L o dddd d oddLd od L L dd d d o dLdo L o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o e 例题详解 将以上各式左右分别相加 得 1 1 所以得 即 证明 时 左边 右边 1 1 等式成立 假设 7 7 7 B 时 等式成立 即 7 7 7 7 则当 7 时 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 2 7 7 7 7 7 7 7 7 时 等式成立 由 知 结论对 B恒成立 例 解答 证明 当 时 0 5 能 被 整除 命题成立 假设 7 7 7 B 时命题成立 7 7 0 7 5能被 整除 则由于 7 7 0 7 5 51 7 0 7 2 51 7 510 7 515 5 107 5 15 07 2 5 7 0 7 5 7 即 7 5 7 7 根据归纳假设 7 能被 整除 7 时 7 也能被 整除 即 7 时命题 也成立 根据 可知 对任意的 B命题都成立 例 解答 当 时 左 边 右 边 不等式成立 假设 7 7 B 7 时 不等式成立 即 7 7 7 B 7 7 7 7 7 7 即 7 7 7 7 当 7 时 7 7 0 7 7 7 7 7 7 0 7 7 7 7 7 7 即当 7 时 不等式也成立 综合 知 对于 B 不等式 总成立 例 变式题 解答 已知 是奇数 假设 7 是奇数 其中 为正整数 则由递推关系得 7 7 是奇数 根据数学归纳法 对任何 B 都是奇数 方法一 要使 对一切 B都成立 则 或 下面用数学归纳法探究 的取值范围 当 时 由 B 得 解得 或 另一方面 若 7 则 7 若 7 则 7 根据数学归纳法 8 B 8 B 综上所 述 对 一 切 B都 有 的 充 要 条 件 是 或 方法二 由 得 于是 或 因为 所以所有的 均大于 因此 与 同号 根据数学归纳法 B 与 同号 因此 对一切 B都有 的充要条件是 或 例 解答 由 得 解得 又 所以 故经过点 的直线D的方程为 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 全品高考复习方案新课标 数学 理科 全品高考网 www canpoint c n D 猜想点列o nL oa d 在直线C上o 下面用数学归纳法证明d e当 时 点o nC已证