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第第 8 模块模块 第第 4 节节 知能演练 一 选择题 1 把直线 y 3 3 x 绕原点逆时针转动 使它与圆 x2 y2 2 3x 2y 3 0 相切 则直线转动的最小正角是 A 3 B 2 C 2 3 D 5 6 解析 由题意 设切线为 y kx 1 3k 1 k2 1 k 0 或 k 3 k 3时转 动最小 最小正角为2 3 6 2 选 B 答案 B 2 若直线将圆 x2 y2 2x 4y 0 平分 但不经过第四象限 则直线 l 的斜率的取值范 围是 A 0 2 B 0 1 C 0 1 2 D 1 2 1 解析 圆的方程可化为 x 1 2 y 2 2 5 圆过坐标原点 直线 l 将圆平分 也就是 直线 l 过圆心 1 2 当直线过圆心与 x 轴平行时 或者直线同时过圆心与原点时都不经过第 四象限 并且当直线 l 在这两条直线之间时也不经过第四象限 当直线过圆心与 x 轴平行时 k 0 当直线同时过圆心与原点时 k 2 所以当 k 0 2 时 满足题意 故选 A 答案 A 3 以抛物线 y2 20 x 的焦点为圆心 且与双曲线x 2 16 y2 9 1 的两条渐近线都相切的圆的 方程是 A x2 y2 10 x 9 0 B x2 y2 10 x 16 0 C x2 y2 20 x 64 0 D x2 y2 20 x 36 0 解析 由双曲线方程可得 双曲线的渐近线方程为x 2 16 y2 9 0 即 3x 4y 0 抛物线 y 2 20 x 的焦点为 5 0 由点到直线的距离公式得圆的半径 r 3 故圆的方程为 x 5 2 y2 9 即 x2 y2 10 x 16 0 选 B 答案 B 4 定义一个对应法则 f P m n P m n m 0 n 0 现有点 A 1 3 与 B 3 1 点 M 是线段 A B 上一动点 按定义的对应法则 f M M 当点 M 在线段 A B 上 从点 A 开始运动到点 B 结束时 点 M 的对应点 M 所经过的路线长度为 A 4 B 3 C 2 D 2 3 解析 由题意知线段 A B 所在直线的方程为 x y 4 设 M x y 则 M x2 y2 从而有 x2 y2 4 易知 A 1 3 A 1 3 B 3 1 B 3 1 不难得出 AOx 3 BOx 6 则 AOB 6 点 M 的对应点 M 所经过的路线长度为 2 6 3 选 B 答案 B 二 填空题 5 已知圆 C x2 y2 1 直线 l 过点 P 1 2 1 2 且与圆 C 交于 A B 两点 若 AB 3 则直线 l 的方程为 解析 当直线 l 垂直于 x 轴时 直线 l 的方程为 x 1 2 直线 l 与圆 C 的两个交点坐标 为 1 2 3 2 和 1 2 3 2 AB 3 满足题意 若直线 l 不垂直于 x 轴 设直线 l 的方程为 y 1 2 k x 1 2 即 kx y 1 2k 1 2 0 设圆心到此直线的距离为 d 则 3 2 1 d2 得 d 1 2 1 2 1 2 k 2 k2 1 则 k 0 故所求 直线方程为 y 1 2 综上所述 所求直线方程为 y 1 2或 x 1 2 答案 y 1 2或 x 1 2 6 设 O 为坐标原点 曲线 x2 y2 2x 6y 1 0 上有两点 P Q 关于直线 nx my 4 0 对称 m 0 n 0 则 mn 的最大值等于 解析 曲线方程为 x 1 2 y 3 2 9 表示圆心为 1 3 半径为 3 的圆 点 P Q 在圆上且关于直线 nx my 4 0 对称 圆心 1 3 在直线上 代入得 n 3m 4 又 m 0 n 0 则 n 3m 4 2 3mn 0 mn 4 3 当且仅当 n 3m 2 时取等号 答案 4 3 三 解答题 7 设圆上的点 A 2 3 关于直线 x 2y 0 的对称点仍在圆上 且与直线 x y 1 0 相交 的弦长为 2 2 求圆的方程 解 用待定系数法求圆的方程 设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 设所求圆的圆心为 a b 半径为 r 点 A 2 3 关于直线 x 2y 0 的对称点 A 仍在这个圆上 圆心 a b 在直线 x 2y 0 上 a 2b 0 2 a 2 3 b 2 r2 又直线 x y 1 0 截圆所得的弦长为 2 2 r2 a b 1 2 2 2 2 解由方程 组成的方程组得 b 3 a 6 r2 52 或 b 7 a 14 r2 244 所求圆的方程为 x 6 2 y 3 2 52 或 x 14 2 y 7 2 244 8 圆 O1的方程为 x2 y 1 2 4 圆 O2的圆心 O2 2 1 1 若圆 O2与圆 O1外切 求圆 O2的方程 并求内公切线方程 2 若圆 O2与圆 O1交于 A B 两点 且 AB 2 2 求圆 O2的方程 解 1 由两圆外切 O1O2 r1 r2 r2 O1O2 r1 2 2 1 故圆 O2的方程是 x 2 2 y 1 2 4 2 1 2 两圆的方程相减 即得两圆内公切线的方程 x y 1 2 2 0 2 设圆 O2的方程为 x 2 2 y 1 2 r22 圆 O1的方程为 x2 y 1 2 4 此两圆的方程相减 即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程 4x 4y r22 8 0 作 O1H AB 则 AH 1 2 AB 2 O1H 2 由圆心 0 1 到直线 的距离得 r22 12 4 2 2 得 r22 4 或 r22 20 故圆 O2的方程为 x 2 2 y 1 2 4 或 x 2 2 y 1 2 20 高考 模拟 预测 1 2009 重庆高考 直线 y x 1 与圆 x2 y2 1 的位置关系是 A 相切 B 相交但直线不过圆心 C 直线过圆心 D 相离 解析 依题意得圆心 0 0 到直线 y x 1 即 x y 1 0 的距离等于 1 2 1 且 0 0 1 因此该直线与圆相交且不经过圆心 选 B 答案 B 2 2009 浙江高考 已知三角形的三边长分别为 3 4 5 则它的边与半径为 1 的圆的公共 点个数最多为 A 3 B 4 C 5 D 6 解析 因为三角形的三边长分别为 3 4 5 所以该三角形是直角三角形 其图为如右图 所示的 Rt ABC 圆 O 是 ABC 的内切圆 可计算得其半径为 1 过 O 作三条直线 EF GH MN 分别 与 ABC 三边平行 此三条直线将 ABC 分割成 6 个部分 如右图所示 记半径为 1 的圆 O1的圆心到三条边 AB BC CA 的距离分别为 d1 d2 d3 而圆心 O1在这 6 个区域时 有 d11 最多4个公共点 d31 d2 1 最多2个公共点 d31 d2 1 最多4个公共点 d3 1 d11 最多2个公共点 d3 1 d1 1 d21 d1 1 d21 而圆心 O1在线段 EF GH MN 上时 最多有 3 个公共点 故选 B 答案 B 3 2009 湖北高考 过原点 O 作圆 x2 y2 6x 8y 20 0 的两条切线 设切点分别为 P Q 则线段 PQ 的长为 解析 由题意可设切线的方程为 y kx 再利用圆心 3 4 到切线的距离等于半径 5 可 求得 k 1 2或 11 2 再把切线的方程代入到圆的方程中 得切点坐标 利用两点间距离公式 求出 PQ 4 答案 4 4 2009 四川高考 若 O x2 y2 5 与 O1 x m 2 y2 20 m R 相交于 A B 两 点 且两圆在点 A 处的切线互相垂直 则线段 AB 的长度是 解析 依题意得 OO1 5 20 5 且 OO1A 是直角三角形 S OO1A 1 2 AB 2 OO1 1 2 OA AO1 因此 AB 2 OA AO1 OO1 2 5 2 5 5 4 答案 4 5 苏 锡 常 镇四市调研 已知圆 x2 y2 2ax 2ay 2a2 4a 0 0 a 4 的圆心为 C 直线 l y x m 1 若 m 4 求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值 2 若直线 l 是圆心 C 下方的切线 当 a 在 0 4 上变化时 求 m 的取值范围 解析 1 x2 y2 2ax 2ay 2a2 4a 0 x a 2 y a 2 4a 圆心为 C a a 半径为 r 2 a 设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2t 圆心 C 到直线 l 的距离为 d m 4 时 直线 l x y 4 0 圆心 C 到直线 l 的距离 d a a 4 2 2 a 2 t2 2 a 2 2 a 2 2 2a2 12a 8 2 a 3 2 10 又 0 a 4 当 a 3 时 直线 l 被圆 C 所截得弦长的值最大 其最大值为 2 10 2 圆心 C 到直线 l 的距离 d a a m 2 2 2 2a m 直线 l 是圆 C 的切线 d r 即 m 2a 2 2 a m 2a 2 2a 直线 l 在圆心 C 的下方 m 2a 2 2a 2a 1 2 1 a 0 4 m 1 8 4 2 备选精题 6 2009 江苏高考 在平面直角坐标系 xOy 中 已知圆 C1 x 3 2 y 1 2 4 和圆 C2 x 4 2 y 5 2 4 1 若直线 l 过点 A 4 0 且被圆 C1截得的弦长为 2 3 求直线 l 的方程 2 设 P 为平面上的点 满足 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1和 l2 它们分 别与圆 C1和圆 C2相交 且直线 l1被圆 C1截得的弦长与直线 l2被圆 C2截得的弦长相等 试 求所有满足条件的点 P 的坐标 解 1 由于直线 x 4 与圆 C1不相交 所以直线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 y k x 4 圆 C1的圆心到直线 l 的距离为 d 因为直线 l 被圆 C1截得的弦长为 2 3 所以 d 22 3 2 1 由点到直线的距离公式得 d 1 k 3 4 1 k2 从而 k 24k 7 0 即 k 0 或 k 7 24 所以直线 l 的方程为 y 0 或 7x 24y 28 0 2 设点 P a b 满足条件 不妨设直线 l1的方程为 y b k x a k 0 则直线 l2的方 程为 y b 1 k x a 因为圆 C1和 C2的半径相等 及直线 l1被圆 C1截得的弦长与直线 l2 被圆 C2截得的弦长相等 所以圆 C1的圆心到直线 l1的距离和圆 C2的圆心到直线 l2的距离 相等 即 1 k 3 a b 1 k2 5 1 k 4 a b 1 1 k2 整理得 1 3