高考数学必备秘笈--数学大题题型通解.pdf

管卫东轻松考数学 高考大题中的通解思维管卫东轻松考数学 高考大题中的通解思维管卫东轻松考数学 高考大题中的通解思维管卫东轻松考数学 高考大题中的通解思维 当前教学上喜欢讲究一题多解 因为这样能够锻炼学生的做题思维和技巧 但是搏众高考中心 今天我们要反其道而行之 那就是一解多题 数学大题表面上是很难 但是通过多年的教学积累和经验总结 我们发现数学整个学科的解题 思维基本上趋于一致 能够形成通解 使我们在数学教学上大幅的简化 甚至不需要刻意的思考 我们借助一下历年高考真题 看看是不是能够用一种方法或一种思维进行解答 这里 我们全部采 用 05 08 全国 I 卷的最后一题 发现是数列 函数或不等式题 没关系 题型不一样 看看是否能 用固定的思维解法 解题步骤中存在什么样的共性 05 全国卷 已知函数 1 0 2 74 2 x x x xf 求 xf的单调区间和值域 设1 a 函数g xxa xax 32 3201 若对于任意x101 总存在 x001 使得 10 xfxg 成立 求a的取值范围 解析 本题看似式子复杂 但是第一问直接可根据定义去做 这个分数必须拿到 根据定义得 出以下式子 解 I 对函数 xf求导 得 22 2 2 72 12 2 7164 x xx x xx xf 到这步几乎大家都会 题目问的是的单调区间和值域 很多人看到这个式子不敢往下分析 其实仍旧跟据定义 令 0 xf解得 2 7 2 1 xx或 然后做表分析即可 思考 凭什么令思考 凭什么令0 xf 当x变化时 xfxf 的变化情况如下表 所以 当 2 1 0 x时 xf是减函数 当 1 2 1 x时 xf是增函数 当 1 0 x时 xf的值域为 4 3 第二问很多人看题目就晕菜了 其实这道题即使你不会分析 大胆的往下做 就能把题目做对 我们思考下 题目给的条件和我们要求的差距点是什么 题目给的条件和我们要求的差距点是什么 这道题的差距点虽然较大 但是用这种求 差值的思想是能一步步走下去的 题目给的是 g x x1和 x0 并且给了范围 要我们求解 a 的范围 要 想求 a 的值 就必须列出 a 的表达式 a 的表达式想要列出 就必须从 g x 入手 题目给的信息 除了区间就没有其他能利用的条件了 既然题目给的是区间 因此我们不妨对函数 xg求导 得 3 22 axxg 思考思考 凭什么进行求导 目的是什么 凭什么进行求导 目的是什么 到了这一步 由于题目告诉我们1 a 所以当 1 0 x时 0 1 3 2 axg 因此当因此当 1 0 x时时 xg为减函数为减函数 从而当从而当 1 0 x时有时有 0 1 ggxg 这个就是我们所这个就是我们所 要的缺失条件 要的缺失条件 到这里可能同学们清楚了为什么要进行求导 因为题目给了我们取值区间 要想求 出 a 值 只要判断这个函数的增减性就行了 这就是条件差异弥补的推导思想 由于知道函数的增 减性 就容易了 马上可列出马上可列出 a a a a 的表达式 的表达式 又 2 0 321 1 2 agaag 即当 1 0 x时有 2 321 2 aaaxg 有人说这个 不是表达式 还是个未知数 没关系 我们再用同样的思想去走 发现现在能利用的条件也异常清 楚了 因为就这个没用上了 任给 1 0 1 x 3 4 1 xf 存在 1 0 0 x使得 10 xfxg 则 123243 2 aaa 即 12341 232 2 aa a 解得 3 5 1 aa或 2 3 a 又1 a 故a的取值范围为 2 3 1 a 评析 这道题式子复杂 05 年高考时候正确率非常之低 但是其中的解题过程并不复杂 思维 方向也十分明确 只是考题将多个概念进行转换 条件隐蔽的相对较深 数学题的核心就是知识点 与逻辑能力的结合 但是总的思想是异常相似的 几乎全部的解答题都可以用一个思维来做 就是就是 条件差异弥补法条件差异弥补法 和和 必要性思维必要性思维 所谓的 必要性思维 指的是要想获取某个结果 必须获 得的前提是什么 多属于逆推 两者的道理是一样的 这里我们总结出这道题的思维步骤和解题步骤 全部的思维步骤 全部的思维步骤 全部的思维步骤 全部的思维步骤 1 1 1 1 严格按照题目的要求 判断要我们干什么严格按照题目的要求 判断要我们干什么 2 2 2 2 找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么 3 3 3 3 利用利用 找后补找后补 或或 找前提找前提 的方式弥补出这个差距的方式弥补出这个差距 4 4 4 4 最终联系条件得出这个结论最终联系条件得出这个结论 固定的解题步骤 固定的解题步骤 固定的解题步骤 固定的解题步骤 1 1 1 1 直接根据课本定义得出结论 某类题注意取值分析 直接根据课本定义得出结论 某类题注意取值分析 2 2 2 2 用求同存异的思想进行条件转换用求同存异的思想进行条件转换 3 3 3 3 函数用式子变形推出结果 引申 若是证明 数列用数学归纳法 函数用式子变形推出结果 引申 若是证明 数列用数学归纳法 我们来看下道题 是否能够套用以上结论 06 全国卷 设数列 n a的前n项的和 1 412 2 333 n nn Sa 1 2 3 n 求首项 1 a与通项 n a 设 2n n n T S 1 2 3 n 证明 1 3 2 n i i T 解析 题目直接要求我们求首项和通项 由于我们知道通项和 Sn 公式 就能直接根据定义来做就能直接根据定义来做 解 由 Sn 4 3an 1 3 2 n 1 2 3 n 1 2 3 得 a1 S1 4 3a1 1 3 4 2 3 所以 a1 2 再由 有 Sn 1 4 3an 1 1 3 2 n 2 3 n 2 3 4 将 和 相减得 an Sn Sn 1 4 3 an an 1 1 3 2 n 1 2n n 2 3 做到这一步相信大家都会 那么我 们要求an公式 通过这个式子 我们发现差距点在我们发现差距点在 a a a an n n n a a a an n n n 1 1 1 1 同时可以 同时可以 2 2 2 2n 1 n 1n 1n 1 2 2 2 2n n n n也是相差一次也是相差一次 因因 此直接提出后此直接提出后 可以得出可以得出 a a a an n n n 2 2 2 2n n n n 4 a 4 a 4 a 4 an n n n 1 1 1 1 2 2 2 2n n n n 1 1 1 1 n 2 3 n 2 3 n 2 3 n 2 3 这个就是我们所弥补的缺失点 这个就是我们所弥补的缺失点 因而数 列 an 2n 是首项为 a1 2 4 公比为 4 的等比数列 即 an 2n 4 4n 1 4n n 1 2 3 因而 an 4n 2n n 1 2 3 做到这里 我们要问自己凭什么这么转化我们要问自己凭什么这么转化 我们所求的 an和得到的结果 an与 an 1 存在 差异点 要想把这个差异点弥补 就把他们之间的关系列出 就能得出结论 第二问是数学证明 首先可以考虑数学归纳法证明 但是这题题设与我们得到的结论差距较少 直接求解较快 如果为求稳妥 建议用数学归纳法 如果为求稳妥 建议用数学归纳法 看看直接求解的思路 题目让干嘛就干嘛 别多想 直接用定义 题目让干嘛就干嘛 别多想 直接用定义 题目给的是 2n n n T S 这个式子 那么必须求出 Sn 将 an 4n 2n代入 得 Sn 4 3 4 n 2n 1 3 2 n 1 2 3 1 3 2 n 1 1 2n 1 2 请思考 请思考 2 3 2 n 1 1 2n 1 然后求出 Tn 和 1 n i i T 问题与题目的差距点 并想办法补上问题与题目的差距点 并想办法补上 Tn 2n Sn 3 2 2n 2n 1 1 2n 1 3 2 1 2n 1 1 2n 1 1 所以 1 n i i T 3 2 1 n i 1 2i 1 1 2i 1 1 3 2 1 21 1 1 2i 1 1 3 2 评析 这题本身难度不高 但是第一步的难度较大 但是用上必要性思维和求差距思想 要想 获得 an通项 必须结合起来解答 全部的难点仅此而已 总体而言 全部的解题思维是惊人的趋于 一致的 不信 看下道题 07 全国卷 已知数列 n a中 1 2a 1 21 2 nn aa 12 3n 求 n a的通项公式 若数列 n b中 1 2b 1 34 23 n n n b b b 12 3n 证明 43 2 nn ba 12 3n 07 全国卷 解析 发现这题的做法思路完全和 06 年的一致 显然不能一步到位 还是先求 出 an与某个数的关系式 题目告诉我们 1 21 2 nn aa 说明差距体现在21 上 用这 个式子来决定我做题的方向 解 由题设 1 21 2 nn aa 21 2 21 22 n a 21 2 2 n a 1 2 21 2 nn aa 所以 数列 2 n a 是首项为22 公比为21 的等比数列 22 21 n n a 即 n a的通项公式为2 21 1 n n a 12 3n 这道题难在第一步不知道如何去想 题目告诉我们的条件似乎比较棘手 但是用这种 追求差 异 并想法弥补的思维定式去做 很容易就将题目解答出来了 对于高考 方法越简单越实用越好 尤其是第二步给出了个看似复杂的式子 我们没有必要花费过多的精力推导 直接用数学归纳法即 可 过程略 评析 整体难度其实不大 但是看起来比较有难度 我们只要沿用这种求同存异的 补差 思 想 还是非常容易做的 甚至连计算都不难 看到这里 大家应该能用这种思维去做其他题了吧 我们日常遇见的题型虽然各有差异 其实 总的做题思维真的没有太多差距 并且在解题步骤上也十分类同 大家不妨用这种思维去看看 08 的 最后一题 08 全国卷 设函数 lnf xxxx 数列 n a满足 1 01a 1 nn af a 证明 函数 f x在区间 01 是增函数 证明 1 1 nn aa 简要解析 看看 08 高考题型结合函数了 依旧用同一个思想 第一步 依旧是题目让干嘛就干 嘛 求函数增减性 直接用定义 要证明 数学归纳法 解 第一步 略 第二步证明 发现第一步函数的增减性可以直接利用 直接用数学归纳法 第三步较为复杂 没关系 这题表面是数列 其实考察的是不等式 无论是哪类题型 其根本点还 是从条件中寻求差异 要我们证明 1k ab 给的条件是设 1 1 ba 整数 1 1ln ab k ab 依旧是以 必要性思维 来思考 要想获得 1k ab 这个结论 必须列出他们的表达 要想列出他们的表达 必须利用有这两个字母的条件 我们发现题目有 lnf xxxx 和 1 nn af a 然后就能轻松的 得出结论 由 lnf xxxx 1 nn af a kkkk aababaln 1 1 1 ln k ii i abaa 到 了这里 几乎全部出来了 1 若存在某ik 满足 i ab 则由第二步可知 1ki abab 则 kkkk aababaln 1 1 1 ln k ii i abaa 1 1 ln k i i abab 1 1 ln k i i abab bkabaln 11 bkabaln 11 11 baba 0 即 1k ab 成立 解析 这道题出的十分经典 即考察定义 又综合了多个知识点 同时式子看起来比较能够 吓 唬 人 思维跳跃过程很大 但是计算本身并不复杂 这题失分率非常之高 第一步的过程就把很 多学生难倒 这是不应该的 其实无论多难的数学题 解题的根本方法是从题目本身入手 题目让 干嘛就干嘛 要我们做什么就自然而然的做 而不是看到题就联系知识点套用 那样只能做简单的 题 对付这类灵活多变的综合题 我们要在做题过程中形成这种相对固定的解题思路 达到用一招 就能化解多题 做一题 会百题的效果 纵观近年数学考题 几乎都可以用这种思维拿下 当然这是站在数学的理解基础上 核心原则核心原则 是以题做题 挖掘各类题型思维的共性 这样才能在数学考试上战无不胜 攻无不克 是以题做题 挖掘各类题型思维的共性 这样才能在数学考试上战无不胜 攻无不克 09 试题的题型虽然比较独特 但是看看能否用这种思维来作出这道题呢 我们看看 设函数 32 33f xxbxcx 在两个极值点 12 xx 且 11 10 1 2 xx I 求bc 满足的约束条件 并在下面的坐标平面内 画出 满足这些条件的点 b c的区域 II 证明 2 1 10 2 f x 解析 不管这道题的问法是什么 拿到题后还是先关注题目让 我们干什么 题目意图是让我们画出关于 f x 成立 bc 的条件范 围 我们什么都不要想 直接顺着题意来 2 363fxxbxc 由题意知方程 0fx 有两个根 12 xx 1 10 x 且 2 1 2 x 则有 10f 00f 1020ff 故有 这个不等式组全部转化为 c 的表达式 出来后就能通过坐标系画图 它们 围起来的区域就是所得的区域 之所以要求导 是因为导数 0 时是极值点 这个就是直接根据定义得来的 符合我们说的通解思维 具体图不画了 第 II 问很多考生就不会做了 因为有一定的区分度 更主要原因是含字母较 多 不易找到突破口 来看我们的思想原则 首先找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么 然后利用然后利用 找后补找后补 或或 找前提找前提 的方式弥补出这个差距的方式弥补出这个差距 题目让我们干嘛就干嘛题目让我们干嘛就干嘛 本题让我们 证明 2 1 10 2 f x 既然是要求 x2 我们不妨想办法列出 f x2 的表达 从题目给的极值 和 x2的 取 值 范 围 我 们 不 妨 根 据 定 义 对 32 2222 33f xxbxcx 求 导 得 出 2 222 3630fxxbxc 有了这个式子 我们看看还有什么条件没用上 转化一步 写成 cxbx 2 1 2 1 2 22 那么直接消去 b 得 3 222 13 22 c f xxx 为什么要消去 b 呢 因为由第 一步大家画的区域可以知道 b c 的取值范围 我们只有将 2 xf转为 b 或 c 的表达式 才能得出 结果 这是由题目条件的差异来决定的 当考生拿到题的时候 第一时间要朝着 能利用 的方 向转化 要想证明要想证明 2 xf这个式子这个式子