用样本估计总体

第三节用样本估计总体 1 统计图表的含义 1 频率分布表 含义 把反映总体频率分布的表格称为频率分布表 频率分布表的画法步骤 第一步 求 决定组数和组距 组距 第二步 通常对组内数值所在区间取左闭右开区间 最后一组取闭区间 第三步 登记频数 计算频率 列出频率分布表 极差 分组 2 频率分布直方图能够反映样本的 的直方图 3 频率分布折线图将频率分布直方图中各相邻的矩形的 的中点顺次连接起来 就得到频率分布折线图 4 总体密度曲线如果将样本容量取足够大 分组的组距足够小 则相应的频率分布折线图将趋于一条光滑曲线 即总体密度曲线 频率分布规律 上底边 5 茎叶图的画法步骤第一步 将每个数据分为茎 高位 和叶 低位 两部分 第二步 将最小茎与最大茎之间的数按 次序排成一列 写在左 右 侧 第三步 将各个数据的叶依次写在其茎的右 左 侧 大小 2 样本的数字特征 1 众数 中位数 平均数 最多 大小顺 序 最中 间 2 标准差 方差 标准差 表示样本数据到平均数的一种平均距离 一般用s表示 s 方差 标准差的平方s2叫做方差 s2 其中xi i 1 2 3 n 是 n是 是 样本数据 样本 容量 样本平均数 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平均数 众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 2 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 3 一组数据的方差越大 说明这组数据的波动越大 4 一组数据的众数可以是一个或几个 那么中位数也具有相同的结论 5 从频率分布直方图得不出原始的数据内容 把数据表示成直方图后 原有的具体数据信息就被抹掉了 6 茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写 右侧的叶按从小到大的顺序写 相同的数据可以只记一次 7 茎叶图只能表示有两位有效数字的数据 解析 1 正确 平均数表示一组数据的平均水平 众数表示一组数据中出现次数最多的数 中位数等分样本数据所占频率 2 错误 平均数一定不大于这组数据中的最大值 3 正确 由方差的意义知结论正确 4 错误 中位数在一组数据中一定存在且唯一 5 正确 由频率分布直方图的意义知结论正确 6 错误 茎叶图要求不能丢失数据 7 错误 茎叶图也能够记录有三个或三个以上的有效数字的数据 只不过此时茎叶的选择要灵活 答案 1 2 3 4 5 6 7 1 一个容量为32的样本 已知某组样本的频率为0 375 则该组样本的频数为 A 4 B 8 C 12 D 16 解析 选C 频数 32 0 375 12 2 甲 乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛 他们都参加了全部的7场比赛 平均得分均为16分 标准差分别为5 09和3 72 则甲 乙两同学在这次篮球比赛活动中 发挥得更稳定的是 A 甲 B 乙 C 甲 乙相同 D 不能确定 解析 选B 因为甲 乙两位同学的标准差分别为5 09和3 72 5 09 3 72 所以乙同学发挥得更稳定 3 如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1 2 3 第2小组的频数为10 则抽取的学生人数为 A 20 B 30 C 40 D 50 解析 选C 前3组的频率之和等于1 0 0125 0 0375 5 0 75 第2小组的频率是 0 25 设样本容量为n 则 0 25 即n 40 4 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示 则这组数据的中位数和平均数分别是 8979316402 A 91 5和91 5 B 91 5和92 C 91和91 5 D 92和92 解析 选A 中位数为 91 92 91 5 平均数为 87 89 90 91 92 93 94 96 91 5 5 某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10 6 8 5 6 则该组数据的方差s2 解析 10 6 8 5 6 7 s2 10 7 2 6 7 2 8 7 2 5 7 2 6 7 2 3 2 答案 3 2 考向1统计图表的应用 典例1 1 从甲 乙两个品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度 单位 mm 结果如下 甲品种 271273280285285287292294295301303303307308310314319323325325328331334337352乙品种 284292295304306307312313315315316318318320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了茎叶图如图所示 根据以上茎叶图 对甲 乙两个品种棉花的纤维长度作比较 写出两个统计结论 2 2013 福建高考 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生 将他们的模块测试成绩分成6组 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 加以统计 得到如图所示的频率分布直方图 已知高一年级共有学生600名 据此估计 该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 A 588 B 480 C 450 D 120 3 2013 湖北高考 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查 发现其用电量都在50至350度之间 频率分布直方图如图所示 直方图中x的值为 在这些用户中 用电量落在区间 100 250 内的户数为 思路点拨 1 从棉花的纤维长度的分布特点和平均长度两个方面进行比较 2 利用小矩形的面积求出频率 再求频数 3 各小矩形的面积即每小组的频率 面积和为1 矩形的高是频率比组距 规范解答 1 由茎叶图可以看出甲棉花纤维的长度比较分散 乙棉花纤维的长度比较集中 大部分集中在312到337之间 还可以看出乙的平均长度应大于310 而甲的平均长度要小于310等 通过分析可以得到答案 答案 甲棉花纤维的长度比较分散 乙棉花纤维的长度比较集中 甲棉花纤维的长度的平均值小于乙棉花纤维长度的平均值 答案不唯一 2 选B 不少于60分的频率为 0 030 0 025 0 015 0 010 10 0 8 所以所求学生人数为0 8 600 480 人 3 50 x 1 50 0 0012 0 0024 2 0 0036 0 0060 0 22 x 0 0044 100 0 18 0 3 0 22 70 答案 0 0044 70 拓展提升 各种统计图表的优点与不足 变式训练 1 为了了解某地区高三学生的身体发育情况 抽查了该地区100名年龄为17 5岁 18岁的男生体重 kg 得到频率分布直方图如下 根据上图可得这100名学生中体重在 56 5 64 5 的学生人数是 A 20 B 30 C 40 D 50 解析 选C 体重在 56 5 64 5 学生的累计频率为2 0 03 2 0 05 2 0 05 2 0 07 0 4 则体重在 56 5 64 5 的学生人数为0 4 100 40 2 为了调查甲 乙两个网站受欢迎的程度 随机选取了14天 统计上午8 00 10 00各自的点击量 得到如图所示的茎叶图 求 甲网站点击量在 10 40 间的频率是多少 甲 乙两个网站哪个更受欢迎 请说明理由 解析 甲网站点击量在 10 40 间的频率为 甲网站的点击量集中在茎叶图的下方 而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方 从数据的分布情况来看 甲网站更受欢迎 考向2数字特征的应用 典例2 1 2012 陕西高考 从甲 乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机 对其销售额进行统计 统计数据用茎叶图表示 如图所示 设甲 乙两组数据的平均数分别为中位数分别为则 2 某校为了选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛 A B两位同学在校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件测试 他们各加工10个零件的相关数据依次如图所示 单位 mm 根据测试的有关数据 试解答下列问题 考虑平均数与完全符合要求的个数 你认为谁的成绩好些 计算出A B二人的方差 考虑平均数与方差 说明谁的成绩好些 考虑图中折线走势及竞赛加工零件的个数远远超过10个的实际情况 你认为派谁去更合适 简述理由 思路点拨 1 平均数的大小可以根据茎叶图中数据的分布的集中位置进行判断 或直接根据平均数和中位数的计算公式进行计算 2 由图可以发现 符合要求的零件个数B的多于A 计算出 再比较两人的成绩 根据图 哪个越来越接近标准直径 则派哪个去 规范解答 1 选B 方法一 观察茎叶图可知甲组数据中的中位数是 18 22 20 乙组数据中的中位数是 27 31 29 m甲 m乙 方法二 41 43 30 30 38 22 25 27 10 10 14 18 18 5 6 8 42 43 48 31 32 34 34 38 20 22 23 23 27 10 12 18 所以又m甲 20 m乙 29 m甲 m乙 故选B 2 因为两人的平均数相同 而符合要求的零件个数B的多于A 所以B的成绩好些 5 20 20 2 3 19 9 20 2 20 1 20 2 20 2 20 2 0 008 又 0 026 所以在平均数相同的情况下 B的波动性小 所以B的成绩好些 从折线走势看 A的成绩越来越接近20mm 并趋于稳定 所以派A去更合适 互动探究 在本例第 2 题的数据图中 将B同学的数据上移0 1个单位 其他条件不变 求B同学的平均数与方差 解析 由题意知B同学的数据为20 1 20 1 20 1 20 20 1 20 1 20 20 20 2 20 3 方法一 20 1 20 1 20 1 20 20 1 20 1 20 20 20 2 20 3 20 1 5 20 1 20 1 2 3 20 20 1 2 20 2 20 1 2 20 3 20 1 2 0 008 方法二 因为各数据加上0 1后 平均数比原来多0 1 而方差不变 故 拓展提升 众数 中位数 平均数及方差的意义及计算方法 1 平均数与方差都是重要的数字特征 是对总体的一种简明地描述 平均数 中位数 众数描述其集中趋势 方差和标准差描述波动大小 2 平均数 方差的公式推广 若数据x1 x2 xn的平均数为那么mx1 a mx2 a mx3 a mxn a的平均数是m a 数据x1 x2 xn的方差为s2 i 数据x1 a x2 a xn a的方差也为s2 ii 数据ax1 ax2 axn的方差为a2s2 提醒 方差的简化计算公式 或写成即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方 变式备选 1 样本中共有五个个体 其值分别为a 0 1 2 3 若该样本的平均值为1 则样本方差为 A B C D 2 解析 选D 样本的平均值为1 所以解得a 1 所以样本的方差为 1 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 2 2 甲 乙两人在相同的条件下练习射击 每人打5发子弹 命中的环数如下 甲 6 8 9 9 8 乙 10 7 7 7 9 则两人的射击成绩较稳定的是 解析 甲命中环数的平均数是8环 乙命中环数的平均数是8环 同理 甲的射击成绩比乙的稳定 答案 甲 考向3频率分布与数字特征的综合应用 典例3 某地区遭遇严重干旱 某乡计划向上级申请支援 为上报需水量 乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量 得到这100户村民月均用水量的频率分布表如下表 月均用水量的单位 吨 1 请完成该频率分布表 并画出相对应的频率分布直方图和频率分布折线图 2 估计样本的中位数是多少 3 已知上级将按每户月均用水量向该乡调水 若该乡共有1200户 请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨 思路点拨 1 由频率计算公式和各频率之和为1求解 2 根据中位数前频率之和为0 5求解 3 先求出样本中的月用水量平均值 再估计上级支援该乡的月调水量 规范解答 1 频率分布表与相应的频率分布直方图和频率分布折线图如下 2 设中位数为x 因为月用水量在 0 5 4 5 内的频率是 0 06 0 12 2 0 36 月用水量在 0 5 6 5 内的频率是 0 06 0 12 0 20 2 0 76 所以x 4 5 6 5 则 x 4 5 0 2 0 5 0 36 解得x 5 2 故中位数是5 2 3 该乡每户月均用水量估计为 1 5 0 12 3 5 0 24 5 5 0 40 7 5 0 18 9 5 0 06 5 14 又5 14 1200 6168 吨 答 上级支援该乡的月调水量是6168吨 拓展提升 利用频率分布直方图估计样本的数字特征 1 中位数 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 由此可以估计中位数的值 2 平均数 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 3 众数 在频率分布直方图中 众数是最高的矩形的中点的横坐标 变式训练 为了了解高一学生的体能情况 某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试 将所得数据整理后 画出频率分布直方图 如图 图中从左到右各小长方形面积之比为2