二、逻辑函数及其简化.ppt

第二章逻辑函数及其化简 2 4代数法化简逻辑函数 2 5逻辑函数的卡诺图化简 2 1基本概念 2 2逻辑代数 2 3逻辑函数的表示方法 2 1基本概念 逻辑门电路 在数字电路中 实现逻辑运算功能的电路 如 与门 或门 非门 逻辑状态 在数字电路中 把一个状态分为两种 一种状态叫逻辑1 另一种状态叫逻辑0 注 1 或 0 是表示两种不同的符号 没有数量意思 高低电平 表示电压大小范围 分为高电压状态和低电压状态 不是一个固定的电压数值 真值表 将输入 输出用0 1表示 完整地列出所有可能输入 输出逻辑关系的表格 逻辑函数 如果输入逻辑变量A B C D 的取值 1或0 确定以后 输出逻辑变量Z的值也被唯一的确定 称Z是A B C D 的逻辑函数 Z F A B C D 逻辑函数相等 F A B C D 和G A B C D 如果输入变量A B C D 的任意一组状态组合取值 使F和G输出状态相同 称F和G是相等 F G它们的真值表相等 布尔代数中的变量往往用字母A B C 表示 每个变量只取 0 或 1 两种情况 即变量不是取 0 就是取 1 不可能有第三种情况 它相当于信号的有或无 电平的高低 电路的导通或截止 这使布尔代数可以直接用于双值逻辑系统电路的研究 2 2逻辑代数 一 基本逻辑 与逻辑 或逻辑 非逻辑 与逻辑 某事成立 必须是它成立的所有条件都满足要求时 才成立 如 串联开关电路 P 逻辑符号和表达式 P A B C A B C ABC ABC 真值表 列出输入的所有状态和输出值 逻辑1 表示开关 闭 灯的 亮 逻辑0 表示开关 断 灯的 灭 与逻辑也称逻辑乘运算 相当于集合中的交集 根据交集的概念 不难确定逻辑乘法的运算规则 A B P0 0 00 1 01 0 01 1 1 或逻辑 要使某事成立 只要满足它至少成立的一个条件时 则成立 如 并联开关电路 逻辑符号和表达式 P A B C ABC 真值表 或逻辑也称逻辑加运算 相当于集合中的并集 根据并集的概念 不难确定逻辑加的运算规则 A B P0 0 00 1 11 0 11 1 1 小结与逻辑 有低 出低 全高 出高 或逻辑 有高 出高 全低 出低 非运算 非逻辑 当一事件的条件满足时 该事件不会发生 条件不满足时 才会发生 这样的因果关系称为 非 逻辑关系 与非 或非逻辑 与非 或非 与非 全高 出低 有低 出高 或非 全低 出高 有高 出低 与或非 异或 同或逻辑 异或 二个输入变量状态不同 输出为高 二个输入变量状态相同 输出为低 注 一次异或逻辑运算只有二个输入变量 多个变量的异或运算 必须二个二个变量分别进行 同或 二个输入变量状态相同 输出为高 二个输入变量状态不同 输出为低 各种逻辑符号图 逻辑函数及其表示方法 解 第一步 设置自变量和因变量 第二步 状态赋值 对于自变量A B C设 同意为逻辑 1 不同意为逻辑 0 对于因变量L设 事情通过为逻辑 1 没通过为逻辑 0 一 逻辑函数的建立 例 三个人表决一件事情 结果按 少数服从多数 的原则决定 试建立该逻辑函数 第三步 根据题义及上述规定列出函数的真值表如表 一般地说 若输入逻辑变量A B C 的取值确定以后 输出逻辑变量L的值也唯一地确定了 就称L是A B C的逻辑函数 写作 L f A B C 逻辑函数与普通代数中的函数相比较 有两个突出的特点 1 逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1 2 函数和变量之间的关系是由 与 或 非 三种基本运算决定的 二 逻辑函数的表示方法 例列出下列函数的真值表 1 真值表 将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格 2 函数表达式 由逻辑变量和 与 或 非 三种运算符所构成的表达式 由真值表可以转换为函数表达式 例如 由 三人表决 函数的真值表可写出逻辑表达式 反之 由函数表达式也可以转换成真值表 解 该函数有两个变量 有4种取值的可能组合 将他们按顺序排列起来即得真值表 3 逻辑图 逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形 由逻辑图也可以写出其相应的函数表达式 例写出如图所示逻辑图的函数表达式 解 可由输入至输出逐步写出逻辑表达式 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图 例画出下列函数的逻辑图 解 可用两个非门 两个与门和一个或门组成 二 逻辑代数的基本定律 1 变量与常量之间的关系 变量与常量之间的关系又可分为与逻辑形式及或逻辑形式两种 实际上 与 和 或 之间是有对应关系的 我们将在稍后给予指出 定理1A 0 0 A 1 1定理2A 1 A A 0 A 2 变量自身之间的关系 变量自身之间的关系也有两对公式 它们之间也是互相对应的 定理3A A A A A A定理4 0 A 1定理5 还原律 3 在对逻辑表达式进行变换时 可以使用普通的交换律 结合律和分配律来变换其形式 定理6 交换律 A B B AA B B A 定理7 结合律 A B C A B C AB C A BC 定理8 分配律 A B C AB ACA BC A B A C 4 特殊公式和定理 定理9 吸收律 A A B A A A B AA B A B A B AB 定理10 反演律 定理1 恒等式 在 与或 逻辑式中 一个与项包含了另外两个含有互为反变量的与项的其余部分 则该与项是多余的 项 二 逻辑代数的基本定律 三 逻辑代数的基本规则 基本公式中的公式l和公式2就互为对偶式 1 代入规则对于任何一个逻辑等式 以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后 等式依然成立 例如 在反演律中用BC去代替等式中的B 则新的等式仍成立 2 对偶规则将一个逻辑函数L进行下列变换 0 1 1 0 所得新函数表达式叫做L的对偶式 用表示 3 反演规则 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点 1 保持运算的优先顺序不变 必要时加括号表明 2 变换中 几个变量 一个以上 的公共非号保持不变 利用反演规则 可以非常方便地求得一个函数的反函数 解 解 将一个逻辑函数L进行下列变换 0 1 1 0 原变量 反变量 反变量 原变量 所得新函数表达式叫做L的反函数 用表示 例求函数的反函数 例求函数的反函数 四 异或 同或的运算规则 异或 F A B A B A B AB AB A B A B A B C AB AC 等式两边可以相互交换 如A B C 则A C B 同或 F A B A B A B AB AB A B A B 等式两边可以相互交换 如A B C 则A C B A B C A B A C 如常量1的个数为奇数 则输出为1 如常量0的个数为偶数 则输出为1 公式的证明方法 1 用简单的公式证明略为复杂的公式 例证明吸收律 证 例用真值表证明反演律 1110 1110 2 用真值表证明 即检验等式两边函数的真值表是否一致 2 3逻辑函数的表示方法 描述逻辑问题时 经常使用真值表 逻辑函数的表达式 逻辑图或卡诺图等方法来研究 处理逻辑问题 并且它们之间完全等价的 一 真值表 其特点为 直观明瞭 由实际问题抽象成数学问题时 使用真值表最方便 变量较多时 真值表过于繁琐 例如 设计三个不同地点的开关控制一盏灯的电路 解 首先分析题意 令A B C表示三个开关 F为灯 1和0表示开关或灯的两个状态 然后列出真值表如下 二 逻辑函数的表达式Z F A B C 1 由真值表求函数表达式的方法 标准 与 或 式 积之和 式 把真值表中函数为1的输入变量取值组合选出 输入变量为1的写成原变量 为0的写成反变量 然后写成一个乘积项 与项 将所有函数值为1的乘积项相加标准 与 或 式 例 根据上例子的真值表得到函数的表达式如下 由真值表得到的函数的表达式是标准的 与 或 式 标准 或 与 式 和之积 式 选真值表中函数为0的输入变量取值组合 输入变量为1的写成反变量 为0的写成原变量 然后写成一个和项 将这些和项相乘标准 或 与 式 2 最小项 最大项 最小项 包含全部输入变量 每个输入变量或以原变量或以反变量形式出现 并仅仅出现一次 这样的乘积项 标准 与 或 式 由最小项相加而成的函数表达式 n个变量的最小项的数目是2n个 最小项用mi表示 下标用最小项对应的二进制码相应的十进制数表示 例如 AB00011011 最大项 包含全部输入变量的和项 最大项用MJ表示 最大项的下标与对应的最小项下标之间有一定关系 I是最小项的下标数 j是最大项的下标数 ABC000001010011100101110111 最小项 非标准 与 或 式标准 与 或 式 解 例 将函数转换成最小项表达式 m7 m6 m3 m1 m 1 3 6 7 解 m7 m6 m3 m5 m 3 5 6 7 例 将函数转换成标准 与 或 式 最小项和最大项的性质 1 最小项的反是最大项 最大项的反是最小项 2 全部最小项之和恒等于 1 3 全部最大项之积恒等于 0 4 一部分最小项之和的反等于另外那些最小项之和 5 两最小项之积恒等于 0 6 两最大项之和恒等于 1 7 与或标准型Y mi m 0 1 4 6 7 m0 m1 m4 m6 m7 8 或与标准型Y Mi M 0 1 4 6 7 M0M1M4M6M7 3 函数表达式的特点 简洁方便 高度抽象概括地表示逻辑问题 便于进行运算 变换和化简 便于逻辑图实现 三 逻辑图 用逻辑符号表示基本单元电路已及由这些基本单元电路组成的部件之后 所得到的图 它具有比较接近工程实际的突出优点和信号流电路接口清晰等特点 2 4代数法化简逻辑函数 1 逻辑函数式的常见形式 一个逻辑函数的表达式不是唯一的 除了与 或式外 还有或 与式 与非 与非式 或非 或非及与 或 非式 可以有多种形式 并且能互相转换 例如 与 或表达式 或 与表达式 与非 与非表达式 或非 或非表达式 与 或 非表达式 其中 与 或表达式是逻辑函数的最基本表达形式 2 逻辑函数的最简 与 或表达式 的标准 3 用代数法化简逻辑函数 即运用形式定理和基本规则进行化简 所以必须熟练掌握这些定理和规则 否则十分容易与一般代数相混 并项法 运用公式将两项合并为一项 消去一个变量 例 与项最少 即表达式中乘积项最少 每个乘积项中的变量数最少 吸收法 运用吸收律A AB A 消去多余的与项 例 例 消去法 运用吸收律消去多余因子 例 配项法 先通过乘以或加上 增加必要的乘积项 再用以上方法化简 在化简逻辑函数时 要灵活运用上述方法 才能将逻辑函数化为最简 逻辑函数的化简结果不是唯一的 例化简 解 利用A AB A 利用 例 化简 利用A AB A 配项法 利用A AB A 代数化简法 优点 不受变量数目的限制 缺点 没有固定的步骤可循 需要熟练运用各种公式和定理 需要一定的技巧和经验 不易判定化简结果是否最简 2 5逻辑函数的卡诺图化简 一 卡诺图 把真值表形式变换成方格图的形式 并按循环码来排列变量的取值组合 卡诺图建立 把输入变量分为两组 并写出每组变量的所有可能取值 每组变量的取值按循环码来排列 00011110 000001011010110111101100 两变量 四变量 三变量 卡诺图是最小项按一定规律排列的方格图 每一个最小项占有一个小方格 因为最小项的数目与变量数有关 设变量数为n 则最小项的数目为2n 小方格数目也为2n 这两组变量组合构成2n个方格 每个方格代表个最小项 0 四变量卡诺图 卡诺图具有很强的相邻性 直观相邻性 只要小方格在几何位置上相邻 不管上下左右 它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的 对边相邻性 即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性 卡诺图的特点 几何相邻必逻辑相邻 一个小方格代表一个最小项 用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性 卡诺图性质和运算 卡诺图中所有小方格均为0时 其输出函数F 0 卡诺图中所有小方格均为1时 其输出函数F 1 两卡诺图中相加 或 对应每小方格中的0 1按逻辑加运算 两卡诺图中相乘 与 对应每小方格中的0 1按逻辑乘运算 用卡诺图反演求反函数 将原函数卡诺图中的0 1 1 0 即可得到反函数的卡诺图 卡诺图的对偶 求对偶函数F 其方法 由F函数的最小项 求反函数F 如F A B C m i 则 A B C m j 其中j为2n个号码中除去i以外的所有最小项号码 由反函数 求对F 偶函数 m k 那么k 2n 1 j k的个数与j相同 如n 3 k 23 1 j 7 jn 4 k 24 1 j 15 j 例 F A B C m 0 2 6 A B C m 1 3 4 5 7 F A B C m 0 2 3 4 6 二 用卡诺图表示逻辑函数 1 从真值表到卡诺图例已知某逻辑函数的真值表 用卡诺图表示该逻辑函数 解 该函数为三变量 先画出三变量卡诺图 然后根据真值表将8个最小项L的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可 2 从逻辑表达式到卡诺图 如不是最小项表达式 应先将其先化成最小项表达式 再填入卡诺图 也可由 与 或 表达式直接填入 如果表达式为最小项表达式 则可直接填入卡诺图 解 写成简化形式 解 直接填入 例用卡诺图表示逻辑函数 然后填入卡诺图 例用卡诺图表示逻辑函数 三 逻辑函数的卡诺图化简法 1 卡诺图合并最小项的规律 在卡诺图中处于相邻位置的最小项均可以合并为一项 而合并后的乘积项由没有0 1变化的变量组成 消去了有变化的变量 4个相邻的最小项可以合并 消去2个取值不同的变量 2个相邻的最小项可以合并 消去1个取值不同的变量 8个相邻的最小项可以合并 消去3个取值不同的变量 总之 2n个相邻的最小项可以合并 消去n个取值不同的变量 16个相邻的最小项可以合并 消去4个取值不同的变量 2 卡诺图化简逻辑函数 画圈合并最小项 化简最简 与 或 式方法 圈1 找出最小项为1的相邻项进行合并 尽量画大圈 即乘积项中变量最少 圈的个数尽量少 即乘积项少 在每一个新画的圈组中至少要含有一个末被圈过的1方格 函数值为1的最小项 否则该圈组是多余的 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过 圈完 最简 与 或 式为 乘积项个数 合并圈的数目 圈少 乘积项中含变量因子的多少取决于合并圈大小 圈大 例化简逻辑函数 F A B C D m 0 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解 a 由表达式画出卡诺图 b 画圈 合并最小项 得简化的与 或表达式 解 由表达式画出卡诺图 注意 图中的绿色圈是多余的 应去掉 例用卡诺图化简逻辑函数 合并最小项 得简化的 与 或 表达式 例已知某逻辑函数的真值表 用卡诺图化简该函数 解 由真值表画出卡诺图 画合并最小项 有两种画圈的方法 由此可见 一个逻辑函数的真值表是唯一的 卡诺图也是唯一的 但化简结果有时不是唯一的 a 写出表达式 b 写出表达式 4 卡诺图化简逻辑函数的另一种方法 圈0法 例已知逻辑函数的卡诺图如图示 分别用 圈1法 和 圈0法 写出其最简与 或式 b 用圈0法 得 解 a 用圈1