北邮随机信号答案ch9.pdf

第 9 章习题解答 第 9 章习题解答 9 1 证明二元信号检测的 9 2 4 式和 9 2 5 式成立 解解 令 000 22 1001 1 2 fff ttt ttt Iz t y t dtz t y t dty ty t dt 由于噪声 tv是高斯随机过程 那么观测过程 tz也是高斯的 因此检测统计量I是服从高 斯分布的随机变量 对于高斯分布的随机变量 只要确定它的均值和方差就可以确定它的一 维概率密度 fff t t t t t t dttytydttvtytydttvtytyHI 000 2 1 2 1 2 000010 ff t t t t dttytytvdttyty 00 2 1 01 2 10 因此 f t t dttytyHIE 0 2 100 2 1 2 00 HIEIEHIVar 2 01 0 f t t dttytytvE 00 0101 ff t t t t dyyvdttytytvE 00 0101 ff t t t t dtdyytytyvtvEE 2 00 0101 0 ff t t t t dtdyytytyt N E f t t dttyty N 0 2 01 0 2 同理可得 f t t dttytyHIE 0 2 101 2 1 f t t dttyty N HIEIEHIVar 0 2 01 02 11 2 定义 f t t dtty 0 2 00 f t t dtty 0 2 11 2 1 01 分别代表信号 0 ty 1 ty的信号能量及它们的平均能量 定义 0 10 f t t dttyty 为归一化相关系数 则 1 0 HIE 1 1 HIE 1 010 NHIVarHIVar 那么 检测统计量I在两种不同假设下的概率密度为 1 2 1 exp 1 2 1 0 2 0 0 N I N HIp 1 2 1 exp 1 2 1 0 2 0 1 N I N HIp 9 2 在随机相位信号的检测部分证明 9 3 6 式成立 解 由教材的 9 3 4 式 2 10 0 0 222 00 0 0 1 exp sin 1 exp 2 sin sin T T f z tHFz tAtdt N FztAz ttAtdt N 而 22 222 000 000 sin 1 cos2 cos2 22 TTT AA T AtdttdtAtdt 当 0 2 T 时 0 0 cos2 0 T tdt 所以 2 22 0 0 sin 2 T A T Atdt 那么 2 2 2 10 000 000 12 exp exp sin 22 TT TAd f z tHFzt dtAz ttdt NNN 又 2 0 0 0 1 exp T f z tHFzt dt N 所以似然比为 2 2 1 0 00 000 2 expexp sin 22 T f z tHA Td z tAz ttdt f z tHNN 而 000 000 sin sincos cossin TTT z ttdtz ttdtz ttdt 令 0 0 sin T I Mz ttdt 0 0 cos T Q Mz ttdt 则 00 0 sin cos T z ttdtM 其中 22 22 00 00 sin cos TT IQ MMMz ttdtz ttdt 0 11 0 0 0 0 cos sin T Q T I z ttdt M tgtg M z ttdt 于是 2 2 0 0 00 2 0 00 2 expexpcos 22 2 exp 2 A TAMd z t NN A TAM I NN 其中 2 00 0 expcos 2 d Ixx 是第一类零阶修正贝塞尔函数 9 3 对于如下随机相位信号的检测问题 0 10 0 sin 0 Hz tv ttT Hz tAtv ttT 222 10 222 1 4 exp 0 22 TTT MA T MMAT f M HIM 其中 2 0 4 T N T 提示 当 0 1T 时 0 0 sin 0 T tdt 由教材 9 3 7 式 9 3 9 式 有 22 IQ MMM 0 arctan Q I M M 0 0 sin T I Mz ttdt 0 0 cos T Q Mz ttdt 由于噪声是正态的 在 给定的条件下 1 I MH 1 Q MH 都是正态随机变量 当 0 2 T 时 它们的均值为 10 0 00 0 000 00 00 0 sin sin sin sin sin sin sin sin cos 2 T I T TT T E MHEz ttdt EAtv ttdt AttdtE v ttdt Attdt AT 同理可得 sin 2 Q AT E M 方差为 2 11 2 01 0 2 0 0 120 10 212 00 0 120 10 212 00 2 00 0 0 sin sin sinsin sinsin 2 sin 24 III T I T TT TT T Var MHEME MH Ez ttdtE MH Ev ttdt E v t v ttt dt dt N tttt dt dt NN T tdt 同理 0 1 4 Q N T Var MH 可以证明 11 00 00 120 10 212 00 0 120 10 212 00 0 00 0 0 0 0 sin cos sincos sincos 2 sincos 2 sin20 4 IIQQ TT TT TT T T EME MHME MH Ev ttdtv ttdt E v t v ttt dt dt N tttt dt dt N ttdt N tdt 所以 1 I MH 1 Q MH 是不相关 同时也是相互独立的正态随机变量 令 2 0 4 T N T 则 22 1 222 cossin 122 exp 222 IQ IQ TTT ATAT MM p MMH 利用变换 00 cos sin IQ MMMM 00 000 cossin sincos IQ MMM JM MM 00 011 cos sin 22 00 222 coscossinsin 22 exp 222 IQ IQ MMMM TTT p MHp MMHJ ATAT MM M 整理上式得 2 2 010 22 1 exp2cos 2222 TT MATAT p MHMM 2 2 2 100 22 0 22 2 2 00 222 0 22 2 0 22 1 exp2cos 2222 1 expexpcos 2242 1 exp 224 TT TTT TT MATAT p M HMMd MA TMAT Md MA TMA MI 2 2 T T 由上式可以看出 1 p M H 与 无关 所以 22 2 10 222 1 exp 2242 TTT MA TMAT p M HMI 0M 在 H0假设下 由于没有信号 相当于上式中令 A 0 则 2 00 22 exp0 22 TT MM p M HI 0M 而 0 0 1I 所以 2 0 22 exp 22 TT MM p M H 0M 9 4 两种假设下接收波形是 1 0 0 0 Hz ts tv ttT Hz tv ttT 其中 v t 是功率谱为 N0 2 的白高斯随机过程 信号 s t 是高斯随机过程 并且可写为 0s tatt 式中 a 是方差为 2 a 的零均值高斯随机变量 求最佳接收机 9 5 对情况 0s tatbt 式中 a 和 b 是两个统计独立的 方差分别为 2 a 和 2 b 的 零均值高斯随机变量 重复习题 9 4 9 6 对 a 和 b 是两个统计独立的 均值分别为 ma和 mb 方差分别为 2 a 和 2 b 零均值高斯随 机变量 重复习题 9 5 9 7 假设 s t 是分段常数波形 10 200 00 0 2 1 n btT bTtT s t bnTtnT i b是统计独立的 方差等于 2 b 的零均值高斯随机变量 求最佳接收机 9 8 利用最小错误概率准则设计一接收机 对下述两个假设作选择 00 11 Hz ts tv t Hz ts tv t 信号 01 s t s t如图 9 12 所示 v t 是功率谱为 0 2 N的正态白噪声 令信号先验概率相等 信号平均能量为 E 观测时间为03tT 试求 0 2E N 时的错误概率 0 1 1 t 0 s t 图9 12 信号波形 T2T3T 0 1 1 t 1 s t T2T3T 0 1 1 t 0 s t 图9 12 信号波形 T2T3T 0 1 1 t 1 s t T2T3T 解解 由 9 2 14 式可知 0 1 PQN 由图 9 12 可得 33 22 1201 00 3 TT s t dts t dtT 3T 1 00 1 2 20 023 e PQQQ NN 9 9 对下述两个假设 按似然比判决规则进行选择 112 02 coscos cos Hz tAtBtv t Hz tBtv t 其中 1212 A B 为已知常数 v t 是功率谱为 0 2 N的正态白噪声 问信号 2 cos Bt 对接收机性能有何影响 9 10 设有两个假设 00 11 Hz ts tv t Hz ts tv t 其中信号 01 s t s t如图 9 13 所示 v t 是功率谱为 0 2 N的正态白噪声 令先验概率相等 试按最小错误概率准则设计一个接收机 对上述假设作选择 0 1 t 0 s t 10 t 1 s t 0 5 3 图9 13 信号波形 10 1 t 0 s t 10 t 1 s t 0 5 3 图9 13 信号波形 1 9 11 设有移频键控信号 111 22212 cos cos 0 1 m m s tAt s tAttTT 且先验概率相等 1212 m A 均为常量 现以功率谱密度为 0 2 N的正态白噪声为背 景 按最小错误概率准则对上述信号作最佳接收 试求总错误概率 9 12 设两个假设 0 1 Hz tv t Hz ts tv t 其中 v t 是相关函数为 0 2 N 的正态白噪声 令信号 s t的能量 2 0 T Es t dt 虚警概 率为 采用连续观测进行检验 试求 1 最佳接收机的结构 2 判决门限的求解方程 3 检测概率 11 P DH的表达式 9 13 依据一次观测 用极大极小准则对下述两种假设作出判决 0 1 1 Hz tn t Hz tn t 其中 n t是零均值正态噪声 方差为 2 n 且 00110110 0 1CCCC 试求 1 判决门限 2 与门限相应的各先验概率 9 14 设有移频键控信号 111 22212 cos cos 0 1 m m s tAt s tAttTT 令先验概率相等 随机初相 12 都均匀分布于 0 2 上 且 12 m A 为常数 现以相关 函数为 0 2 N 的正态白噪声为背景 按最小错误概率准则对上述信号作最佳接收 试求 1 判决表达式 2 画出最佳接收机 9 15 在雷达系统中 发射波形往往是一段已知频率的正弦信号 但是目标回波信号的频率 已有偏移 偏移量就是所谓的多普勒频率 它近似等于 0 2 d vc 其中v是目标的径向 速度 c 是电磁波传播速度 对于未知速度的目标而言 d 可用已知概率密度